瞬子的几何 Ⅰ


瞬子(伪粒子)是一个来自量子场论的概念。在经典层面上,它对应Yang-Mills方程的一类特殊解。下面这篇论文为相应的数学理论奠定了基础,也是本文的主要参考材料:

Atiyah, Hitchin, Singer  Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry

考虑4维可定向紧Riemann流形M。给定紧半单Lie群G,以EM上的G向量丛。联络形式(规范势)A \in \Omega^1(M,\mathfrak{g}),曲率形式(规范场)F \in \Omega^2(M,\mathfrak{g})。4维的特殊之处在于作为2形式空间自同构的Hodge星算子满足**=1,从而给出特征子空间分解\Omega^2=\Omega^{+}+\Omega^{-}。这个基本分解也给出1)d_A^\pm:\Omega^1 \to \Omega^\pm;2)b_2=b_{+}+b_{-}

\Omega^2可视为作用在\Omega^1上的斜共轭变换。从表示论的观点看,基本分解\Omega^2=\Omega^{+}+\Omega^{-}的存在可以用\mathfrak{so}(n)中仅有\mathfrak{so}(4)不是单Lie代数来解释:\mathfrak{so}(4)=\mathfrak{so}(3)\oplus \mathfrak{so}(3)。在Lie群层面上,例外同构\mathrm{Spin}(3)=SU(2)给出\mathrm{Spin}(4)=SU(2) \times SU(2)SU(2)丛和SO(3)丛是我们的主要例子,在单连通的M上二者没有本质区别。

满足F=F^{+}F=F^{-}的曲率形式(瞬子)分别称为自对偶的(SD)和反自对偶的(ASD):它们将自动满足Yang-Mills方程d_A^* F=0。注意到反转定向后,SD解与ASD解互换,故只需集中精力研究其中一类。我们将视情况方便自由转换:通常,在实几何中考虑前者,在复几何中考虑后者,以保持下面提到的拓扑量子数k > 0

\mathfrak{g}值2形式空间上定义内积(A,B)=-\int_M \mathrm{tr}(A \wedge *B)。由Chern-Weil理论(F,*F)=\parallel F_+ \parallel^2-\parallel F_- \parallel^2=8\pi^2 k。量子数kM的拓扑不变量:G=SU(2)时,k=-c_2[E]G=SO(3)时,k=p_1[E]/4。另一方面,规范场的Yang-Mills泛函(能量)YM(A)=\parallel F \parallel^2/2=(\parallel F_+ \parallel^2+\parallel F_- \parallel^2)/2,当且仅当*F={\mathrm{sgn} (k)}F时取到最小值4\pi^2|k|,换言之,瞬子对应规范场的“基态”。

这也说明了离散量子数产生的一般机制:它们来自紧Lie群的表示。

M上的Yang-Mills联络构成一个无穷维仿射空间\mathcal{A},其上有规范群\mathcal{G}=\Gamma(\mathrm{Aut}(E))的作用。\mathcal{A}/\mathcal{G}通常是一个无穷维参模空间。然而,注意到在规范变换下F \mapsto s^{-1}Fs,作为Yang-Mills泛函极值点的瞬子是规范不变的。模去群作用后,瞬子的参模空间\mathcal{M}通常是有限维的,从中可以提取出重要的几何信息。

以下假定c_2[E] < 0/p_1[E] > 0并考虑SD瞬子。称瞬子为不可约的,若联络的结构群不可约化为G的子群。所有不可约联络\mathcal{M}_0构成参模空间\mathcal{M}的开子集。Atiyah等人考虑得更细致一些:记H_A^1=\ker d_A^{-}/\mathrm{Im} d_A。假定\mathcal{M}_0 \neq \emptyset,不可约SD瞬子的无穷小形变将由\dim H_A^1个参数给出。利用Banach空间上的反函数定理可以说明经由指数映射这些无穷小形变将生成局部坐标系,这赋予\mathcal{M}_0一个有限维Hausdorff流形结构。更精确的,利用指标定理可以决定\dim H_A^1=8k-3(1-b_1+b_+)

上述精彩讨论仍有2处“瑕疵”:

1)预先假定了不可约SD联络的存在性。一般地,我们自然希望知道何时存在G向量丛E使得\mathcal{M}_0 \neq \emptyset。一个直观上容易接受的充分条件是b_{-}=0

Taubes  Self-dual Yang-Mills connections on non-self-dual 4-manifolds

不妨假定M是单连通的(否则考虑其万有覆叠)。此时H_2(M)无挠,相交形式Q\Bbb Z上的幺模对称二次型。b_{-}=0意味着Q \otimes \Bbb R正定。号差\tau=b_{+}-b_{-}=b_2 \geq 0推出p_1[M] \geq 0。特别地,b_2(S^4)=0,故S^4上存在SD瞬子并构成一个8k-3维空间。此时甚至有一个给出所有瞬子的代数构造。这是我们接下来要讨论的内容。

2)避开了\mathcal{M}的奇点(可约联络)。第一个仔细分析这些奇性的是Donaldson,由此他发现微分结构对4维单连通紧流形的相交形式加上了很强的限制。另一方面,Freedman对换球术的改进显示4维拓扑流形对相交形式的要求是相当宽松的。这种尖锐对比使得他能够证明\Bbb R^4上存在不可数多个微分结构。这当然也是我们希望讨论的内容。

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