Weil猜想漫谈：幕间 VIII

在 $d$ 维光滑射影簇 $X$ 上，Frobenius元素 $\pi$ 自然作用于 $l$ -进上同调群 $H^i(\bar{X}_{et},\Bbb Q_l)$ . 我们希望证明
$W(X)$ ： $\pi$ 的所有特征值均为代数数，且有模 $q^{i/2}$ .
注意到这完全刻画了 $Z_X(T)$ 的根，因而特征多项式 $P_i(T)\in \Bbb Q[T]$ 与 $l$ 的选取无关。为简单起见，暂且将 $H^i(\bar{X}_{et},\Bbb Q_l)$ 记成 $H^i(X)$ .

在进入对Deligne I的讨论前，让我们「轻松」一下：假想现在是60年代而我们是（尚未提出标准猜想的）Grothendieck，让我们试着来证明 $W(X)$ .

最自然的思路当然是对 $d$ 作归纳。弱Lefschetz定理（「公理」7）立即派上了用场：与Poincaré对偶（「公理」4）相结合，并应用归纳假设， $W(X)$ 被简化为
$W(X)^d$ ： $\pi$ 在 $H^d(X)$ 上作用的所有特征值均为代数数，且有模 $q^{d/2}$ .

另一方面，假定 $W(X)$ ， $W(Y)$ 成立，由Künneth公式（「公理」5）， $Z_{X \times Y}(T)$ 是 $Z_{X}(T)$ 和 $Z_{Y}(T)$ 的Rankin-Selberg张量积：记 $A(T)=\prod_i(1-a_i T)\prod_I(1-a_I T)^{-1}$ ， $B(T)=\prod_j(1-b_j T)\prod_J(1-b_J T)^{-1}$ ，称 $C(T)=\prod_k(1-c_k T)\prod_K(1-c_K T)^{-1}$ 为 $A(T)$ 和 $B(T)$ 的Rankin-Selberg张量积，若 $\{c_k\}=\{a_ib_j\}$ ， $\{c_K\}=\{a_Ib_J\}$ .
于是 $W(X \times Y)$ 成立。一个良好的开始！
我们提醒读者，我们曾在《漫谈 III：第二主题》考虑过Hecke L-函数的Rankin-Selberg张量积，并用Landau定理给出了 $|a_i|$ 的上界，我们眼下的任务则是归纳估计 $|c_k|$ 和 $|c_K|$ 的模——两个主题之间有非常明显的平行性。这一平行性将最终允许我们证明Ramanujan-Petersson猜想。

基于这个简单的推理，Grothendieck曾做过非常「天真」的猜想（立即被Serre证否了¹）：任何射影簇都双有理等价于曲线乘积的商。问题在于，Künneth公式要求一个整体乘积结构，这个限制太强了。局部乘积结构要常见得多——大家都很熟悉拓扑中的纤维丛理论。Deligne选择的约化方式是：任何射影簇 $X$ 都双有理等价于某个 $\tilde{X}$ ，使得存在Lefschetz纤维化 $\phi:\tilde{X} \to P^1$ . 在复代数几何中，这个纤维化可以经由名为「Lefschetz铅笔」的构造得到，由此发展出了所谓的Picard-Lefschetz理论。

那么，让我们先来考虑Picard-Lefschetz理论及其代数化。对每根纤维应用归纳假设，让我们看看，这将把我们带向何方。

详见Grothendieck-Serre Correspondence. ↩

Weil猜想漫谈 VII：插曲

本章是漫谈的「插曲」——提及的所有结果都和Weil猜想的证明（或者更严格地说，Deligne I 中给出的证明）没有直接关联。然而如果我们把视野放宽，那么，在Weil猜想得到证明后，继续研究与代数闭链相关的种种猜想已成为现代代数几何理论的主旋律之一。

首先引入我们要讨论的对象：给定 $d$ 维光滑射影簇 $X$ ，代数闭链指的是形如 $\sum n_iX_i$ 的形式和， $X_i \subset X$ 是代数子簇¹， $n_i \in \Bbb Z$ . 我们可以考虑代数闭链所组成的环 $Z(X)$ ，按余维数引入的分次结构 $\displaystyle Z(X)=\oplus_{i=1}^{d} Z^i(X)$ 与相交积相容。视情况，我们也会考虑按维数引入的分次结构 $\displaystyle Z(X)=\oplus_{i=0}^{d-1} Z_i(X)$ .
熟知在 $Z^i(X)$ 上可以引入有理等价、代数等价、同调等价和数值等价这4种经典的等价关系，相应的等价类与 $\Bbb Q$ 作张量积后记为 $A^i_r(X)$ ， $A^i_a(X)$ ， $A^i_h(X)$ 和 $A^i_n(X)$ . 在之前的讨论中，我们已经见过 $A^i_r(X)$ （整系数的有理等价类 $Z^i_r(X)=CH^i(X)$ 通常称为Chow环²）和 $A^i_h(X)$ .

在代数几何所感兴趣的等价关系中，有理等价是最精细的一种。 $Z^1(X)$ （Weil除子）模去有理等价（线性等价）关系给出我们熟悉的除子类群/Picard群。更一般地，Chern特征给出Grothendieck同构 $\displaystyle \otimes_i A^i_r(X)=K_0(X) \otimes \Bbb Q$ ，这将Chow环与代数K-理论联系起来。
$Z^1(X)$ 模去代数等价关系给出（有限生成的）Néron–Severi群，这也是经典的内容。特别地，代数等价严格弱于有理等价：在代数闭域上， $\sum n_ix_i \in Z_0(X)$ 代数等价于0当且仅当 $\sum n_i=0$ 。
另一方面，在 $Z^1(X)$ 上，代数等价、同调等价和数值等价是重合的 (Matsusaka)，这个结论给人以强烈的暗示：「经典等价关系」是否在本质上只有2类呢？Griffiths找出了反例： $\Bbb C P^4$ 中的一般五次曲面，此时同调等价严格弱于代数等价。因此也就有了Griffiths群的概念：它衡量同调等价和代数等价的差距。
最后，我们依然不知道同调等价和数值等价是否总是重合。假定Lefschetz型标准猜想，不难推出对于任意给定的Weil上同调论，同调等价都和数值等价重合（有时称为标准猜想D），进而推出同调等价关系和所采用的同调论无关³！在Grothendieck的设想中，这将是构造「万有上同调论」的关键步骤，可惜现在还没有人知道该如何迈出这一步⁴。

以下我们还将陈述几个代数几何 / 算术几何中的重要猜想。基本的精神是：代数闭链的特定等价类可以用Hodge结构来描述。

首先是标准猜想。简单地说，3个Lefschetz型标准猜想可以叙述为：给定任意一种Weil上同调论，光滑射影簇上的代数闭链的同调等价类都应该表现得和在复射影簇上一样。尴尬的是，我们甚至无法完全描述复射影簇的情形。
(Hodge猜想) 在光滑复射影簇 $X$ 上，闭链映射 $\mathrm{cl}_X$ 给出 $A_h^i(X)$ 到 $H^{2i}(X,\Bbb Q) \cap H^{i,i}(X)$ 的同构。
这推广了 $i=1$ 的情况，即Lefschetz $(1,1)$ -类定理⁵。
作为七大千禧难题之一，Hodge猜想的官方叙述由Deligne给出。2000年之后的一个进展是Voisin证否了Hodge猜想在紧Kähler流形上的类比，这表明紧Kähler流形与代数流形的差别要比此前认识到的还要微妙。
完全类似的，考虑 $k$ 上的光滑射影簇 $X$ ， $k$ 为代数数域或有限域。选取在 $k$ 中可逆的素数 $l$ ， $l$ -进上同调群 $H^{2i}(X_{et},\Bbb Q_l)$ 在绝对Galois群 $\mathrm{Gal}(\bar{k}/k)$ 作用下的不变向量构成子空间 $H^{2i}_G(X_{et},\Bbb Q_l)$ 。我们有：
(Tate猜想) 闭链映射 $\mathrm{cl}_X$ 给出 $A_h^i(X) \otimes \Bbb Q_l$ 到 $H^{2i}_G(X_{et},\Bbb Q_l)$ 的同构。
显然，Hodge猜想/Tate猜想比Lefschetz型标准猜想更强（或者说更精确）。此外已知的结论大致如下： $\Bbb C$ 上的Lefschetz型标准猜想可以反过来推出Abel簇上的Hodge猜想，从而推出Abel簇上的Hodge型标准猜想。有限域上的Tate猜想（加上作为推论的猜想D）可以推出有限域上的Hodge型标准猜想。
猜想是数学中最迷人的部分。对算术几何感兴趣的读者不妨从阅读下面这本书开始：
Hulsbergen Conjectures in Arithmetic Geometry

