从Bott周期性谈起 Ⅳ


K理论起源于Grothendieck对Hirzebruch-Riemannn-Roch定理的推广。基于射影模和向量丛的类比,Atiyah转而考虑代数K理论的拓扑类比。这是一个异常简单而强有力的工具,许多相当困难的拓扑问题都可以籍此获得相对简单的解决,例如著名的Hopf不变量问题:

给定连续映射f:S^{2n-1} \to S^{n},可构造胞腔复形C_f=S^n \bigcup_f D^{2n}H^{2n}(C_f)H^n(C_f)为无限循环群,记生成元为\alpha\beta\beta^2=h(f)\alpha,(正)整数h(f)称为fHopf不变量。它是\pi_{2n-1}(S^n)\mathbb{Z}的同态。

Hopf纤维化\pi:S^3 \to S^2h(\pi)等于任意2条纤维(S^1)之间的环绕数:1。利用四元数和八元数可以构造Hopf映射S^7 \to S^4S^{15} \to S^8,它们均有Hopf不变量1。

(Adams)若连续映射f存在且h(f)=1,则n=1,2,4,8

Adams的原始论证相对繁复。下面这个简单优雅的证明依赖于K理论:

Adams, Atiyah  K-Theory and the Hopf Invariant

易见n为大于1的奇数时,\beta^2=0。以下我们假定n=2m

C_f的胞腔结构诱导正合列0 \to \tilde{K}(S^{4m})\to \tilde{K}(C_f) \to \tilde{K}(S^{2m}) \to 0。记\tilde{K}(S^{4m})的生成元的象为\alpha\tilde{K}(S^{2m})的生成元的原象(不依赖于具体选取)为\beta\beta^2的象是0,正合性推出\beta^2=h(f)\alpha,这就是Hopf不变量的K理论定义。

接下来引入K理论中的上同调运算。一个较为周延的介绍见Atiyah Chapter 3.

(1)外乘幂运算:简单地将向量空间的外乘幂运算“搬运”到向量丛上。

(2)Adams运算\psi^k(E)=N_k(\lambda^1(E),\cdots,\lambda^k(E))Newton多项式N_k将k次幂和用初等对称多项式表出。它是由Adams在Vector Fields on Spheres中引入的。

Adams运算有如下性质:(1)\psi^k \in \mathrm{End}(K(X));(2)\psi^k \psi^l=\psi^{kl},从而是交换的;(3)对素数p\psi^p(x) \equiv x^p (\mathrm{mod} p);(4)若u \in \tilde{K}(S^{2n}),则\psi^k(u)=k^n u

(4)推出\psi^k(\alpha)=k^{2m} \alpha\psi^k(\beta)=k^m \beta+\mu_k \alpha\mu_k \in \mathbb{Z}。再根据(2),\psi^2\psi^3(\beta)=\psi^3\psi^2(\beta),化简得3^m(3^m-1)\mu_2=2^m(2^m-1)\mu_3

考虑(3):在\mathbb{Z}_2h(f)\alpha=\beta^2=\psi^2(\beta)=\mu_2\alpha,即\mu_2是奇数,从而2^m必须整除3^m-1,这当且仅当m=1,2,4。Adams定理得证。

上述问题和球面的平行化紧密相关:设S^{n-1}是H空间,g:S^{n-1} \times S^{n-1} \to S^{n-1}S^{2n-1}=\partial D^n \times D^n \bigcup D^n \times \partial D^n,将S^n分为D^n_+D^n_-。定义:

\hat{g}_+:\partial D^n \bigcup D^n \to D^2_+(x,y) \mapsto |y|g(x,y/|y|)

\hat{g}_-:D^n \bigcup \partial D^n \to D^2_-(x,y) \mapsto |x|g(x/|x|,y)

以上述方式定义的\hat{g}:S^{2n-1} \to S^n是连续的,且在S^{n-1} \times S^{n-1}上与g重合。若n=2m,可以证明h(\hat{g})=1,于是Adams定理推出Bott-Milnor定理。

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