Weil猜想漫谈 IX:转铅笔

我们开始讨论著名的[Deligne, 1974]:
Deligne La conjecture de Weil: I
这可以视为漫谈的分水岭。之前的章节所涉及的数学或多或少是经典的。从本章开始,我们将自由地引用各种现代的观点和结果。

标准猜想太难了。毕竟,即使限制到\Bbb C上,由于存在Hodge猜想这个巨大的阻碍,我们同样无法得到一般性的结果。Deligne的目标要现实得多:继续Grothendieck未竟的工作,将\Bbb C上已成熟的理论——即Lefschetz理论和Hodge理论——「移植」到一般域上。在Hodge理论方面,他的贡献是Hodge结构的一般理论1,以及混合Hodge结构的概念。另一方面,Lefschetz的所有拓扑结果几乎都源于对「铅笔」的研究,在证明强Lefschetz定理之前,似乎更应该将「铅笔」理论代数化:这是Deligne,Katz等人在SGA 7中处理的课题。

本章将处理复射影簇上的经典Picard-Lefschetz理论。请读者始终牢记:应该将这个理论视为Morse理论的全纯类比2

(A)
给定复代数流形X和全纯线丛L(等价的,除子类[D]\in Z^1_r(X)),以|L|L的截面空间的射影化P(H^0(X,L))|L|称为D的完整线性系统。1维子系统P^1 \subset |L|称为铅笔。
我们感兴趣的是射影簇X^d \subset P^NL是某丰富线丛(等价的,超平面除子类[W])。此时P^1 \subset (P^N)^{*}t\in P^1对应某个有理等价于W的有效除子X_t=H_t \cap X(作为L的某个截面的零点集),H_t=\alpha H_0+\beta H_\inftyt=\alpha/\beta.
假定以下「一般性」(generic) 条件成立:铅笔的轴A=\bigcap H_tX横截相交,或者等价的,铅笔的底零点集 (base locus)B=\bigcap X_t=A \cap XX中余维数2的光滑子簇。此时沿着B爆破射影簇X,我们得到双有理等价于X\tilde{X},容许纤维化\phi: \tilde{X} \to P^1\phi^{-1}(t)=X_tt \in P^1.
P^1 \subset |L|为Lefschetz铅笔,如果几乎所有X_t都是光滑的,奇异的X_t仅包含一个普通双重点作为奇点。对应的纤维化\phi称为Lefschetz纤维化:这就是我们要寻找的「全纯Morse函数」,是「一般性」的纤维化。

(B)
假定Lefschetz纤维化\phi有临界值集S=\{s_1,\cdots,s_M\}\infty \notin S. 在每个临界点附近使用全纯Morse引理将奇点标准化,不难证明:
t \in U=P^1/S\tilde{X}-X_\infty同伦等价于X_t粘贴上MB^d,粘贴的边界S^{d-1}称为消没球面,其在H^{d-1}(X_t,\Bbb Z)中的上同调类称为消没闭链。
过渡到上同调,嵌入j:X_t \to \tilde{X}-X_\infty诱导的同态j^{*}:H^i(\tilde{X}-X_\infty,\Bbb Z) \to H^i(X_t,\Bbb Z)i \leq d-2时是同构,在i=d-1时是单同态,余核由消没闭链生成。

(C)
让我们考虑这种情况下的单值群表示问题。可以从3个不同的角度理解这个对象3
(1) 拓扑:局部系统,即U上的局部常数束\mathcal{E}
(2) 表示论:\pi_1(U,t)-模\mathcal{E}_tt\in U
(3) 微分几何:装备有平坦联络的向量丛E
观点(2)和(3)的等价即著名的Riemann-Hilbert对应
例如,给定Lefschetz纤维化\phi高阶直接象R^i\phi_{*}\Bbb Q在局部是\Bbb Q-向量空间的常数束,\mathcal{E}_t=(R^i\phi_{*}\Bbb Q)_t=H^i(X_t,\Bbb Q)\pi_1(U,t)仅在H^{d-1}(X_t,\Bbb Q)上有非平凡的表示。取\alpha \in H^{d-1}(X_t,\Bbb Q),这个单值群表示可以写成:
(Picard-Lefschetz公式) T_k(\alpha)=\alpha + \epsilon_d (\alpha,\beta_k)\beta_k,生成元T_k \in \pi_1(U,t)对应临界点s_k \in S\beta_ks_k对应的消没闭链,\epsilon_d=\pm 1取决于d.
由此可以证明非常重要的:
(不可约定理) \pi_1(U,t)在消没闭链生成的子空间上的表示作用是不可约的。
d-1为奇数时,相交形式(\cdot,\cdot)是斜对称形式。由Picard-Lefschetz公式,\pi_1(U,t)的作用保持相交形式不变,因而是辛表示。
(Kazhdan-Margulis) \pi_1(U,t)的象在辛群Sp(H^{d-1}(X_t,\Bbb Q))中Zariski-稠密4
上述两条定理对单值群表示施加了很强的限制。

