通往指标定理之路 Ⅳ


在开始讨论Hirzebruch-Riemann-Roch定理之前，我们列出标准的参考著作：

Hirzebruch  Topological Methods in Algebraic Geometry

我们假定讨论的所有复代数簇都是非奇异的(P^N的子流形，代数流形)。

经典代数几何中有一个著名的结论：代数曲线X的算术亏格等于几何亏格。稍加修饰，就得到Riemann-Roch定理：它是一个关于全纯线丛L \to X的Euler示性数的公式。“算术亏格等于几何亏格”对应L为平凡线丛的情形。

一般地，考虑代数流形X及全纯向量丛E \to X，我们有

(Hirzebruch-Riemann-Roch定理)\displaystyle \chi(E)=(\rm{ch}(E) \smallsmile \rm{td}(X))[X]

F.Hirzebruch (1927-  )

首先解释相关记号：

等式左边，Euler示性数\displaystyle \chi(E)=\sum (-1)^i H^i(X,E)由E系数的层上同调定义。从Atiyah-Singer指标定理的角度看，它是Dirac算子D=\sqrt{2}(\bar{\partial}+\bar{\partial}^*)的指标。

等式右端，Chern类函子c_i是形式函子x_i的初等对称函数。利用乘法序列，我们可以进一步构造其他示性类。例如，完全Chern特征函子\mathrm{ch}=\sum \mathrm{ch}_i由\sum e^{x_i}给出，完全Todd类函子\mathrm{td}=\sum \mathrm{td}_i由\prod x_i/(1-e^{-x_i})给出。\mathrm{td}(TX)通常缩略为\mathrm{td}(X)。\mathrm{ch}(E)与\mathrm{td}(X)的杯积给出一个新的示性类，等式右端是它的示性数。

2个特例：(1)取E为平凡线丛。公式左端给出Hirzebruch意义下的算术亏格，而右端退化为Todd示性数\mathrm{td}_n[M]：这是高维的“算术亏格等于几何亏格”。

(2)代数曲线X上的除子D给出全纯线丛L(D) \to X。此时公式的右端化为c_1[M]/2+c_1[L(D)]。c_1[M]=2-2g，c_1[L(D)]=\mathrm{deg}(D)：我们重新得到经典Riemann-Roch定理。

Hirzebruch本人的原始证明分成3步，利用了许多在当时非常“前卫”的结果。(1)E为平凡线丛：他自己的号差定理(基于Thom的协边理论)以及A. Borel关于复Lie群同调论的工作；(2)E为一般线丛：用小平邦彦和Spencer的结果“代数流形的Picard群同构于主除子群”来分析线丛的结构；(3)E为一般向量丛：他再次利用了A. Borel关于复Lie群同调论的工作。当然，他还受益于Serre：Riemann-Roch定理可以从层上同调和示性类的角度来理解和推广源于Serre的洞见。他在Topological Methods in Algebraic Geometry的前言里表达了对这些人的谢意：这是“孤木不成林”的最好说明。

20世纪中叶，数学见证了拓扑方法在几何中的全面渗透。在这一大潮中，煊赫一时的Hirzebruch-Riemann-Roch定理很快在2个方向上得到了深远推广：Grothendieck-Riemann-Roch定理和Atiyah-Singer指标定理。

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