另一本想推荐的书是Bloch, Lectures on Algebraic Cycles. 这是后续许多发展的源头（在Voison, Vol.2中详细介绍了和复几何相关的部分）。本章引入的概念太少，我们只能努力尝鼎于一脔，考虑经典的Abel-Jacobi定理的一种推广（却期望——但愿不是奢望——读者能够食髓知味，瞥见Chow环与Hodge结构的微妙关系！）
上面我们提及过，在复代数簇 $X$ 上， $Z_0^a(X) \cong \Bbb Z$ . Chow环 $CH_0(X)$ 通常要大得多：在复曲线 $C$ 上，Abel-Jacobi定理断言曲线的Jacobi簇 $CH_0(X)/Z_0^a(C)$ （点链的有理等价类，要求度数为0）同构于Albanese簇 $Alb(C)=\Gamma(C,\Omega^1)^{*}/H_1(C,\Bbb Z)$ . 一般的，在复代数簇 $X$ 上，我们有Albanese映射 $\alpha: CH_0(X) \to Alb(X)$ ，Rojtman定理指出Albanese映射限制到双方的有限子群上是同构。但这一同构通常无法提升到单位元所在的连通分支上：
(Mumford) 考虑复代数曲面 $S$ ，若 $S$ 的几何亏格 $h^{2,0}=\dim H^0(S,\Omega^2) \neq 0$ ，则 $\ker(\alpha) \subset CH_0(S)$ 在「无法用有限对象表出」的意义上是「大」的。
(Bloch猜想) 若复代数曲面 $S$ 满足 $h^{2,0}=0$ ，则Albanese映射 $\alpha$ 可以提升为单位元所在的连通分支的群同构。
Bloch猜想允许一个深远的推广，即所谓的Bloch-Beilinson猜想：在 $A^i_r(X)$ 上存在一个滤过结构，其伴随分次代数的消没情况为 $X$ 的上同调群所控制。更一般的，给定对应 $\Gamma \subset X \times Y$ ，伴随分次代数间的态射消没情况为Hodge结构间的态射情况所控制。这可以视为高维的Abel-Jacobi定理。和Hodge猜想类似，当前我们处于相当尴尬的境地：甚至连Bloch猜想这样「简单」的特例也仍未得到证明！
Jansen Motivic Sheaves and Filtrations on Chow Groups

最后，我们想顺带提及，在非光滑的情形，上述所有猜想都可以用混合Hodge结构，Fulton-MacPherson相交同调论，反常束和D模理论等工具重构。这已超出了漫谈的范围。Maybe elsewhere? (Well, no promise!)
下一章我们会回到Weil猜想，开始讨论Deligne I中给出的证明。

我们假定这些子簇都是光滑的：在特征0的情况，可以直接「粗暴地」使用Hironaka奇点消解定理。 ↩
几何学中有3个最重要的概念以华人命名：Chern类，Chow环和Calabi-Yau流形。 ↩
有一个绕过Weil上同调论，纯粹用闭链陈述的方法，即考虑Voevodsky定义的粉碎-幂零等价 (smash-nilpotence equivalence) 。这是一种强于同调等价的等价关系，然而我们猜想它依然和数值等价重合。 ↩
同样是Voevodsky找到了绕开这一点的方法。尽管没有完全遵循Grothendieck设想的方案，但他构造的母题上同调论已足以用于证明Milnor猜想乃至更一般的Bloch-Kato猜想（现在称为范数剩余同构定理）。 ↩
在 $i \geq 2$ 时，无法保证 $Z_h^i(X)$ 同构于 $H^{2i}(X,\Bbb Z) \cap H^{i,i}(X)$ ：Atiyah-Hirzebruch给出了反例。 ↩

Weil猜想漫谈 VI：Grothendieck之梦

绝对Galois群 $\mathrm{Gal}(\bar{\Bbb F}_q/\Bbb F_q)$ 在 $l$ -进上同调群 $H^i(\bar{X}_{et},\Bbb Q_l)$ 上有自然的表示。
（W3）作为生成元，Frobenius元素 $\pi$ 的所有特征值（作为代数数）有模 $q^{i/2}$ .
对(W3)的研究将人们导向现代代数几何某些最深入的猜想。概言之：一方面我们有代数闭链这个「几何」对象，另一方面我们有Hodge结构这个「分析」对象。我们相信这两个对象在某种意义上互相决定。困难在于，在这个方向上稍加前行，我们就会遇到Hodge猜想/Tate猜想。前者作为千禧七大难题之一，目前还看不到任何解决的希望。

在较初等的层面上，Hodge理论的“unreasonable effectiveness”已显露无遗：对于复代数簇，我们可以用它重新诠释大部分Lefschetz的拓扑理论。我们请不熟悉Hodge理论的读者在继续阅读之前，参考《Hodge理论》以了解一些最基本的事实，并阅读《Pauli矩阵，表示论与Kähler恒等式》一文，它给出了强Lefschetz定理（「公理」(8)）的分析证明，并叙述了de Rham上同调群的Lefschetz分解——这对于理解标准猜想是必须的。或者，读者可以直接参考目下介绍Hodge理论的最佳书籍：
Voison Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, Ⅰ & II

就Weil猜想而言，Serre发现Weil对(A3)的「正性证明」容许一个复曲线类比。特别的，这个类比可以用Hodge理论阐明：考虑复射影曲线 $C$ ， $\displaystyle (\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_C \omega_1 \wedge \bar{\omega}_2$ 在全纯1-形式的空间 $H^{1,0}(C)$ 上定义了一个正定Hermitian形式。若 $\pi:C \to C$ 是一个 $q$ 度自同构，则 $(\pi^{*}\omega_1,\pi^{*}\omega_2)=q(\omega_1,\omega_2)$ ，因而 $q^{-1/2}\pi^{*}$ 是 $H^{1,0}(C)$ 上的酉算子，其特征值均模1。利用Hodge对偶将 $\pi^{*}$ 扩张到 $H^1(C,\Bbb Q)$ 上，易见其所有特征值均模 $q^{1/2}$ .
这提供了证明(W3)的一个思路：首先用Hodge理论证明(W3)在高维复射影簇上的类比（由Serre完成），再考虑如何将这个证明「移植」到特征 $p$ 的情形。由于此时无法直接应用分析手段，我们必须反过来用Lefschetz的拓扑理论重新陈述Hodge理论的结论。我们将要点总结如下：
(1) 在Kähler流形上，Poincaré对偶可以细化为Hodge分解+Serre对偶。这个组合必须用Lefschetz分解来替代。这是Grothendieck将强Lefschetz定理列入Weil上同调论「公理」的原因。
(2) Lefschetz类 $\omega$ /算子 $L$ 的不同选择对应Hodge结构的不同极化(polarization)。这个选择当然不是任意的： $\omega$ 作为闭链映射的象，必然有同调类(1,1). 另一方面，Lefschetz $(1,1)$ -类定理保证这是唯一的限制：闭链映射映满有理(1,1)-类¹。在没有Hodge分解时，我们只能定义(1,1)-类 $A^1_h(X)$ 为 $\mathrm{cl}_X:A^1_r(X) \to H^{2}(X)$ 的象。一个「良定义」显然要求我们首先证明一个类似(1,1)类-定理的Lefschetz型定理²。
(3) 在特征 $p$ 的情形，由于任何Weil上同调论都不可能有实系数（参见上一章开头Serre的例子），我们无法定义Hermitian形式和酉算子。这是最次要的一点，很容易弥补用所谓的Weil形式来弥补。

上述讨论，尤其是(2)，将我们引向著名的标准猜想。它属于Grothendieck和Bombieri(独立地)。
Grothendieck Standard Conjectures on Algebraic Cycles
首先，在Lefschetz理论的一侧，我们有3个Lefschetz型标准猜想：
(猜想A) 同构 $L^{d-2i}:H^{2i}(X)\to H^{2d-2i}(X)$ 诱导同构 $L^i:A^i_h(X)\to A^{d-i}_h(X)$ ；
形式上，我们可以定义 $L$ 的共轭算子 $L^{*}$ . 与猜想A等价的，我们有
(猜想B) 作为(d-1,d-1)-类， $L^{*}$ 对应某个余维数为 $d-1$ 的代数闭链，即落在 $\mathrm{cl}_X:A^{d-1}_h(X) \to H^{d-1}(X)$ 的象中；
猜想A和猜想B的任一者均可推出较弱的
(猜想C) Künneth同构 $H^{*}(X \times X) \to H^{*}(X) \times H^{*}(X)$ 诱导同构 $A^{*}_h(X \times X) \to A^{*}_h(X) \times A^{*}_h(X)$ ；
另一方面，作为Hodge指标定理的推广，在Hodge理论的一侧，我们有Hodge型标准猜想²： $\forall i\leq d$ ，对称二次型 $A^i_h(X)_{pr} \times A^i_h(X)_{pr} \to \Bbb Q$ ， $x,y \mapsto (-1)^i x \cdot y \cdot u^{d-2i}$ 为正定型，此处 $A^i_h(X)_{pr}=\ker(L^{*})\cap A^i_h(X)$ 为Lefschetz分解中的本原(primitive)部分。
$d=2$ 的情况即Weil对(A3)的「正性证明」。这基本上是唯一已知的情况！