(D)
最后,Lefschetz纤维化\phi: \tilde{X} \to P^1允许我们用Leray谱序列计算H^i(\tilde{X},\Bbb Q)5:此时谱序列在E_2^{p,q}=H^p(P^1,R^q\phi_{*}\Bbb Q)处退化,且当q>2时,E_2^{p,q}=0,因而只需考虑H^2(P^1,R^{i-2}\phi_{*}\Bbb Q)H^1(P^1,R^{i-1}\phi_{*}\Bbb Q)H^0(P^1,R^i\phi_{*}\Bbb Q)这三项就可以了。

接下来,我们将考虑Deligne, etc.对Picard-Lefschetz理论的代数化。


  1. 我们仅提及最初的一步:Hodge滤过似乎是比Hodge分解更「基本」的概念。前者不但在Griffiths的形变理论中表现得更好,也和谱序列的语言(具体地说,Frölicher谱序列)结合得更好,从而允许到一般域的推广。这是代数Hodge理论的起点。
  2. Donaldson提出可以在辛几何中考虑Picard-Lefschetz理论的类比,这个思路允许Paul Seidel具体计算许多Fukaya范畴的例子——在某种程度上,这不并让人意外,因为Floer同调本就应该理解为圈空间上的Morse同调。我喜欢用这样的图景来叙述:复几何和辛几何是同一棵树上(镜像对称)的不同分支,伪全纯曲线和Picard-Lefschetz理论生长在比Floer同调和Fukaya范畴更加靠近根部的地方。
  3. 当前,这是一个炙手可热的领域。关键词包括但不限于:几何Langlands纲领,Higgs丛,Hitchin纤维化,基本引理,等等。跟Weil猜想联系更紧密的是特征p的情况,即Drinfeld和L.Lafforgue的工作。
  4. 在单值/Galois表示中,这是一个常见现象:几何起源的单值群/Galois群通常会有「最大可能」(as large as possible) 的表示。
  5. 事实上,这是Leray发明谱序列的初衷。
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Weil猜想漫谈:幕间 VIII

d维光滑射影簇X上,Frobenius元素\pi自然作用于l-进上同调群H^i(\bar{X}_{et},\Bbb Q_l). 我们希望证明
W(X)\pi的所有特征值均为代数数,且有模q^{i/2}.
注意到这完全刻画了Z_X(T)的根,因而特征多项式P_i(T)\in \Bbb Q[T]l的选取无关。为简单起见,暂且将H^i(\bar{X}_{et},\Bbb Q_l)记成H^i(X).

在进入对Deligne I的讨论前,让我们「轻松」一下:假想现在是60年代而我们是(尚未提出标准猜想的)Grothendieck,让我们试着来证明W(X).

最自然的思路当然是对d作归纳。弱Lefschetz定理(「公理」7)立即派上了用场:与Poincaré对偶(「公理」4)相结合,并应用归纳假设,W(X)被简化为
W(X)^d\piH^d(X)上作用的所有特征值均为代数数,且有模q^{d/2}.

