从Bott周期性谈起 Ⅳ

K理论起源于Grothendieck对Hirzebruch-Riemannn-Roch定理的推广。基于射影模和向量丛的类比，Atiyah转而考虑代数K理论的拓扑类比。这是一个异常简单而强有力的工具，许多相当困难的拓扑问题都可以籍此获得相对简单的解决，例如著名的Hopf不变量问题：

给定连续映射 $f:S^{2n-1} \to S^{n}$ ，可构造胞腔复形 $C_f=S^n \bigcup_f D^{2n}$ 。 $H^{2n}(C_f)$ 与 $H^n(C_f)$ 为无限循环群，记生成元为 $\alpha$ 和 $\beta$ 。 $\beta^2=h(f)\alpha$ ，(正)整数 $h(f)$ 称为 $f$ 的Hopf不变量。它是 $\pi_{2n-1}(S^n)$ 到 $\mathbb{Z}$ 的同态。

对Hopf纤维化 $\pi:S^3 \to S^2$ ， $h(\pi)$ 等于任意2条纤维( $S^1$ )之间的环绕数：1。利用四元数和八元数可以构造Hopf映射 $S^7 \to S^4$ ， $S^{15} \to S^8$ ，它们均有Hopf不变量1。

(Adams)若连续映射 $f$ 存在且 $h(f)=1$ ，则 $n=1,2,4,8$ 。

Adams的原始论证相对繁复。下面这个简单优雅的证明依赖于K理论：

Adams, Atiyah K-Theory and the Hopf Invariant

易见 $n$ 为大于1的奇数时， $\beta^2=0$ 。以下我们假定 $n=2m$ 。

$C_f$ 的胞腔结构诱导正合列 $0 \to \tilde{K}(S^{4m})\to \tilde{K}(C_f) \to \tilde{K}(S^{2m}) \to 0$ 。记 $\tilde{K}(S^{4m})$ 的生成元的象为 $\alpha$ ， $\tilde{K}(S^{2m})$ 的生成元的原象(不依赖于具体选取)为 $\beta$ 。 $\beta^2$ 的象是 $0$ ，正合性推出 $\beta^2=h(f)\alpha$ ，这就是Hopf不变量的K理论定义。

接下来引入K理论中的上同调运算。一个较为周延的介绍见Atiyah Chapter 3.

(1)外乘幂运算：简单地将向量空间的外乘幂运算“搬运”到向量丛上。

(2)Adams运算： $\psi^k(E)=N_k(\lambda^1(E),\cdots,\lambda^k(E))$ ，Newton多项式 $N_k$ 将k次幂和用初等对称多项式表出。它是由Adams在Vector Fields on Spheres中引入的。

Adams运算有如下性质：(1) $\psi^k \in \mathrm{End}(K(X))$ ；(2) $\psi^k \psi^l=\psi^{kl}$ ，从而是交换的；(3)对素数 $p$ ， $\psi^p(x) \equiv x^p (\mathrm{mod} p)$ ；(4)若 $u \in \tilde{K}(S^{2n})$ ，则 $\psi^k(u)=k^n u$ 。

(4)推出 $\psi^k(\alpha)=k^{2m} \alpha$ ， $\psi^k(\beta)=k^m \beta+\mu_k \alpha$ ， $\mu_k \in \mathbb{Z}$ 。再根据(2)， $\psi^2\psi^3(\beta)=\psi^3\psi^2(\beta)$ ，化简得 $3^m(3^m-1)\mu_2=2^m(2^m-1)\mu_3$ 。

考虑(3)：在 $\mathbb{Z}_2$ 中 $h(f)\alpha=\beta^2=\psi^2(\beta)=\mu_2\alpha$ ，即 $\mu_2$ 是奇数，从而 $2^m$ 必须整除 $3^m-1$ ，这当且仅当 $m=1,2,4$ 。Adams定理得证。

上述问题和球面的平行化紧密相关：设 $S^{n-1}$ 是H空间， $g:S^{n-1} \times S^{n-1} \to S^{n-1}$ 。 $S^{2n-1}=\partial D^n \times D^n \bigcup D^n \times \partial D^n$ ，将 $S^n$ 分为 $D^n_+$ 和 $D^n_-$ 。定义：