Grothendieck原本希望通过证明强Lefschetz定理和标准猜想来证明Weil猜想。在他看来，除了（一般基域上的）奇点消解，标准猜想是整个代数几何中最为重要的问题。Deligne对Weil猜想的证明避开了标准猜想，而强Lefschetz定理则反过来成为这个证明的一个推论。这让Grothendieck感到失望。
40多年过去了，标准猜想仍是「臭名昭著」的开问题：即使将最弱的猜想C限制在特征0的情况下，也只有部分的结果。一个截至90年代的总结是
Kleiman the Standard Conjectures，in Motives
20多年来，对「Grothendieck之梦」的探索确实有所进展（但没有本质的突破）。MathOverflow上有一份更加简短的、截至2015年的总结可供参考。

作为丰富除子(ample divisor) $W$ 的象， $\omega$ 必须在(1,1)-类的整格点中选取：这是Kodaira嵌入定理的要求。 ↩
注意，这并非Hodge猜想。 ↩ ↩

Weil猜想漫谈 V：碧海潮生

构造Weil上同调并不容易。我们来看Serre的一个例子：
考虑椭圆曲线 $C$ 的自同态环 $\mathrm{End}(C)$ ， $\mathrm{End}(C) \times \Bbb Q$ 在2维线性空间 $H^1(C)$ 上有自然的表示作用。对于定义在 $\Bbb F_{p^2}$ 上的超奇异椭圆曲线 $C$ ， $\mathrm{End}(C) \times \Bbb Q$ 是 $\Bbb Q$ 上的可除四元数代数，因而在 $\Bbb R$ 上和 $\Bbb Q_p$ 上（从而在 $\Bbb Q$ 上）不存在2维表示。也即是说，Weil上同调论的系数必须要在 $\Bbb Q_l$ ， $l \neq p$ 中寻找。
另一方面，Grothendieck等人确实成功构造了所谓的 $l$ -进上同调论：对于定义在特征 $p$ 的有限域 $\Bbb F_q$ 上的光滑射影簇，和任意素数 $l \neq p$ ，存在一个以 $\Bbb Q_l$ 为系数的Weil上同调论，满足上一章定义的「公理」(1)-(8). 对于定义在 $\Bbb Q$ 上的射影簇 $V$ ，经「好的」模 $p$ 约化所得的射影簇 $V_p$ 的 $l$ -进上同调群与作为复代数簇的 $V$ 的de Rham上同调群有相同的秩¹。

我们承诺过我们的漫谈将会是几何式的。对于「抽象代数几何」苦手——例如，对于束论和同调代数毫无认识的人——上述定义，加上对上同调论的几何想象，已足以支撑他们完成这次「漫步」——尽管会丢失许多细处的风景。这些人可以就此止步了。当然，为了形成正确的「比例感」，我们还必须提醒： $l$ -进上同调论的构造，以及「公理」(1)-(7)的验证绝不是轻易的，(8)则尤其困难。不要被简单的叙述所蒙蔽，而小看了Grothendieck, M.Artin, Verdier等人的工作！
剩下的人，让我们继续前进。

应用代数拓扑于代数几何的早期尝试一直为如下难题所困扰：代数簇上的「天然」拓扑——Zariski拓扑——太过「粗糙」（开集/闭集太少）²。Grothendieck试图绕开这个难题：毕竟，对于上同调论的应用而言，束才是更基本的对象。而束的定义不一定要依赖于底空间上的开集。更进一步，我们可以问一个「天真」的问题：什么是「开集」？Grothendieck以相对性观点 (relative viewpoint) 知名，在他看来，「开集」同样是对象间的态射：在复拓扑的情况，我们可以取万有对象为 $\Bbb C^n$ ，态射为局部解析同构，从而将复拓扑「传递」到一般解析簇上。在Zariski拓扑的情况，Serre提出可以用平展态射 (étale morphism)来替代局部解析同构。对于局部Noetherian概型，可以将平展态射粗略地理解为「非分歧覆迭」，我们请读者记住这个几何图像³。
对于簇/概型 $X$ ，用所有对象到 $X$ 的平展态射的范畴取代（过小的）Zariski开集的范畴，我们得到所谓的平展拓扑 ( étale topology) 。束当然是上述范畴到Abel群范畴的反变函子，满足熟知的一系列公理。特别的，应用著名的[Grothendieck, 1957] (「东北论文」)的观点：截影函子作为左正合函子，定义其右导出函子为束的上同调群，由此得到的束上同调论称为平展上同调 (étale cohomology)。
在法语中，“étale”可以与「潮平两岸阔」的意向相联系，这是Grothendieck作为诗人的一面⁴。

回到有限域 $\Bbb F_q$ 上的射影簇 $X$ 。有鉴于开篇提到的例子，自然会考虑 $H^i(X_{et},\Bbb Q_l)$ 能否提供一个Weil上同调论——这被证明是一个失败的尝试。 $l$ -进上同调群的「正确」定义是 $H^i(X_{et},\Bbb Z/l^k \Bbb Z)$ 的逆向极限（与 $\Bbb Q_l$ 作张量积以抹去所有挠元）。很遗憾，通常人们依然用 $H^i(X_{et},\Bbb Q_l)$ 来表示这个上同调群，这引发了大量混淆。
通过上述方式定义的 $l$ -进上同调论是一个Weil上同调论。从定义的复杂度可以想见，「公理」(1)-(7)的验证全都是不平凡的定理，读者必须到SGA（或者更现代的，我们推荐Milne的讲义）中寻找细节。作为算术几何和表示论的基础工具，平展上同调是任何严肃的代数/数论研究者都无法逃避的一课。

我们用两段相关的讨论来收尾。首先是关于Tate模：
考虑定义在 $\Bbb F_q$ 上的Abel簇 $X$ ， $\bar{X}=X \times \bar{\Bbb F}_q$ . $\bar{X}$ 上的 $l^k$ -挠元构成一个逆向系统，其逆向极限 $T_l(X)$ 称为 $X$ 的Tate模。
这个定义与 $l$ -进上同调的定义存在明显的类似性。事实是，作为自由 $\Bbb Z_l$ -模， $T_l(X)$ 与 $H^1(\bar{X}_{et},\Bbb Z_l)$ 对偶，从而可以「代替」 $H^1(\bar{X}_{et},\Bbb Z_l)$ .
这个对象有表示论上的兴趣： $\Bbb F_q$ 的绝对Galois群自然地作用于 $T_l(X)$ ，前者的生成元不是别的，正是Frobenius元素 $\pi$ 。特别的，对于椭圆曲线，(A3)和它的种种变体都等价于： $\pi$ 在2阶自由模 $T_l(X)$ 上作用的2个特征值（作为代数数）均有绝对值 $q^{1/2}$ .
正如我们之前所说的，(A3)的表示论证明对椭圆曲线和高亏格曲线的Jacobi簇考虑了作为Frobenius元素表示的Tate模，作为「第一同调群」，它包含了曲线的所有同调论信息⁵。
对任意光滑射影簇 $X$ ， $H^i(\bar{X}_{et},\Bbb Q_l)$ 上同样有自然的Galois表示。如果我们对Langlands对应作最粗略的解读：「Galois表示-自守表示」，「Frobenius特征值-Hecke特征值」，那么这个对应会将我们自然地导向Ramanujan-Petersson猜想。
迟一些时候，我们会再次回到这个话题。

最后，我们还想总结一下已知的4种经典「Weil上同调论」：
(1) Betti上同调：由注2中提及的“GAGA”，我们可以将其等同于复代数簇上的复系数奇异上同调。
(2) $l$ -进上同调：和Betti上同调构成了「提升/约化」的关系。
(3) 代数de Rham上同调：利用Kähler微分的概念，将复代数簇上的de Rham上同调推广到任意特征0的代数簇上。
(4) $p$ -进上同调（晶状上同调，刚性上同调）：可以认为是代数de Rham上同调的「模 $p$ 约化」，以Witt向量为系数。这是一种比 $l$ -进上同调更「透彻」的上同调论：可以侦测到挠元，避开了 $l \neq p$ 的限制，等等。特别的，可以用它来证明(W3)。我们将在漫谈的最后回到这一点上来。
(2)(3)(4)的构造都与Grothendieck密切相关，这构成了他工作的一大主题。如同注1所提及的，它们可以视为母题上同调的不同「实现」。

这个性质启发了Grothendieck提出动机理论：代数几何对象实际上仅有一个「上同调论」和这个「上同调论」在不同位(place)上的「实现」，或者说种种上同调论均可factor through这个假想中的「万有上同调论」——称为母题/动机(motivic)上同调。 ↩
因此，和复拓扑的正面类比结果就显得尤为难得，最著名的例子可能是Serre的“GAGA”：对于复代数簇上的凝聚束 (coherent sheaf) ，Zariski拓扑给出和复拓扑相同的束上同调论。 ↩
这个观点通过基本群导向Grothendieck的Galois理论。 ↩
在《播种与收获》(Recoltes et Semailles) 中，Grothendieck曾将自己做数学的方式形容为「潮水渐涨」。 ↩
事实上，作为Galois表示，Tate模决定了椭圆曲线的同源类。Tate证明了有限域的情况。对于代数数域上的Abel簇，类似陈述称为Tate同源猜想，Faltings在证明Mordell猜想的过程中证明了这个猜想。↩

Weil猜想漫谈 IV：拓扑征服

「拓扑征服」不是地道的汉语。然而Norman conquest确乎是地道的英语——我们取这个意思。

让我们回到代数几何。迄今为止我们还未给出(A1)(A2)，特别是(A3)的证明。我们希望在(W1)(W2)(W3)的框架下统一考虑在几何方面所需的准备工作。约定如下记号： $X$ 为定义在 $\Bbb F_q$ 上的 $d$ 维光滑射影簇， $\bar{X}=X \times \bar{\Bbb F}_q$ .

