Weil猜想漫谈 IX：转铅笔


我们开始讨论著名的[Deligne, 1974]：
Deligne La conjecture de Weil: I
这可以视为漫谈的分水岭。之前的章节所涉及的数学或多或少是经典的。从本章开始，我们将自由地引用各种现代的观点和结果。

标准猜想太难了。毕竟，即使限制到\Bbb C上，由于存在Hodge猜想这个巨大的阻碍，我们同样无法得到一般性的结果。Deligne的目标要现实得多：继续Grothendieck未竟的工作，将\Bbb C上已成熟的理论——即Lefschetz理论和Hodge理论——「移植」到一般域上。在Hodge理论方面，他的贡献是Hodge结构的一般理论1，以及混合Hodge结构的概念。另一方面，Lefschetz的所有拓扑结果几乎都源于对「铅笔」的研究，在证明强Lefschetz定理之前，似乎更应该将「铅笔」理论代数化：这是Deligne，Katz等人在SGA 7中处理的课题。

本章将处理复射影簇上的经典Picard-Lefschetz理论。请读者始终牢记：应该将这个理论视为Morse理论的全纯类比2。

(A)
给定复代数流形X和全纯线丛L（等价的，除子类[D]\in Z^1_r(X)），以|L|记L的截面空间的射影化P(H^0(X,L))，|L|称为D的完整线性系统。1维子系统P^1 \subset |L|称为铅笔。
我们感兴趣的是射影簇X^d \subset P^N，L是某丰富线丛（等价的，超平面除子类[W]）。此时P^1 \subset (P^N)^{*}，t\in P^1对应某个有理等价于W的有效除子X_t=H_t \cap X（作为L的某个截面的零点集），H_t=\alpha H_0+\beta H_\infty，t=\alpha/\beta.
假定以下「一般性」(generic) 条件成立：铅笔的轴A=\bigcap H_t与X横截相交，或者等价的，铅笔的底零点集 (base locus)B=\bigcap X_t=A \cap X是X中余维数2的光滑子簇。此时沿着B爆破射影簇X，我们得到双有理等价于X的\tilde{X}，容许纤维化\phi: \tilde{X} \to P^1，\phi^{-1}(t)=X_t，t \in P^1.
称P^1 \subset |L|为Lefschetz铅笔，如果几乎所有X_t都是光滑的，奇异的X_t仅包含一个普通双重点作为奇点。对应的纤维化\phi称为Lefschetz纤维化：这就是我们要寻找的「全纯Morse函数」，是「一般性」的纤维化。

(B)
假定Lefschetz纤维化\phi有临界值集S=\{s_1,\cdots,s_M\}，\infty \notin S. 在每个临界点附近使用全纯Morse引理将奇点标准化，不难证明：
对t \in U=P^1/S，\tilde{X}-X_\infty同伦等价于X_t粘贴上M个B^d，粘贴的边界S^{d-1}称为消没球面，其在H^{d-1}(X_t,\Bbb Z)中的上同调类称为消没闭链。
过渡到上同调，嵌入j:X_t \to \tilde{X}-X_\infty诱导的同态j^{*}:H^i(\tilde{X}-X_\infty,\Bbb Z) \to H^i(X_t,\Bbb Z)在i \leq d-2时是同构，在i=d-1时是单同态，余核由消没闭链生成。

(C)
让我们考虑这种情况下的单值群表示问题。可以从3个不同的角度理解这个对象3：
(1) 拓扑：局部系统，即U上的局部常数束\mathcal{E}；
(2) 表示论：\pi_1(U,t)-模\mathcal{E}_t，t\in U；
(3) 微分几何：装备有平坦联络的向量丛E；
观点(2)和(3)的等价即著名的Riemann-Hilbert对应。
例如，给定Lefschetz纤维化\phi，高阶直接象束R^i\phi_{*}\Bbb Q在局部是\Bbb Q-向量空间的常数束，\mathcal{E}_t=(R^i\phi_{*}\Bbb Q)_t=H^i(X_t,\Bbb Q)，\pi_1(U,t)仅在H^{d-1}(X_t,\Bbb Q)上有非平凡的表示。取\alpha \in H^{d-1}(X_t,\Bbb Q)，这个单值群表示可以写成：
(Picard-Lefschetz公式) T_k(\alpha)=\alpha + \epsilon_d (\alpha,\beta_k)\beta_k，生成元T_k \in \pi_1(U,t)对应临界点s_k \in S，\beta_k是s_k对应的消没闭链，\epsilon_d=\pm 1取决于d.
由此可以证明非常重要的：
(不可约定理) \pi_1(U,t)在消没闭链生成的子空间上的表示作用是不可约的。
当d-1为奇数时，相交形式(\cdot,\cdot)是斜对称形式。由Picard-Lefschetz公式，\pi_1(U,t)的作用保持相交形式不变，因而是辛表示。
(Kazhdan-Margulis) \pi_1(U,t)的象在辛群Sp(H^{d-1}(X_t,\Bbb Q))中Zariski-稠密4。
上述两条定理对单值群表示施加了很强的限制。

(D)
最后，Lefschetz纤维化\phi: \tilde{X} \to P^1允许我们用Leray谱序列计算H^i(\tilde{X},\Bbb Q)5：此时谱序列在E_2^{p,q}=H^p(P^1,R^q\phi_{*}\Bbb Q)处退化，且当q>2时，E_2^{p,q}=0，因而只需考虑H^2(P^1,R^{i-2}\phi_{*}\Bbb Q)，H^1(P^1,R^{i-1}\phi_{*}\Bbb Q)和H^0(P^1,R^i\phi_{*}\Bbb Q)这三项就可以了。

接下来，我们将考虑Deligne, etc.对Picard-Lefschetz理论的代数化。

  1. 我们仅提及最初的一步：Hodge滤过似乎是比Hodge分解更「基本」的概念。前者不但在Griffiths的形变理论中表现得更好，也和谱序列的语言（具体地说，Frölicher谱序列）结合得更好，从而允许到一般域的推广。这是代数Hodge理论的起点。 ↩
  2. Donaldson提出可以在辛几何中考虑Picard-Lefschetz理论的类比，这个思路允许Paul Seidel具体计算许多Fukaya范畴的例子——在某种程度上，这不并让人意外，因为Floer同调本就应该理解为圈空间上的Morse同调。我喜欢用这样的图景来叙述：复几何和辛几何是同一棵树上（镜像对称）的不同分支，伪全纯曲线和Picard-Lefschetz理论生长在比Floer同调和Fukaya范畴更加靠近根部的地方。 ↩
  3. 当前，这是一个炙手可热的领域。关键词包括但不限于：几何Langlands纲领，Higgs丛，Hitchin纤维化，基本引理，等等。跟Weil猜想联系更紧密的是特征p的情况，即Drinfeld和L.Lafforgue的工作。 ↩
  4. 在单值/Galois表示中，这是一个常见现象：几何起源的单值群/Galois群通常会有「最大可能」(as large as possible) 的表示。 ↩
  5. 事实上，这是Leray发明谱序列的初衷。 ↩

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