Drei Sätze von Hilbert Ⅳ


早在19世纪,代数几何已应用了上同调的方法(尽管当时同调论远未成型)。例如,经典线性系统理论可以从层上同调论的角度理解。Hilbert合系定理可以、也应该在这个框架下理解。

拓扑空间X上的“函数”可以视为某个交换环的层的截面,这诱导我们定义赋环空间(X,\mathcal{O}_X)。经典的例子包括(1)C^k流形及其上的C^k函数环;(2)解析簇及其上的解析函数环,或更一般的,解析空间;(3)代数簇及其坐标环,或更一般的,概型

“函数-环”的类比可推广为“向量丛-模”的类比:(1)平凡丛对应(有限生成的)自由模;(2)向量丛是局部平凡的,它对应局部自由模;(3)为方便同调代数的应用,Serre提出了平坦模的概念。对于Noether局部环上的有限生成模,“自由”与“平坦”是等价的。

同样为了方便同调代数的应用,H.Cartan和Serre发展了凝聚层的概念。几何中考虑的层大多是凝聚层。对于凝聚上同调,\mathrm{dim}H^q(X,\mathcal{F})<+\infty

层上同调的定义和计算通常有2种手段:Čech上同调和层的消解。层\mathcal{F}消解指的是正合列0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}^{*}\mathcal{F}^{*}=(\mathcal{F}^p,d^p)_{p \geq 0}。这方面的标准参考书是

Godement  Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux

\mathcal{F}^{*}的长度定义为n的上确界,长度有限的消解称为有限消解。根据\mathcal{F}^{*}的性质,消解又可分为自由消解,平坦消解,等等。

H^q(X,\mathcal{F}^p)=0q \geq 1成立,则称此消解为非循环消解。所有优层消解都是非循环的(基于单位分解)。另一方面,对于非循环消解,上链复形(\Gamma(X,\mathcal{F}^p),d_*^p)_{p \geq 0}的上同调群将同构于(由Čech上同调定义的)H^{*}(X,\mathcal{F})。这个结果又称为抽象de Rham定理:考虑消解0 \to \mathbb{R} \to \Omega^{*},我们将得到de Rham定理

非循环消解是实际应用中是方便的。但在概念上更令人满意的则是所谓的内射消解。主要的想法是将层上同调范畴化:此时截面函子是左正合函子,而层上同调可定义为相应的右导出函子。这是著名的“东北论文”的主题:

Grothendieck  Sur quelques points d’algèbre homologique

分次环A=\oplus_{l \geq 0} A_l上的分次A模层\mathcal{F}的分次自由消解指的是:\mathcal{F}^p是分次自由A模层,d^p是次数为0的齐次层同态。对于多项式环上的有限生成模这一特例,我们有

(Hilbert合系定理)有限生成的分次K[X_0,\cdots,X_n]M允许一个长度至多为n+1的分次自由消解0 \to M \to M^{*}

合系这个名词源于天文学。数学上,它指的是“模的生成元之间的关系”,即A模同态d_n

M的模本是射影簇X \subset P^n上的齐次坐标环。合系定理结合抽象de Rham定理保证了X的高阶上同调群消没,这无疑非常基本而重要。下面这个应用属于Hilbert本人:

对于有限生成的分次AM=\oplus_{m \geq 0} M_mH_M(m)=\mathrm{rk}_{A_0}(M_m)称为MHilbert函数P_M(t)=\sum_{m\geq 0} H_M(m)t^m称为MPoincaré级数

仍考虑A=K[X_0,\cdots,X_n]。简单的同调代数显示H_M(m)=\mathrm{dim}_K M_m等于“Euler示性数”\sum_{p \geq 0}(-1)^p H_{M^p}(m)(合系定理保证这是有限和)。

对于充分大的m_p,自由模M^p的Hilbert函数的取值重合于某个P_{M^p} \in \mathbb{Q}[z]。从而对任意Hilbert函数H_M我们都可以找到相应的Hilbert多项式P_M \in \mathbb{Q}[z]使得对于充分大的整数P_MH_M的取值重合。

Hilbert多项式是数值多项式:通常并非整系数却总是取整数值(不仅仅对于充分大的变量)。

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