Hasse找到了这样一条几何线索：在射影簇 $\bar{X}$ 上，我们可以定义Frobenius自同态塔 $\pi,\pi^2,\pi^3,\cdots$ （请读者考虑具体的定义方法并证明 $\bar{X}$ 的不变性。）特别的， $X$ 上的 $\Bbb F_{q^n}$ -点集 $X(\Bbb F_{q^n})$ 正是自同态 $\pi^n:\bar{X} \to \bar{X}$ 的不动点集，估计 $N_n$ 的大小转化成了不动点计数的问题。关于后者，我们有经典的：
(Lefschetz不动点定理) 对于复代数簇 $X$ ，态射 $f:X \to X$ 在 $H^i(X,\Bbb Q)$ 上诱导线性表示 $f^{*}$ 。假定 $f$ 的图 $\Gamma_f$ 和恒同映射的图 $\Delta$ （均为 $X \times X$ 的子集，我们将其视为代数几何意义上的对应）横截相交，我们定义 $f$ 的不动点为这些交点在 $X$ 上的投影。不动点的个数 $\displaystyle N=\sum_i(-1)^i \mathrm{tr}(f^{*}|H^i(X),\Bbb Q)$ .

当然，我们面临的问题依旧是对于有限域上的 $X$ 定义「合适」的上同调论，使得Lefschetz不动点定理的类比成立。假设我们已做到这一点，(W1)的证明是轻易的： $\displaystyle \sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n=\sum_i\sum_{n\geq 1}(-1)^i \mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^i(X))\frac{T^n}{n}$ ，也即
$\displaystyle Z_X(T)=\prod_i \det(1-\pi^{*}T|H^i(X))^{(-1)^{i+1}}$
此时 $P_i(T)=\det(1-\pi^{*}T|H^i(X))$ ，如果我们能证明 $\dim H^i(X)=\dim H^i(X(\Bbb C),\Bbb Q)$ ，自然也就得到 $\deg(P_i)=b_i(X)$ .
$\pi^{*}$ 在 $H^{2d}(X)$ 上的作用是乘以 $q^d$ . 不难发现(W2)相当于Poincaré对偶：若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 是 $\pi^{*}$ 在 $H^i(X)$ 上的特征值，则 $q^{2d}/\alpha_1,\cdots,q^{2d}/\alpha_s$ 是 $\pi^{*}$ 在 $H^{2d-i}(X)$ 上的特征值。

将上述讨论一般化：
给定域 $k$ (任意特征)和 $K$ (特征0)，记 $k$ 上光滑射影簇的范畴为 $P$ ，分次 $K$ 代数的范畴为 $R_K$ 。定义Weil上同调函子为反变函子 $H^*:P \to R_K$ ，对所有 $d$ 维射影簇 $X$ ，满足以下公理：
(1，有限公理) $H^i(X)$ 是有限维 $K$ -线性空间；
(2，消没公理) $H^i(X)=0$ ，除非 $0\leq i\leq 2d$ ；
(3，定向公理) $H^{2d}(X)=K$ ；
(4，Poincaré对偶) 存在非退化配对 $H^i(X) \otimes H^{2d-i}(X) \to H^{2d}(X)=K$ ；
(5，Künneth公式) 投影映射 $X \times Y \to X,Y$ 诱导典范同构 $H^{*}(X) \otimes H^{*}(Y) \to H^{*}(X \times Y)$ ；
上述5条公理是一般上同调论的共性。我们希望Weil上同调还能给出代数几何特有的
(6，闭链映射) 记 $A^i_r(X)$ 为 $X$ 中余维数为 $i$ 的代数闭链的有理等价类所张成的 $\Bbb Q$ -线性空间。要求存在 $\mathrm{cl}_X:A^i_r(X) \to H^{2i}(X)$ 满足函子性，与Künneth公式相容，并在 $X$ 退化为单点时给出嵌入 $\Bbb Q \subset K$ .
Lefschetz不动点定理的成立仅依赖于上述6条公理。也就是说，只要我们能构造出满足条件的Weil上同调理论，并证明与 $K \to \Bbb Q$ 相应的基域变换定理，就能给出(W1)(W2)的证明¹！

对于 $\Bbb C$ (乃至一般的特征0的代数闭域)，Kähler流形上的de Rham上同调给出Weil上同调的范例。假定 $H$ 是背景射影空间中的超平面， $j:W=H \cap X \to X$ 是光滑嵌入，我们有额外的：
(7，弱Lefschetz定理) $j^{*}:H^i(X) \to H^i(W)$ 在 $i \leq d-2$ 时是同构，在 $i=d-1$ 时是单同态。
令 $\omega=\mathrm{cl}_X(W)\in H^2(X)$ ，并定义Lefschetz算子 $L:H^i(X)\to H^{i+2}(X)$ ， $x \mapsto x \cdot \omega$ . 此时可以用Hodge理论证明：
(8，强Lefschetz定理) $L^i:H^{d-i}(X) \to H^{d+i}(X)$ 是同构。
我们当然希望我们构造的Weil上同调和Kähler流形上的de Rham上同调有最大程度的平行性：满足(7)(8)两条「公理」。这原本是一个有独立意义的课题，但最终也被证明和(W3)相关：(8)在某种意义上「等价」于(W3). 我们将这个话题留待后叙。

暂且放下(8)不论，至少这一点是清楚的：仅仅对(1)-(6)作形式推理并不足以证明(W3)，我们仍需要额外的「材料」。
让我们先考虑(A3)：对代数曲线 $C$ 和Frobenius自同态 $\pi^n$ 应用不动点定理， $\displaystyle N_n=\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^0(X))-\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^1(X))+\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^2(X))$
注意到 $\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^0(X))=1$ ， $\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^2(X))=q^n$ ，Hasse-Weil上界等价于估计 $\displaystyle |\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^1(X))| \leq 2gq^{n/2}$
Hasse ( $g=1$ ) 和Weil ( $g>1$ ) 对这个估计给出了多种多样的证明。从现代观点看，这些证明大致可以分成2类²。其一是考虑椭圆曲线和高亏格曲线的Jacobi簇作为交换代数群的 $l$ -进表示。这类证明可以推广到Abel簇上 (Weil). 第二类证明更加几何化：早在Lefschetz之前，Hurwitz就对复代数曲线 $C$ 建立了不动点定理的一个变体。特别的，如果将定理右端上同调群的特征全部改写成特定曲线的相交数，就可以避开上同调论。将这个相交理论平行迁移到非特征0的代数闭域上，则上述估计是 $C\times C$ 上的Castelnuovo-Severi不等式的推论。此即所谓的(A3)的「正性」(positivity) 证明。
为了完成这两个证明，Weil一手发展了现代意义上的抽象Abel簇理论，并为一般域上的相交理论建立了严格的代数基础³。
在今后的漫谈中，我们会在更大的框架下回顾这两类证明。

总结一下。现在我们手头有两个任务：一是在特征 $p$ 的域上构建一个Weil上同调理论，要求满足(1)-(6)（这允许我们证明(W1)(W2)），最好还能满足(7)(8). 二是在这个Weil上同调论的基础上，寻找更深入的理论，以求证明(W3).

