Hodge理论 Ⅳ


关于Kähler流形上的Hodge理论,一部经典著作是

Weil  Introduction à l’étude des variétés kählériennes

复流形M上的Hermite度量h给出Riemann度量g=\mathrm{Re}\,h和2形式\omega=-\mathrm{Im}\,h。这允许我们定义一系列算子。

1)微分拓扑结构:de Rham复形(\Omega^*(M),d)和相伴的投影算子\Pi^k,Dolbeault复形(A^{p,*}(M),\bar{\partial})和相伴的投影算子\Pi^{p,q}

2)Riemann几何结构:g定义的实体积形式诱导Hodge星算子*,由此得到d的共轭算子d^*和Laplace-Beltrami算子\triangle_d

3)Hermite几何结构:h定义的复体积形式诱导Hodge星算子*_\mathbb{C},由此得到\bar{\partial}的共轭算子\bar{\partial}^*和Laplace-Beltrami算子\triangle_{\bar{\partial}}。对偶地,\partial\partial^*\triangle_\partial

4)殆辛几何结构:Lefschetz算子L:\mu \mapsto \mu \wedge \omega及其由*诱导的共轭算子L^*

现在我们要求M满足Kähler条件:d\omega=0。这可以导出一系列Kähler恒等式

(1)[L,\partial]=[L,\bar{\partial}]=0

(2)[L,\bar{\partial}^*]=-\sqrt{-1}\partial[L,\partial^*]=\sqrt{-1}\bar{\partial}

(3)[L,\triangle_d]=0

(4)\triangle_d=2\triangle_\partial=2\triangle_{\bar{\partial}}

(4)显示在紧Kähler流形M上实/复2种Hodge理论有很强的相互作用,这将给出丰富的结构。例如,由(4)知\triangle_d保持双分次结构:[\triangle_d,\Pi^{p,q}]=0,从而有

(Hodge分解)H^k(M,\mathbb{C})=\sum_{p+q=k}H^{p,q}

(Hodge共轭)H^{p,q}=\overline{H^{q,p}}

Hodge数h^{p,q}的一种常用的图像化是“Hodge钻石”(不妨将”diamond”理解成一种双关:既表示“菱形”又暗示了Hodge diamond在超越几何中的价值)。此时Hodge分解允许我们对每一行求和以读出Betti数,而Serre对偶、Lefschetz对偶和Hodge共轭分别对应Hodge钻石的中心对称性、上下对称性和左右对称性。一个简单的推论是:对于紧Kähler流形,Betti数b_{2m+1}是偶数。这可以用来检验复流形是否容许Kähler结构。

Hodge分解结合Lefschetz分解允许我们计算紧Kähler流形M^{2n}的号差:

(Hodge指标定理)\tau(M)=\sum_{p,q}(-1)^q h^{p,q}

证明可参见

Voison  Hodge theory and complex algebraic geometry Ⅰ

Hirzebruch利用Hodge指标定理和Hirzebruch号差定理2种方式来计算紧Kähler流形M^{2n}的号差,进而用Hodge数表出示性数,这在Hirzebruch-Riemann-Roch定理的原始证明中是关键的。一般地,我们可以问:是否可以用紧Kähler流形的Hodge数线性表出Chern数和Pontryagin数?这是我在MathOverFlow上提的第一个问题:新近的一个结果显示一般来说这是不可能的,换言之,Euler示性数、号差从某种角度上来说是“例外”不变量。一个3维的反例可以参见Sergey的回答

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