另一方面,假定W(X)W(Y)成立,由Künneth公式(「公理」5),Z_{X \times Y}(T)Z_{X}(T)Z_{Y}(T)的Rankin-Selberg张量积:记A(T)=\prod_i(1-a_i T)\prod_I(1-a_I T)^{-1}B(T)=\prod_j(1-b_j T)\prod_J(1-b_J T)^{-1},称C(T)=\prod_k(1-c_k T)\prod_K(1-c_K T)^{-1}A(T)B(T)的Rankin-Selberg张量积,若\{c_k\}=\{a_ib_j\}\{c_K\}=\{a_Ib_J\}.
于是W(X \times Y)成立。一个良好的开始!
我们提醒读者,我们曾在《漫谈 III:第二主题》考虑过Hecke L-函数的Rankin-Selberg张量积,并用Landau定理给出了|a_i|的上界,我们眼下的任务则是归纳估计|c_k||c_K|的模——两个主题之间有非常明显的平行性。这一平行性将最终允许我们证明Ramanujan-Petersson猜想。

基于这个简单的推理,Grothendieck曾做过非常「天真」的猜想(立即被Serre证否了1):任何射影簇都双有理等价于曲线乘积的商。问题在于,Künneth公式要求一个整体乘积结构,这个限制太强了。局部乘积结构要常见得多——大家都很熟悉拓扑中的纤维丛理论。Deligne选择的约化方式是:任何射影簇X都双有理等价于某个\tilde{X},使得存在Lefschetz纤维化\phi:\tilde{X} \to P^1. 在复代数几何中,这个纤维化可以经由名为「Lefschetz铅笔」的构造得到,由此发展出了所谓的Picard-Lefschetz理论。

那么,让我们先来考虑Picard-Lefschetz理论及其代数化。对每根纤维应用归纳假设,让我们看看,这将把我们带向何方。


  1. 详见Grothendieck-Serre Correspondence

Weil猜想漫谈 VII:插曲

本章是漫谈的「插曲」——提及的所有结果都和Weil猜想的证明(或者更严格地说,Deligne I 中给出的证明)没有直接关联。然而如果我们把视野放宽,那么,在Weil猜想得到证明后,继续研究与代数闭链相关的种种猜想已成为现代代数几何理论的主旋律之一。

首先引入我们要讨论的对象:给定d维光滑射影簇X代数闭链指的是形如\sum n_iX_i的形式和,X_i \subset X是代数子簇1n_i \in \Bbb Z. 我们可以考虑代数闭链所组成的环Z(X),按余维数引入的分次结构\displaystyle Z(X)=\oplus_{i=1}^{d} Z^i(X)与相交积相容。视情况,我们也会考虑按维数引入的分次结构\displaystyle Z(X)=\oplus_{i=0}^{d-1} Z_i(X).
熟知在Z^i(X)上可以引入有理等价、代数等价、同调等价和数值等价这4种经典的等价关系,相应的等价类与\Bbb Q作张量积后记为A^i_r(X)A^i_a(X)A^i_h(X)A^i_n(X). 在之前的讨论中,我们已经见过A^i_r(X)(整系数的有理等价类Z^i_r(X)=CH^i(X)通常称为Chow环2)和A^i_h(X).

在代数几何所感兴趣的等价关系中,有理等价是最精细的一种。Z^1(X)(Weil除子)模去有理等价(线性等价)关系给出我们熟悉的除子类群/Picard群。更一般地,Chern特征给出Grothendieck同构\displaystyle \otimes_i A^i_r(X)=K_0(X) \otimes \Bbb Q,这将Chow环与代数K-理论联系起来。
Z^1(X)模去代数等价关系给出(有限生成的)Néron–Severi群,这也是经典的内容。特别地,代数等价严格弱于有理等价:在代数闭域上,\sum n_ix_i \in Z_0(X)代数等价于0当且仅当\sum n_i=0
另一方面,在Z^1(X)上,代数等价、同调等价和数值等价是重合的 (Matsusaka),这个结论给人以强烈的暗示:「经典等价关系」是否在本质上只有2类呢?Griffiths找出了反例:\Bbb C P^4中的一般五次曲面,此时同调等价严格弱于代数等价。因此也就有了Griffiths群的概念:它衡量同调等价和代数等价的差距。
最后,我们依然不知道同调等价和数值等价是否总是重合。假定Lefschetz型标准猜想,不难推出对于任意给定的Weil上同调论,同调等价都和数值等价重合(有时称为标准猜想D),进而推出同调等价关系和所采用的同调论无关3!在Grothendieck的设想中,这将是构造「万有上同调论」的关键步骤,可惜现在还没有人知道该如何迈出这一步4