终于，轮到Grothendieck登场了。

这一点是Serre告知Grothendieck的。 ↩
事实上在椭圆曲线的情况，Hasse的第一个证明是复乘理论的应用。我们不会讨论这个证明，仅仅指出它也应该被纳入到Eichler-Shimura-Langlands的大图景中。 ↩
对这段历史感兴趣的读者可以参阅 Milne The Riemann Hypothesis over Finite Fields: From Weil to the Present Day. 几年前我们在《Weil的广博》一文中用粗线条勾勒过Weil在这几个方面的工作。 ↩

Weil猜想漫谈 III：第二主题

通常在介绍Weil猜想时，「第二主题」的进入会被推迟到「末乐章」——即Deligne完成证明的最后一步。这不尽合乎历史发展的顺序，也破坏了Langlands所揭示的两个主题的对应结构。因此，我们决定在发展「第一主题」之前，让「第二主题」先行进入。具体地说，我们将暂时离开代数几何，而去考察起源于自守形式理论的另一大类L函数。

熟知模形式 $\displaystyle \Delta(z)=q\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)^{24}$ ， $q=e^{2\pi\sqrt{-1}z}$ 是（精确到常数意义上）唯一的权为12的尖点形式：
(1) $\displaystyle \Delta(\frac{az+b}{cz+d})=(cz+d)^{12}\Delta(z)$ ；
(2) Fourier展开 $\displaystyle \Delta(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n$ 无常数项；
1916年，Ramanujan证明了：
(1) 对于素数 $p$ ， $\tau(p) \equiv 1+p^{11}\mod 691$ ；
并提出了如下猜想：
(2) $\tau$ 满足递推式：
(2.1) $\tau(mn)=\tau(m)\tau(n)$ ，若 $(m,n)=1$ ；
(2.2) $\tau(p^{i+1})=\tau(p^{i})\tau(p)-p^{11}\tau(p^{i-1})$ ，若 $p$ 为素数；
或者等价的，
(2′) L函数 $\displaystyle L_\Delta=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)n^{-s}$ 有Euler积表示 $\displaystyle \prod_p Q_p(p^{-s})^{-1}$ ，其中 $Q_p(T)=1-\tau(p)T+p^{11} T^2$ ；
(3, Ramanujan猜想) $|\tau(p)|<2p^{11/2}$ ，即 $Q_p(X)$ 无实根；
结合(2)，我们可以将(3)改写成等价的(请读者证明)
(3′) $|\tau(n)|<\sigma_0(n)n^{11/2}$ ， $\displaystyle \sigma_0(n)=\sum_{d|n}1$ 是除数函数；
(3”) $|\tau(n)|=O(n^{11/2+\epsilon})$ ， $\forall \epsilon>0$ ；
注意，对Fourier系数的初等估计已给出 $\tau(n)=O(n^6)$ .

(1)的证明只需注意到：作为权12的模形式， $E_6^2$ 可以表成 $\displaystyle E_{12}+\frac{a}{691}\Delta$ ， $a \in \Bbb Z$
691的出现是因为我们有Eisenstein级数展开：
$\displaystyle E_{12}(z)=1+\frac{65520}{691}\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{11}(n)q^n$ ， $\displaystyle \sigma_q(n)=\sum_{d|n}d^q$
Mordell对(2)的证明发展为Hecke理论¹：
以下称模形式 $f$ 是归一的，若 $f$ 的Fourier系数 $\lambda_f(n)=O(n^C)$ ， $C>0$ ，且 $\lambda_f(1)=1$ .
在权为 $k$ 的模形式空间 $M_k$ 上可定义Hecke算子 $T_k(n): M_k \to M_k$ ，满足 $T_k(m)T_k(n)=T_k(n)T_k(m)$ .
若归一模形式 $f$ 同时为所有Hecke算子 $T(n)$ 的特征函数，则 $f$ 有对应的Hecke L函数
$\displaystyle L_f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_f(n)n^{-s}=\prod_p(1-\lambda_f(p)p^{-s}+p^{k-1-2s})^{-1}$
(Hecke) $\hat{L}_f(s)=(2\pi)^{-s}\Gamma(s)L_f(s)$ 可解析延拓为：整函数，若 $f$ 是尖点形式；仅在 $s=0$ 和 $s=k$ 处有单极点的亚纯函数，若 $f$ 非尖点形式。 $\hat{L}_f$ 满足函数方程 $\hat{L}_f(k-s)=(-1)^{k/2}\hat{L}(s)$ .
特别地，限制到尖点形式空间 $S_k$ 上，Petersson内积使Hecke算子成为一族可互换的自共轭算子，从而给出 $S_k$ 的一族正交单位基。对于归一Hecke特征形式 $f$ ，我们可以将(3)推广为
(Ramanujan-Petersson猜想) $|\lambda_f(p)|<2p^{(k-1)/2}$ ，或者等价的， $|\lambda_f(n)|=O(n^{(k-1)/2+\epsilon})$ ， $\forall \epsilon>0$ ；

1939年Rankin迈出了朝Ramanujan-Petersson猜想推进的第一步。这是著名的Rankin-Selberg方法的一个应用。
给定权为 $k$ 的归一模形式 $\displaystyle f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a(n)q^n$ ， $\displaystyle g(z)=\sum_{n=1}^{\infty}b(n)q^n$ ，考虑对应的Hecke L函数 $\displaystyle L_f(s)=\prod_p[(1-\alpha_1(p)p^{-s})(1-\alpha_2(p)p^{-s})]^{-1}$ ， $\displaystyle L_g(s)=\prod_p[(1-\beta_1(p)p^{-s})(1-\beta_2(p)p^{-s})]^{-1}$ ，
此时我们可以定义张量积 $\displaystyle L_{f\otimes g}(s)=\prod_p[(1-\alpha_1\beta_1(p)p^{-s})(1-\alpha_1\beta_2(p)p^{-s})(1-\alpha_2\beta_1(p)p^{-s})(1-\alpha_2\beta_2(p)p^{-s})]^{-1}$
不难证明 $\displaystyle L_{f\otimes g}(s)=\zeta(2s-2k+2)\sum_{n=1}^{\infty}a(n)b(n)n^{-s}$ .
(Rankin-Selberg) $\displaystyle \hat{L}_{f\otimes g}(s)=(2\pi)^{-2s}\Gamma(s)\Gamma(s-k+1)L_{f\otimes g}(s)$ 可以延拓为全平面上的亚纯函数，至多在 $s=k$ 和 $s=k-1$ 处有单极点，并满足函数方程 $\displaystyle \hat{L}_{f\otimes g}(s)=\hat{L}_{f\otimes g}(2k-1-s)$ .
例1 令 $\displaystyle g=-\frac{B_k}{2k}E_k$ ， $\displaystyle L_{f \otimes g}(s)=L_f(s)L_f(s-k+1)$ . 注意到此式给出了又一种解析延拓 $L_f(s)$ 的方式。
例2 $L_{f \otimes f}(s)$ 在 $s=k$ 和 $s=k-1$ 处有单极点，由此知Dirichlet级数 $\displaystyle D(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_f(n)^2 n^{-s}$ 的所有可能极点中， $s=k$ 的实部最大。
另一方面，给定 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}c_nn^{-s}$ ， $c_n\in \Bbb R_{+}$ ，我们有经典的
(Landau) 若该Dirichlet级数在某个半平面 $\Re{s}>l$ 内绝对收敛， $l_0=\inf \{l\} >-\infty$ ，则级数在 $s=l_0$ 处有奇点。
特别的， $D(s)$ 在 $\Re{s}>k$ 内绝对收敛。若将 $D(s)$ 在绝对收敛区域内写成Euler积形式 $\displaystyle D(s)=\prod_p \frac{1}{(1-a_{p,1}p^{-s})\cdots(1-a_{p,m}p^{-s})}$ ，则 $|a_{p,i}|\leq p^k$ ， $\forall p,i$ .
通过仔细分析这些 $a_{p,i}$ ，可以改进初等估计 $|\lambda_f(n)|=O(n^{k/2})$ ：
(Rankin) $|\lambda_f(n)|=O(n^{k/2-1/5})$

我们对模形式理论的讨论暂告一段落。从经典的观点看，Ramanujan $\tau$ 函数似乎与Weil猜想了无关联。Weil的确注意到Euler因子 $Q_p(T)=1-\tau(p)T+p^{11} T^2$ 与局部 $\zeta$ 函数的Euler因子 $Z_C(T)$ 存在某种相似性，并提出或许可以通过研究（假想的）「Ramanujan簇」证明 $\tau$ 函数满足的其他同余关系²。然而真正在两者之间建立起坚实的联系却是60年代后期的事情：此时 $l$ 进上同调， $l$ 进表示，乃至由Eichler-志村等人肇始、以谷山-志村猜想的形式出现，又由Langlands极大推广的「动机L函数-自守L函数」对应等一系列思想都臻于成熟。
当我们的「第二主题」以表示论的形式再次响起时，读者将会较清楚地看到上述思想的互相关联。再往后就是乐曲的高潮：Deligne综合了所有这些发展，得到了一个伟大的「交互证明」，即借助（经Langlands推广后的）Rankin技巧证明了Weil猜想，又利用Weil猜想给出了Ramanujan-Petersson猜想的证明。

对于实解析的Maass形式也可以发展完全类似的理论，参见我们之前的讨论。这种情况下的Ramanujan-Petersson猜想仍是开问题。另一方面，可以利用表示论的观点对Hecke理论进行重述和推广，参见Bump, Automorphic Forms and Representations. ↩
参见他在1960年写给Serre的私人信件。Milne, The Riemann Hypothesis over Finite Fiels: From Weil to the Present Day收录了此信的影印件，并附有英文翻译。 ↩

月旦 VIII

For September, 2016

首先，是最大孪生素数对的新纪录：
$2996863034895*2^{1290000}\pm 1$
今年年初，已知最大（Mersenne）素数的记录刚刚被刷新，详见《月旦I》。
~~下个月的月旦会讨论一个与孪生素数相关的话题，敬请期待。~~

