月旦 IX

For October, 2016

2016年10月6日是Robert Langlands的80寿辰。为示庆祝，IAS举行了名为Beyond Endoscopy的学术会议。Langlands本人也准备了演讲。老爷子似乎不太满意当前研究几何Langlands纲领的主流方式（我称之为“from top to bottom”）。“from bottom to top”，他（重新）提出了相当「天真」的问题：从几何Langlands纲领的角度看，Atiyah对椭圆曲线上的-向量丛的分类应该容许一个到一般可约群的推广。对于高亏格曲线，也到了重新严肃考虑分类问题的时候。
这是一个（有60年历史的）老问题，但始终是一个好问题。

从对偶的观点看，几何Langlands纲领可以理解为S对偶（4维超对称Yang-Mills理论中的Montonen-Oliver对偶），镜对称则是两类弦理论之间的T对偶。在讨论Weil猜想时我们提及过这样的图像：复几何和辛几何是同一棵树上（镜像对称）的不同分支，伪全纯曲线和Picard-Lefschetz理论生长在比Floer同调和Fukaya范畴更加靠近根部的地方。那么，同样“from bottom to top”，我们应该从这棵树的根部开始强调复几何和辛几何的统一性：据我所知，还没有人发展过这样的辛/复统一理论，即使是从与II型弦论类比的角度。
在我看来，这个理论已经有了不少可资利用的「原材料」。我认为一个极具潜力的大方向是探索「经典变换」的范畴化 (categorification)：Fourier-Mukai变换无疑属于这颗树的根系（从Atiyah分类的角度看，它也属于几何Langlands纲领的根系）。另一个例子是Laplace变换：我们应该进一步弄清「拓扑递归」(topological recursion) 在整个谱系中的位置。此外，至少还有一个经典变换值得被范畴化，即Legendre变换——无论怎么看，这个变换都应该是理解辛几何的关键工具（例如，将这个变换和Morse理论-Lefschetz纤维化的平行性一同加以考察），但奇怪的是似乎从来没有人从范畴化的角度严肃考虑过它。

V.I.Arnold的遗著Mathematical Understanding of Nature很不幸地陷入了自我重复的泥潭。我一直认为Arnold-Bourbaki (以Serre为代表) 之争的意义被过分夸大了。在教学法之外的领域，Arnold的批判大多偏执而无理（相比之下，无礼就显得不那么重要了）。
苏联「三巨头」所创立的学派中，Kolmogorov-Arnold学派渐趋式微（除了Givental之外，几乎找不出其他有国际影响力的中生代），Gelfand学派和Shafarevich-Manin学派则日益光大，人才辈出——我认为这不是偶然。

2014年获得京都赏之后，Witten在日本的某次聚会上发表了题为Adventures in Physics and Mathematics的自传性演说，包含一些非常有趣的「八卦」，比如Sidney Coleman对他的影响。
Witten提到他会去听数学家讲课，比如在Harvard听Bott讲解Morse理论。另一个（没有提到的）例子是2004年在IAS举行的几何Langlands纲领workshop. 这两堂课都产生了积极的影响：Witten最为数学界称道的能力之一就是把经自己「反刍」过的理论反哺给数学家，为他们提供全新的视角和观点。
然而Witten听过的数学课可不止这些：他甚至听过Shimura的算术几何课！ICM 1986 (Berkeley) 将Fields奖颁给了Faltings，据说Witten在会后「扫荡」了Berkeley的书店，买走了所有可以买到的数论书。遗憾的是，Witten的工作并没有和数论发生显著的互相作用（除了模形式和zeta函数的部分），这些课或许是「白费」了。
但愿下一个Witten能够带领我们理解几何（物理）和数论的隐秘联系！在我看来，这或许是这个世界最深刻的秘密。

Nicholas Gisin有一本100P+的小书Quantum Chance：Nonlocality, Teleportation and Other Quantum Marvels. 据我所知，该书的中译本（周荣庭译）不久前刚刚面世。很纯粹的科普书籍，涉及的内容也异常简单：Bell不等式，以及最初步的量子信息论。推荐给对所谓的「第二次量子革命」/「量子信息革命」感兴趣的朋友。

盛名之下，其实难副：这是我看完Interstellar之后的感受。这当然是一部不错的电影，但似乎不值得如此狂热的追捧。个人更喜欢老片Contact（另一部和Kip Thorne有关的电影）。
也借这个机会读了The Science of Interstellar. Thorne似乎没有Hawking的科普天赋，不过大家都知道，他是一个更高明的赌徒（笑）。很遗憾，今年的诺贝尔物理学奖没有发给LIGO，不过今后几年Thorne还有许多机会。
B.T.W. Hawking会感到羡慕吗？
一个印象：诺奖委员会似乎一贯不太青睐宇宙学研究，尤其是和广义相对论相关的理论部分。从Einstein的年代开始，这几乎成了一个百年传统。

噢，诺奖。我差点忘记了恭喜Bob Dylan!
我希望明年的文学奖可以颁发给我的另一个偶像：Woody Allen.
噢，这只是一个（或许不那么好笑的）玩笑。