以下我们还将陈述几个代数几何 / 算术几何中的重要猜想。基本的精神是:代数闭链的特定等价类可以用Hodge结构来描述。

首先是标准猜想。简单地说,3个Lefschetz型标准猜想可以叙述为:给定任意一种Weil上同调论,光滑射影簇上的代数闭链的同调等价类都应该表现得和在复射影簇上一样。尴尬的是,我们甚至无法完全描述复射影簇的情形。
(Hodge猜想) 在光滑复射影簇X上,闭链映射\mathrm{cl}_X给出A_h^i(X)H^{2i}(X,\Bbb Q) \cap H^{i,i}(X)的同构。
这推广了i=1的情况,即Lefschetz (1,1)-类定理5
作为七大千禧难题之一,Hodge猜想的官方叙述由Deligne给出。2000年之后的一个进展是Voisin证否了Hodge猜想在紧Kähler流形上的类比,这表明紧Kähler流形与代数流形的差别要比此前认识到的还要微妙。
完全类似的,考虑k上的光滑射影簇Xk为代数数域或有限域。选取在k中可逆的素数ll-进上同调群H^{2i}(X_{et},\Bbb Q_l)在绝对Galois群\mathrm{Gal}(\bar{k}/k)作用下的不变向量构成子空间H^{2i}_G(X_{et},\Bbb Q_l)。我们有:
(Tate猜想) 闭链映射\mathrm{cl}_X给出A_h^i(X) \otimes \Bbb Q_lH^{2i}_G(X_{et},\Bbb Q_l)的同构。
显然,Hodge猜想/Tate猜想比Lefschetz型标准猜想更强(或者说更精确)。此外已知的结论大致如下:\Bbb C上的Lefschetz型标准猜想可以反过来推出Abel簇上的Hodge猜想,从而推出Abel簇上的Hodge型标准猜想。有限域上的Tate猜想(加上作为推论的猜想D)可以推出有限域上的Hodge型标准猜想。
猜想是数学中最迷人的部分。对算术几何感兴趣的读者不妨从阅读下面这本书开始:
Hulsbergen Conjectures in Arithmetic Geometry

另一本想推荐的书是Bloch, Lectures on Algebraic Cycles. 这是后续许多发展的源头(在Voison, Vol.2中详细介绍了和复几何相关的部分)。本章引入的概念太少,我们只能努力尝鼎于一脔,考虑经典的Abel-Jacobi定理的一种推广(却期望——但愿不是奢望——读者能够食髓知味,瞥见Chow环与Hodge结构的微妙关系!)
上面我们提及过,在复代数簇X上,Z_0^a(X) \cong \Bbb Z. Chow环CH_0(X)通常要大得多:在复曲线C上,Abel-Jacobi定理断言曲线的Jacobi簇CH_0(X)/Z_0^a(C)(点链的有理等价类,要求度数为0)同构于Albanese簇Alb(C)=\Gamma(C,\Omega^1)^{*}/H_1(C,\Bbb Z). 一般的,在复代数簇X上,我们有Albanese映射\alpha: CH_0(X) \to Alb(X)Rojtman定理指出Albanese映射限制到双方的有限子群上是同构。但这一同构通常无法提升到单位元所在的连通分支上:
(Mumford) 考虑复代数曲面S,若S几何亏格h^{2,0}=\dim H^0(S,\Omega^2) \neq 0,则\ker(\alpha) \subset CH_0(S)在「无法用有限对象表出」的意义上是「大」的。
(Bloch猜想) 若复代数曲面S满足h^{2,0}=0,则Albanese映射\alpha可以提升为单位元所在的连通分支的群同构。
Bloch猜想允许一个深远的推广,即所谓的Bloch-Beilinson猜想:在A^i_r(X)上存在一个滤过结构,其伴随分次代数的消没情况为X的上同调群所控制。更一般的,给定对应\Gamma \subset X \times Y,伴随分次代数间的态射消没情况为Hodge结构间的态射情况所控制。这可以视为高维的Abel-Jacobi定理。和Hodge猜想类似,当前我们处于相当尴尬的境地:甚至连Bloch猜想这样「简单」的特例也仍未得到证明!
Jansen  Motivic Sheaves and Filtrations on Chow Groups