经过「精心预谋」，我们已将《Weil猜想漫谈》更新到了合适的进度，使我们能进行下面两个话题的讨论：

我们希望从一篇expository article谈起：
Zagier Values of Zeta Functions and Their Applications
这篇短文包含非常丰富的内容，最初等的（或许也是最有趣的）是 $\zeta(2)=\pi^2/6$ 的「极简证明」。剩下的内容围绕动机 (motivic)¹ $\zeta$ 函数在不同数学领域中的种种面相展开，包括《漫谈II》中提及Hasse-Weil函数，以及（可能会让物理研究者感兴趣的）在计算Feynman图时频繁出现的各种周期和多元 $\zeta$ 函数。
后续的进展包括：
(1)借助Grothendieck和Tate对动机的经典猜想，Kontsevich和Zagier提出了判定Feynman积分的Taylor展开系数（周期）是否为多元 $\zeta$ 函数值的方法：考虑 $\Bbb Q$ 上代数簇 $X$ 的模 $p$ 约化，此时「杏仁数」 $N_p$ 应为 $p$ 的多项式——我们回到了《漫谈II》！
Kontsevich, Zagier Periods
(2)Kapranov定义了以他命名的Kapranov $\zeta$ 函数（将Hasse-Weil $\zeta$ 函数中Grothendieck环到整数的计数映射换成恒等映射），从而将Zagier论及的2个主题真正联系到一起。
这个方向上的研究已有不少成果，我们仅提及一个，即Larsen和Lunts证明了对代数曲面 $X$ ，Kapranov $\zeta$ 函数为有理函数当且仅当 $X$ 有Kodaira维数 $-\infty$ （对比Hasse-Weil $\zeta$ 函数的情形）。我们注意到，Gu Yuzhou同学就这个结果写有一篇expository article.
关于上述后续进展，可以参见Yves André的总结。我们希望用这段讨论向Gu Yuzhou同学表达谢意：他指出了《漫谈II》中的一处错误。

另一个与《漫谈》有关的话题是Kowalski回顾并总结了4年前他提出的「双射挑战」：证明 $\Bbb F_p$ 上两条同源椭圆曲线 $E$ 和 $E'$ 的 $\Bbb F_p$ 点集存在（典范的）一一对应关系。注意到 $N_p=N_p'$ 相等可以用多种手段证明：有代数的，也有分析的，有「初等」的，也有不那么「初等」的。
对此感兴趣的读者不妨一试身手。

David Mumford终于再度更新了他的blog：这次他回忆了他与Shafarevich的交往，并论及反犹主义，「民族」与「传统」，当今世界的保守思潮，以及——不能免俗的——Donald Trump.

同伦型理论 (Homotopy Type Theory, HoTT)真的会对逻辑学、形而上学和物理哲学产生影响吗？我没有下判断的资格。是的，型理论和分析哲学有着相同的源头：Russell, Frege, etc. 但这种亲缘关系似乎无法保证什么。从纯数学的角度看，范畴论确确实实产生了新的成果，但HoTT相对于集合论公理体系的优势在哪里呢？似乎也没有看到特别值得一提的例子。那么，我们究竟在追求什么？
我对理论的了解太少。而我想知道的问题又太多。

John Baez以《Struggles with the Continuum》为题写作的系列文章讨论连续时空假设给物理学带来的种种问题。这个系列的文章质量不是很均匀，不过——读者可能已经注意到——Struggles with the Continuum，也可以说是fight with infinity，这是我们关注这个系列的原因。

Quanta Magazine刊登了又一篇讨论弦论前景的文章。我想引述的仅仅是Juan Maldacena的一句话，即string theory的「再定义」：“STRINGS: Solid Theoretical Research in Natural Geometric Structures”. 这个定义既有极其广泛的包容性 (“natural” & “geometric”)，也为进一步研究提出了指导原则 (“solid”)。I like it!

8月的丘王之争，一个焦点是杨振宁先生的取态。本月，被卷入漩涡的杨先生正式表明了反对建设超大型对撞机的态度，现任高能所所长王贻芳则对杨先生的论点进行了一一驳斥，甚至翻出了旧账，同时也是「李杨之争」中的某个小插曲：在70年代，杨就反对李在中国建设高能加速器的提议。
争论的升级「惊动」了新华社和众多外媒，并在更大的范围内引发了正反两方的激烈辩论。
「赛先生」主编文小刚对过去300天的争辩进行了回顾。

关于量子卫星，潘建伟接受了官媒的访问。
在涉及大型科技项目的决策上，即使是中国政府也无法完全忽略来自老百姓的意见，媒体的作用因此得以凸显。
科学家或多或少都有「教育人」的经验。然而，他们是否擅长「说服人」呢？（官媒是另一回事，是训喻而不是说服。）在我看来，有些科学家在这方面做得较好，有些，则还需要努力。

关于「韩春雨事件」，本月有更多的后续：
方舟子 调查韩春雨造假问题的最终解决办法
甄大元（化名） 河北科大应启动对韩春雨的学术诚信调查：这是对他的最好保护
时间在慢慢过去。我们依然抱着良好的期待，期待这不会成为另一桩丑闻。然而事实不区分善意和恶意。事实最终只会显露为事实。

如同以前提到过的，我们认为「母题」可能是更合适的中译。 ↩

Weil猜想漫谈 II：数杏仁

Zähle die Mandeln,
zähle, was bitter war und dich wachhielt,
zähl mich dazu.

Paul Celan (1920-1970)

记曲线 $C$ 上的 $\Bbb F_{q^n}$ -点集为 $C(\Bbb F_{q^n})$ ， $N_n:=|C(\Bbb F_{q^n})|$ 是我们感兴趣的「杏仁」个数。
我们希望说明上一章所定义的 $Z_C$ 恰好包含了我们需要的所有信息¹：
$\displaystyle \log Z_C(T)=\sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n$
为此只需对 $\displaystyle Z_C(T)=\prod_{x \in C}(1-T^{\deg(x)})^{-1}$ 的两边取对数，并注意到右端可以整理为
$\displaystyle -\sum_{x \in C}\log(1-T^{\deg(x)})=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{x\in C}\frac{(T^i)^{\deg(x)}}{i}=\sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n$
最后一个等式是因为 $\displaystyle N_n=\sum_{x\in C,\deg(x)|n}\deg(x)$ .
$\zeta_C$ 和 $N_n$ 互相决定，这在方法论上令人满意：研究 $\zeta_C$ 给出了数「杏仁」的统一途径。

在(A1)中令 $P_{2g}=(1-a_1 T)\cdots(1-a_{2g} T)$ ，则我们有显式
$\displaystyle N_n=1+q^n-\sum_{i=1}^{2g}a_i^n$
即便在不具体求解 $a_i$ (取决于曲线 $C$ )的情况下, 「Riemann猜想」(A3)也允许我们给出统一的估计：
(A3’，Hasse-Weil上界) $\displaystyle |N_n-1-q^n|\leq 2g q^{n/2}$
反过来，利用(A2)，请读者自行证明：若(A3′)对 $\forall n$ 成立，则可逆推出(A3)成立。

现在让我们回溯到现代数论初生的年代，寻找另一条数「杏仁」的线索。在对二次互反律的研究中，Gauss定义了所谓的二次Gauss和，并发现可以用它计算诸如 $ax^3-by^3=1$ ， $ax^4-by^4=1$ ， $y^2=ax^4-b$ 等方程有多少个模 $p$ 解。他甚至提出了类似Hasse-Weil上界的猜想以估计 $N_1$ ！
Gauss的工作为Jacobi所继承和推广。特别地，他定义了与Gauss和紧密相关的Jacobi和。一般的，选定有限域 $\Bbb F_q$ 和加法特征 $\psi: \Bbb F_q \to \Bbb C^{*}$ . 熟知 $\Bbb F_q^{*}$ 为 $q-1$ 阶循环群，故任意乘法特征 $\chi: \Bbb F_q^{*} \to \Bbb C^{*}$ 均由「生成元-单位根」的对应关系完全决定。约定 $\chi(0)=0$ ，我们定义
Gauss和： $\displaystyle G_q(\chi):=\sum \chi(r)\psi(r)$ . 平凡特征的Gauss和为0，对于非平凡的 $\chi$ ， $|G(\chi)|=q^{1/2}$ （Gauss定理）。
Jacobi和： $\displaystyle J_q(\chi_i,\chi_j):=\sum \chi_i(r)\chi_j(1-r)$ .
Gauss和与Jacobi和分别是 $\Gamma$ 函数和Beta函数在有限域上的类比²。特别地，我们有 $G(\chi_i\chi_j)J(\chi_i,\chi_j)=G(\chi_i)G(\chi_j)$ .
记 $\chi=(\chi_0,\cdots,\chi_r)$ ，我们可以推广Jacobi和的定义如下：
$\displaystyle J(\chi)=\prod_{i=0}^{r} G(\chi_i)/G(\prod_{i=0}^{r} \chi_i)$ ，若 $\chi_i$ 及 $\displaystyle \prod_{i=0}^{r} \chi_i$ 均不平凡；
$\displaystyle J(\chi)=\prod_{i=0}^{r} G(\chi_i)/q$ ，若 $\chi_i$ 均不平凡但 $\displaystyle \prod_{i=0}^{r} \chi_i$ 平凡；

