月旦 IX


For October, 2016

2016年10月6日是Robert Langlands的80寿辰。为示庆祝,IAS举行了名为Beyond Endoscopy的学术会议。Langlands本人也准备了演讲。老爷子似乎不太满意当前研究几何Langlands纲领的主流方式(我称之为“from top to bottom”)。“from bottom to top”,他(重新)提出了相当「天真」的问题:从几何Langlands纲领的角度看,Atiyah对椭圆曲线上的GL(n)-向量丛的分类应该容许一个到一般可约群的推广。对于高亏格曲线,也到了重新严肃考虑分类问题的时候。
这是一个(有60年历史的)老问题,但始终是一个好问题。

从对偶的观点看,几何Langlands纲领可以理解为S对偶(4维超对称Yang-Mills理论中的Montonen-Oliver对偶),镜对称则是两类弦理论之间的T对偶。在讨论Weil猜想时我们提及过这样的图像:复几何和辛几何是同一棵树上(镜像对称)的不同分支,伪全纯曲线和Picard-Lefschetz理论生长在比Floer同调和Fukaya范畴更加靠近根部的地方。那么,同样“from bottom to top”,我们应该从这棵树的根部开始强调复几何和辛几何的统一性:据我所知,还没有人发展过这样的辛/复统一理论,即使是从与II型弦论类比的角度。
在我看来,这个理论已经有了不少可资利用的「原材料」。我认为一个极具潜力的大方向是探索「经典变换」的范畴化 (categorification):Fourier-Mukai变换无疑属于这颗树的根系(从Atiyah分类的角度看,它也属于几何Langlands纲领的根系)。另一个例子是Laplace变换:我们应该进一步弄清「拓扑递归」(topological recursion) 在整个谱系中的位置。此外,至少还有一个经典变换值得被范畴化,即Legendre变换——无论怎么看,这个变换都应该是理解辛几何的关键工具(例如,将这个变换和Morse理论-Lefschetz纤维化的平行性一同加以考察),但奇怪的是似乎从来没有人从范畴化的角度严肃考虑过它。

V.I.Arnold的遗著Mathematical Understanding of Nature很不幸地陷入了自我重复的泥潭。我一直认为Arnold-Bourbaki (以Serre为代表) 之争的意义被过分夸大了。在教学法之外的领域,Arnold的批判大多偏执而无理(相比之下,无礼就显得不那么重要了)。
苏联「三巨头」所创立的学派中,Kolmogorov-Arnold学派渐趋式微(除了Givental之外,几乎找不出其他有国际影响力的中生代),Gelfand学派和Shafarevich-Manin学派则日益光大,人才辈出——我认为这不是偶然。

2014年获得京都赏之后,Witten在日本的某次聚会上发表了题为Adventures in Physics and Mathematics的自传性演说,包含一些非常有趣的「八卦」,比如Sidney Coleman对他的影响。
Witten提到他会去听数学家讲课,比如在Harvard听Bott讲解Morse理论。另一个(没有提到的)例子是2004年在IAS举行的几何Langlands纲领workshop. 这两堂课都产生了积极的影响:Witten最为数学界称道的能力之一就是把经自己「反刍」过的理论反哺给数学家,为他们提供全新的视角和观点。
然而Witten听过的数学课可不止这些:他甚至听过Shimura的算术几何课!ICM 1986 (Berkeley) 将Fields奖颁给了Faltings,据说Witten在会后「扫荡」了Berkeley的书店,买走了所有可以买到的数论书。遗憾的是,Witten的工作并没有和数论发生显著的互相作用(除了模形式和zeta函数的部分),这些课或许是「白费」了。
但愿下一个Witten能够带领我们理解几何(物理)和数论的隐秘联系!在我看来,这或许是这个世界最深刻的秘密。

Nicholas Gisin有一本100P+的小书Quantum Chance:Nonlocality, Teleportation and Other Quantum Marvels. 据我所知,该书的中译本(周荣庭译)不久前刚刚面世。很纯粹的科普书籍,涉及的内容也异常简单:Bell不等式,以及最初步的量子信息论。推荐给对所谓的「第二次量子革命」/「量子信息革命」感兴趣的朋友。

盛名之下,其实难副:这是我看完Interstellar之后的感受。这当然是一部不错的电影,但似乎不值得如此狂热的追捧。个人更喜欢老片Contact(另一部和Kip Thorne有关的电影)。
也借这个机会读了The Science of Interstellar. Thorne似乎没有Hawking的科普天赋,不过大家都知道,他是一个更高明的赌徒(笑)。很遗憾,今年的诺贝尔物理学奖没有发给LIGO,不过今后几年Thorne还有许多机会。
B.T.W. Hawking会感到羡慕吗?
一个印象:诺奖委员会似乎一贯不太青睐宇宙学研究,尤其是和广义相对论相关的理论部分。从Einstein的年代开始,这几乎成了一个百年传统。

噢,诺奖。我差点忘记了恭喜Bob Dylan!
我希望明年的文学奖可以颁发给我的另一个偶像:Woody Allen.
噢,这只是一个(或许不那么好笑的)玩笑。

2 thoughts on “月旦 IX

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s