K理论，6维球面和可积性


众所周知，S^6上有一个不可积的殆复结构，来自虚八元数空间\Bbb R^7中的单位球面。在S^6上，是否存在可积的殆复结构（复结构）？几天前，87岁的Michael Atiyah宣布他解决了这个问题：答案是否定的。
Atiyah  The Non-Existent Complex 6-Sphere

除去历史介绍和穿插各处的评论，实际的证明过程只有1页。我的估计是：如果将这1页的内容展开，可以写成十多页的论文。但Atiyah仅仅轻描淡写地指出了关键，把细节留给了年轻人。我必须承认，我还未完全理解这些细节，特别是最关键的、殆复结构的奇偶性计算。
此刻我只能说，如果这个证明是对的，那么，此前没有——我想今后也不会有——数学家能在如此高龄之际解决一个如此知名的经典难题1。

熟悉我的人都知道，20世纪后半叶的所有数学家中，我最欣赏和敬佩的就是Michael Atiyah. 很难用言语来形容我的感动。在死亡之前，一刻也不停息地思考真理。我也想成为这样的人。

让我们来谈一点数学吧。我们仅仅想补充一些历史背景，并对证明稍加评论，以期能帮助同样在试图理解这篇论文的「年轻人」。
Atiyah的全集已经出到了第7卷（2014年）。从第5卷（规范理论）开始，是他学术生涯的「后半场」。然而我们要谈的内容大致不超出第2卷（K理论）。

Noether学派工作的一个主题是所谓的「超复数理论」，即研究数系的推广。从复数到四元数，我们丢失了交换性。从四元数到八元数，我们又丢失了结合性。让人惊奇的是，50年代末到60年代初，Bott, Milnor, Kervaire, Adams等数学家发现这些现象本质上是拓扑的，并可以和Hopf纤维化、球面平行化，以及S^n上线性独立的向量场数量上界等经典问题联系起来。4年前我们在这个博客上讨论过这一系列进展，参见《球面平行化与可除代数》和《从Bott周期性谈起 Ⅳ》。
我个人称此类数学为「拓扑表示论」2：研究微分流形上的向量丛作为典型群的表示问题。示性类，从表示论的观点看，对应特征值的齐次函数，乃至齐次幂级数——这些都是经典的内容了。Hirzebruch的书里有最好的总结。特别的，Borel-Serre定理（容许殆复结构的球面仅有S^2和S^6）可以归结为示性数的整性/奇偶性要求。
示性类仅仅是理解此类问题的一种观点。注意到向量丛在Whitney加法下仅形成一个半群，为充分利用和表示论的类比，Grothendieck引入了Grothendieck环的概念，从而发展出了所谓的K理论。与示性类相平行的，我们可以直接操作K群（Adams操作）。Atiyah用拓扑K理论处理了上面提及的系列经典问题，简化了利用上同调论和示性类的证明：参见全集第2卷中的文27和文42，后者是一篇经典的文章。
对指标定理的研究使Atiyah考虑了拓扑K理论与自旋表示的关系：研究嵌入于酉群、正交群、辛群的自旋群，或者更一般的，要求背景Lie群带有Cartan对合就可以了——这是所谓的KR理论，囊括了K理论和KO理论，参见全集第2卷中的文39和文43——这两篇文章也都是经典。

Grothendieck-Riemann-Roch定理考虑了代数簇之间的态射在K群层面上的作用。Atiyah-Singer曾考虑过发展一个类似的相对版本的指标定理，但最终的结果仅仅是得到了一个绝对版本的拓扑指标「再定义」：通过Thom同构和Chern特征，X上的椭圆算子唯一决定K(TX)中的某个元素。将紧流形X嵌入到某个欧氏空间Y=\Bbb R^N中，我们得到前推映射K(TX) \to K(TY)=\Bbb Z，拓扑指标即这个映射的像。
事实上，这正是指标定理的K理论证明的关键步骤。
这个思路当然可以推广到KO理论乃至KR理论。在自旋流形上，KR理论给出Dirac算子的模2指标。相比如此直接的K理论定义，这个指标的示性类定义并不明朗，以致这项工作被许多人忽略了。
我想引用前些日子我写给朋友的一封邮件：

It seems to me that not so many people are familiar with the K-theoretic definition of the topological indices, with the exception of some K-theorists (the majority of whom are working mainly on the algebraic side of the story these days, which is, in some sense, “more interesting”), to say nothing of the mod 2 index theory on spin manifolds. It is “the road not taken”, literally.

截至此处，都还是经典的内容——可以追溯到上个世纪60年代。之后就是Atiyah的「纵身一跃」，宣称：借助S^6上任意殆复结构定义的Dirac算子的模2指标都是1.
我还不能完成这个计算。

得知Atiyah预印本的当晚，我兴奋得彻夜难眠，以至于这两天生了一场小病。在身体稍微恢复后我会努力跨过这个障碍。也欢迎熟悉拓扑K理论的同学对我加以指点，或者和我讨论这个困难。

我希望这个证明是对的。此外，注意到指标定理的另一大类证明依赖于热核，将Dirac算子的形变视为殆复结构的形变的结果（是否能够做到？），由此定义适当的殆复结构的「流」(flow)，并观察其性状（不仅仅是证明指标定理所需要的、「流」在无穷远处的强耦合极限），这似乎是有趣的。如果我们能用这种方式给出复结构的分析刻画，其意义将远超过S^6（Atiyah相当于只利用了指标的不变性）。 是否有几何分析学家在关注这个问题呢？

  1. 一个必要条件是先活到87岁！ ↩
  2. 这不是一个标准的名词。另一方面，「几何表示论」是一个标准的名词。「拓扑表示论」和「几何表示论」的关系，有点像拓扑K理论和代数K理论的关系。 ↩

7 thoughts on “K理论，6维球面和可积性”

  1. 在我看来关键还不在说明那个J_0是奇的，反而在于他claim这个type只取决于拓扑（by index theorem）。。。不知道你对指标定理是否熟悉到可以告诉我们这个statement是怎么“follow from index theory”。。。

    Reply

    • 呃，这个不难。定义殆复结构的type为「（借助此殆复结构定义的）Dirac算子的模2指标」。拓扑上这个指标就是KR群，和殆复结构这个微分结构没关系。

    • 他的思路是这样：
      一方面，「借助殆复结构定义的Dirac算子的模2指标」是1（计算一个具体的例子就够了）。另一个方面，如果有复结构，那么可以定义Dirac算子的整数（而非模2）指标，这个指标是偶数。因为两个指标有简单的模2关系（K群到KR群有遗忘函子），因此导出矛盾。

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