Helmut Hasse (1898-1979) 重拾起这条线索：他与Davenport合作，运用Gauss和与Jacobi和，对 $\Bbb F_q$ 上形如 $a_0x_0^{n_0}+a_1x_1^{n_1}+a_2x_2^{n_2}=0$ 的仿射曲面证明了估计
$\displaystyle |N_1-q^2|\leq M (q-1)q^{1/2}$
这是迈向高维的第一步。
Davenport, Hasse Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen

接下来，就轮到André Weil (1906-1998)登场了。让我们先来看著名的[Weil, 1949]：
Weil Numbers of solutions of equations in finite fields
对于 $\Bbb F_q$ 上形如 $a_0x_0^{n_0}+a_1x_1^{n_1}+\cdots+a_dx_d^{n_d}=0$ 的超曲面，记 $g_i=(n_i,q-1)$ . 考虑所有 $\chi=(\chi_0,\cdots,\chi_r)$ ，使得 $\chi_i$ 不平凡， $\chi_i^{g_i}$ 平凡且 $\displaystyle \prod_{i=0}^{r} \chi_i$ 平凡。我们记 $\displaystyle C(\chi)=\bar{\chi}_0(a_0)\cdots\bar{\chi}_r(a_d)J(\chi)$ .
整理（并推广）Davenport, Hasse的工作，Weil证明了³
$\displaystyle N_1=q^d+(q-1)\sum_\chi C(\chi)$
由Gauss定理， $|C(\chi)|=q^{(d-1)/2}$ ，从而有Hasse-Davenport型估计： $\displaystyle |N_1-q^d|\leq M (q-1)q^{(d-1)/2}$

到目前为止我们仅仅考察了 $N_1$ . 利用Gauss和的Hasse-Davenport提升关系，可以找到 $N_n$ 的生成函数。通过在高维计算和观察具体的例子，Weil提出了著名的Weil猜想：
给定定义在 $\Bbb F_q$ 上的 $d$ 维光滑射影簇 $X$ ， $X(\Bbb F_{q^n})$ 为 $X$ 上的 $\Bbb F_{q^n}$ -点集。令 $N_n:=|X(\Bbb F_{q^n})|$ 并考虑生成函数 $\displaystyle \log Z_X(T):=\sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n$ ：
(W1-) $\displaystyle Z_X(T)=\frac{P_1\cdots P_{2d-1}}{P_0\cdots P_{2d}}$ ，其中 $P_i \in \Bbb Z[T]$ ， $P_0=1-T$ ， $P_{2d}=1-q^d T$ ；
(W2) 函数方程：记 $\displaystyle e=\sum_{i=0}^{i=2d} (-1)^i\deg(P_{i})$ ，并令 $\hat{Z}_X(T)=Z_X(T)T^{e/2}$ ，则 $\displaystyle \hat{Z}_X(\frac{1}{q^d T})=\pm \hat{Z}_X(T)$ ；
(W3)「Riemann猜想」： $P_i$ 的零点有模 $q^{-i/2}$ ， $i=0,1,\cdots,2d$ ；

和(A1-)类似，(W1-)也有更精细的表述。以Fermat超曲面 $X:a_0x_0^m+a_1x_1^m+\cdots+a_dx_d^m=0$ 为例，Weil算得：
$\displaystyle \sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n=\log(\frac{1}{(1-T)\cdots(1-q^{d-1}T)})+(-1)^d\log P(T)$
$\displaystyle \deg(P)=\sum_\chi 1$ ， $\chi=(\chi_0,\cdots,\chi_r)$ ，使得 $\chi_i$ 不平凡， $\chi_i^m$ 平凡且 $\displaystyle \prod_{i=0}^{r} \chi_i$ 平凡。另一方面，Dolbeault告知Weil，如果将 $a_i$ 提升回 $\Bbb Z$ 上并考虑作为复代数簇的Fermat超曲面 $X$ ，则 $X$ 恰有Poincaré多项式 $1+T^2+\cdots+T^{2d-2}+\deg(P)T^d$ ！
参考(A1)，Weil进一步猜想：
（W1） $\deg(P_i)=b_i(X)$ ；
此时（W2）中的 $e$ 为代数簇 $X$ 的Euler示性数。
注意到我们并没有指明此处我们使用的是何种(上)同调论。这个问题非常微妙：事实上，是证明Weil猜想的关键所在。

最后我们想简要谈一谈「整体与局部」的问题。
对于定义在 $\Bbb Q$ 上的光滑代数簇 $X$ ，考虑其模 $p$ 约化。对几乎所有 $p$ ，约化都是好的：给出定义在 $\Bbb F_p$ 上的光滑代数簇 $X_p$ . 此时 $\displaystyle \zeta_{X_p}(s)=Z_{X_p}(p^{-s}):=\exp(\sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}p^{-ns})$ 称为局部 $\zeta$ 函数。将这些局部 $\zeta$ 函数相乘，我们得到一类整体 $\zeta$ 函数，称为Hasse-Weil $\zeta$ 函数⁴。Riemann $\zeta$ 对应 $X$ 为单点的情形。
Hasse-Weil $\zeta$ / L 函数包含了大量数论信息。仅仅是对椭圆曲线定义的 $L_E(s)$ 就涉及好几个艰深的数学定理/猜想（参见《有理域上的代数曲线》的最后几篇文章）。
(1) $\Re s>3/2$ 时， $L_E(s)$ 收敛：等价于(A3′)！
(2) $L_E(s)$ 可以解析延拓到全平面，有函数方程，满足「Riemann猜想」：必须借助Wiles,Taylor等人的模定理(谷山-志村猜想)证明。后者作为Langlands纲领的特例，是Wiles证明Fermat大定理的关键；
(3) $L_E(s)$ 在 $s=1$ 处的展开性状包含了 $E$ 的结构信息：这是千禧七大难题之一的Birch和Swinnerton-Dyer猜想，迄今尚未得到证明⁵。
对于高维代数簇 $X$ ，时至今日，数学界仅仅完成了上面的(1)，即Weil猜想的证明。
(2)中的解析延拓猜想和函数方程猜想通常被合称为Hasse-Weil猜想。现阶段我们对一般的 $X$ 无能为力，所有成果几乎都源于在志村簇上建立Langlands对应的尝试。
最后，让我们也来猜想吧：我们这一代人能对于最一般的 $X$ 找到类似(3)的精确陈述，提出可能的证明路径，并最终成功证明（哪怕是作为特例的BSD猜想）吗？

在本文的第一稿中，我们勾勒了一个潦草（因而不正确）的证明。感谢细心的读者Yuzhou Gu指出这一点。如果要作自我辩护的话——这当然是一个玩笑，在数学中没有错误值得辩护——我们非常愿意归咎于坏榜样Littlewood: “Professor Littlewood, when he makes use of an algebraic identity, always saves himself trouble of proving it; he maintains that an identity, if true, can be verified in a few lines by anybody obtuse enough to feel the need for verification.” (Dyson, 1944) ↩
考虑 $K=(\Bbb R,+,*)$ ，加法特征 $\psi(x)=e^{-x}$ . 若 $x>0$ ，令乘法特征 $\chi(x)=x^z=e^{z\log x}$ ，否则令 $\chi(x)=0$ . 作为乘法群， $\Bbb R_{+}$ 有Haar度量 $dx/x$ ，此时 $K$ 上的「Gauss积分」和「Jacobi卷积」分别给出 $\Gamma$ 函数和Beta函数。 ↩
Weil指出华罗庚与Vandiver于同一时期得到了本质相同的结果。华先生曾不止一次与名家「撞车」，最出名的可能是他在多复变函数论方面的工作：他对Siegel模形式的研究几乎与Siegel同时。 ↩
注意此处我们故意忽略了坏约化(至多有限个)——这是问题中较微妙的部分，涉及到 $l$ 进表示。 ↩
尽管通常被认为是余下六个问题中最有希望取得突破的一个。 ↩

Weil猜想漫谈 Ⅰ：zeta种种

前言

《Weil猜想漫谈》是对《Riemann猜想漫谈》的致敬和补充。如果读者对Riemann $\zeta$ 函数的基本性质不甚了解，建议在进行这个系列的阅读之前，先行补充相关的知识：可以从面向大众的科普《Riemann猜想漫谈》开始，也可以直接参考更专业的书籍。
此外我们假定读者对代数几何和代数拓扑有最基本的了解。简单地说，能形成「射影代数簇」和「同调群」的几何想象就可以了。我们的漫谈将会是「几何式的」：我们希望最终读者能「看」懂Deligne的证明，而无需深入到代数细节中去。这也符合「漫谈」的定义。对于希望彻底理解所有细节的读者，我们能给出的最好建议是直接阅读SGA系列中的 $4$ ， $\displaystyle 4\frac{1}{2}$ ， $5$ ，还有 $7$ .
最后，如果读者对模形式理论有所了解，例如，读过A Course in Arithmetics的第7章，那将再好不过。
不过，上述所有要求都不是必要的。毋宁说我们真正要求的是一定的数学成熟度(maturity). 或者，退到更基本的层面，是足够强烈的好奇心加上足够多的时间投入。

可以说Weil猜想的故事有两个源头：一是Gauss，一是Riemann. 也可以说Weil猜想的故事只有一个源头：德国数论学派，或者，局限到一个地点，Göttingen.
我们选择从Riemann对 $\zeta$ 函数的研究开始我们的漫谈。
熟知Riemann $\zeta$ 函数指的是定义在 $\Re{s}>1$ 上的解析函数 $\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$ .
这个函数在数论中占有核心地位：可以利用它的Euler积形式 $\displaystyle \zeta(s)=\prod_{p}(1-p^{-s})^{-1}$ 研究素数 $p$ 的分布。
Riemann的贡献包括但不限于：
(R1) 给出了 $\zeta(s)$ 在整个复平面上的解析延拓，延拓后的亚纯函数 $\zeta(s)$ 仅在 $s=1$ 处有单极点；
(R2) 考虑 $\zeta$ 函数的「修正」 $\hat{\zeta}(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$ ，此处 $\Gamma$ 为Gamma函数。
$\hat{\zeta}(s)$ 满足函数方程 $\hat{\zeta}(s)=\hat{\zeta}(1-s)$ ；
(R3) 提出了著名的Riemann猜想：
$\hat{\zeta}(s)$ 的所有零点都分布在函数方程的对称轴 $\Re{s}=1/2$ 上；

Dedekind将上述想法推广到一般数域 $K$ 上。定义 $K$ 的Dedekind $\zeta$ 函数为 $\displaystyle \zeta_K(s)=\sum_{\frak{a}}N(\frak{a})^{-s}=\prod_{\frak{p}}(1-N(\frak{p})^{-s})^{-1}$ ， $\frak{a}$ 取遍 $O_K$ 的非零理想， $N(\frak{a})=|O_K/\frak{a}|$ ， $\frak{p}$ 取遍 $O_K$ 的极大理想¹。
Hecke给出了 $\zeta_K(s)$ 在整个复平面上的解析延拓，延拓后的亚纯函数 $\zeta_K(s)$ 仅在 $s=1$ 处有单极点。类似的，此时我们也有函数方程和「Riemann猜想」（通常称为扩展Riemann猜想，Extended Riemann hypothesis).

引导数论/算术几何发展的一条核心线索是数域和函数域的类比。在函数域上陈述的猜想往往更容易证明，因为此时我们可以应用几何想象力来辅助研究。这是早在19世纪后半叶就被广泛注意到的事实(Dedekind, Kronecker, etc.)。
Heinrich Kornblum (1890-1914) 首先考虑了Riemann $\zeta$ 函数在函数域上的类比。给定有限域 $\Bbb{F}_p$ ， $F=\Bbb{F}_p(U)$ ，定义 $\displaystyle \zeta_F(s)=\prod_{h}(1-N(h)^{-s})^{-1}$ ， $h$ 取遍 $\Bbb{F}_p[U]$ 中所有首一不可约多项式， $N(h)=p^{\deg(h)}$ . 不难证明此时我们有显式 $\displaystyle \zeta_F(s)=(1-p^{1-s})^{-1}$ .
Kornblum还考虑了 $F$ 的L-函数，并证明了Dirichlet算术级数定理的类比²：对于互素的非零多项式 $a,b \in \Bbb{F}_p[U]$ ，存在无穷多个首一不可约多项式 $h$ 使得 $h \equiv b \mod a$ . 读者可以自行尝试复现他的推理：模仿我们之前介绍过的Dirichlet定理的解析证明。
在此，我们看到了函数域（几何）比数域（数论）「简单」的第一个重要迹象：函数域上的 $\zeta$ 函数实际上是有理函数。

下一个进场的是同样来自Göttingen学派的代数大师Emil Artin (1898-1962). 1923年，模仿Dedekind，他考虑了函数域的有限扩张，特别是二次扩张。具体地说，给定特征 $p$ 的有限域 $\Bbb{F}_q$ ， $F_0=\Bbb{F}_q(U)$ ， $F=F_0(V)$ ， $V^2=P(U)$ ，此处 $P$ 是没有重根的多项式。熟悉代数几何的读者可能已经发现，我们定义的 $F$ 正是光滑仿射代数曲线 $C:=\{(v,u) \in \Bbb{F}_p^2:v^2=P(u)\}$ 的函数域。老读者则可能会回想起这个博客早期有一系列题为《有理域上的代数曲线》的文章，讨论过 $\Bbb Q$ 上类似方程的求解。
由此可以给出 $\zeta$ 的几何定义。 $F$ 的极大理想对应 $C$ 上的闭点。定义 $\displaystyle \zeta_C(s)=\prod_{x \in C}(1-N(x)^{-s})^{-1}$ ， $x$ 取遍 $C$ 上的闭点， $N(x)=q^{\deg(x)}$ .
上述 $\zeta_C$ 的定义可以不改一字地照搬到射影曲线上。以下我们仅考虑光滑射影曲线。
通过试验，Artin提出了如下猜想：
(A1-) $\zeta_C$ 可以写成 $Z_C(q^{-s})$ 的形式， $Z_C(T)=P(T)/Q(T)$ ， $P,Q \in \Bbb{Z}[T]$ ;
(A2) 函数方程：令 $\displaystyle \hat{Z}_C(T)=Z_C(T)(T^{1/2})^{\deg(Q)-\deg(P)}$ ，则 $\hat{Z}_C(T)=\hat{Z}_C(1/qT)$ ；
(A3)「Riemann猜想」： $P(T)$ 的所有零点都分布在函数方程的对称圆 $|T|=q^{-1/2}$ 上；

Kornblum研究的实际上是 $C=P_{\Bbb F_q}^1$ ，或者说曲线亏格 $g=0$ 的情况： $\displaystyle \zeta_C(s)=(1-p^s)^{-1}\zeta_F(s)$ ，添上的一项对应 $\infty$ 的贡献。此时 $\displaystyle Z_{P_{\Bbb F_q}^1}(T)=\frac{1}{(1-T)(1-qT)}$ . 这个简单的有理表达式让函数方程甚至「Riemann猜想」均成为平凡的！

1932年，Friedrich Karl Schmidt (1901-1977) 对于一般射影曲线证明了更精细的：
(A1) $\displaystyle Z_C(T)=\frac{P_{2g}(T)}{(1-T)(1-qT)}$ ， $2g$ 次多项式 $P_{2g}\in \Bbb Z[T]$ ， $g$ 是曲线 $C$ 的亏格；
同时也得到了函数方程（A2）的证明。
几何比数论「简单」的第二个重要迹象于此显露：几何起源的 $\zeta$ 函数包含了几何对象的拓扑信息。反过来，如果我们对于几何对象的拓扑有了足够的了解，不难想象这将极大地推动 $\zeta$ 的研究。事实上，Schmidt的上述证明正是基于他一生中最重要的工作：建立了有限域上的光滑射影曲线的Riemann-Roch定理。
自此，代数拓扑方面的研究成为Weil猜想研究的主轴。我们将在讨论Weil上同调论时回顾Schmidt的工作。

另一方面，Schmidt却未能给出（A3），即「Riemann猜想」的证明。几年后Hasse成功证明了 $g=1$ ，即椭圆曲线的情况，一个一般性的证明要等到40年代Weil的登场。这是Weil猜想「史前史」的终点，也是Weil猜想的起点。

熟知Dedekind整环有Knull维数1：所有非零素理想都是极大理想。这解释了记号 $\frak{p}$ . ↩
Kornblum不幸于一战中战死。他关于Dirichlet定理的遗稿Uber die Primfunktionen in einer arithmetischen Progression经Landau之手于1919年发布。 ↩

鶯啼序·丙申中秋即景

新涼忽催疾霈，溼中秋時節。
近十載，天上人間，差惯剎那圓缺。
煙波遠，吳山更遠，相思此夜偏輕齧。
動寒笙，輾轉低吟，客心吹徹。

憶昔長歌，汀葭盡處，亂嬌鶯彩蝶。
綠波裏、蕩漾鞦韆，流光飛舞笑靨。
怕斜陽、昏花醉眼，倩高燭、扶持垂睫。
漫呵來，筆底龍蛇，競填詩篋。

青春倏爾，紅袂才牽，柳下竟分訣。
待拾取、古都落葉，新界斷梗，被露霑霜，浸冷成鐵。
滄桑幾變，悲欣俯仰，愁城硉矹橫今古，縱蹉跎、咄咄書何屑。
鷗盟但在，關河醒夢飄搖，雙眸清炯難滅。

南窗奏雨，卷擁孤燈，照影形交疊。
念前世，曼殊隔海，一葦爭航，顛倒閻浮，有情皆孽。
痴兒卻道：「緣生緣盡，還如潮卷雲聚散，到明年、豈必無明月？
直須推倒金樽，獨自憑欄，聽風嗚咽。」

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Fight with Infinity

Wir müssen wissen, wir werden wissen