最后,我们想顺带提及,在非光滑的情形,上述所有猜想都可以用混合Hodge结构,Fulton-MacPherson相交同调论,反常束和D模理论等工具重构。这已超出了漫谈的范围。Maybe elsewhere? (Well, no promise!)
下一章我们会回到Weil猜想,开始讨论Deligne I中给出的证明。


  1. 我们假定这些子簇都是光滑的:在特征0的情况,可以直接「粗暴地」使用Hironaka奇点消解定理。 
  2. 几何学中有3个最重要的概念以华人命名:Chern类,Chow环和Calabi-Yau流形。 
  3. 有一个绕过Weil上同调论,纯粹用闭链陈述的方法,即考虑Voevodsky定义的粉碎-幂零等价 (smash-nilpotence equivalence) 。这是一种强于同调等价的等价关系,然而我们猜想它依然和数值等价重合。 
  4. 同样是Voevodsky找到了绕开这一点的方法。尽管没有完全遵循Grothendieck设想的方案,但他构造的母题上同调论已足以用于证明Milnor猜想乃至更一般的Bloch-Kato猜想(现在称为范数剩余同构定理)。 
  5. i \geq 2时,无法保证Z_h^i(X)同构于H^{2i}(X,\Bbb Z) \cap H^{i,i}(X):Atiyah-Hirzebruch给出了反例。 

Weil猜想漫谈 VI:Grothendieck之梦

绝对Galois群\mathrm{Gal}(\bar{\Bbb F}_q/\Bbb F_q)l-进上同调群H^i(\bar{X}_{et},\Bbb Q_l)上有自然的表示。
(W3)作为生成元,Frobenius元素\pi的所有特征值(作为代数数)有模q^{i/2}.
对(W3)的研究将人们导向现代代数几何某些最深入的猜想。概言之:一方面我们有代数闭链这个「几何」对象,另一方面我们有Hodge结构这个「分析」对象。我们相信这两个对象在某种意义上互相决定。困难在于,在这个方向上稍加前行,我们就会遇到Hodge猜想/Tate猜想。前者作为千禧七大难题之一,目前还看不到任何解决的希望。

在较初等的层面上,Hodge理论的“unreasonable effectiveness”已显露无遗:对于复代数簇,我们可以用它重新诠释大部分Lefschetz的拓扑理论。我们请不熟悉Hodge理论的读者在继续阅读之前,参考《Hodge理论》以了解一些最基本的事实,并阅读《Pauli矩阵,表示论与Kähler恒等式》一文,它给出了强Lefschetz定理(「公理」(8))的分析证明,并叙述了de Rham上同调群的Lefschetz分解——这对于理解标准猜想是必须的。或者,读者可以直接参考目下介绍Hodge理论的最佳书籍:
Voison Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, Ⅰ & II

就Weil猜想而言,Serre发现Weil对(A3)的「正性证明」容许一个复曲线类比。特别的,这个类比可以用Hodge理论阐明:考虑复射影曲线C\displaystyle (\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_C \omega_1 \wedge \bar{\omega}_2在全纯1-形式的空间H^{1,0}(C)上定义了一个正定Hermitian形式。若\pi:C \to C是一个q度自同构,则(\pi^{*}\omega_1,\pi^{*}\omega_2)=q(\omega_1,\omega_2),因而q^{-1/2}\pi^{*}H^{1,0}(C)上的酉算子,其特征值均模1。利用Hodge对偶将\pi^{*}扩张到H^1(C,\Bbb Q)上,易见其所有特征值均模q^{1/2}.
这提供了证明(W3)的一个思路:首先用Hodge理论证明(W3)在高维复射影簇上的类比(由Serre完成),再考虑如何将这个证明「移植」到特征p的情形。由于此时无法直接应用分析手段,我们必须反过来用Lefschetz的拓扑理论重新陈述Hodge理论的结论。我们将要点总结如下:
(1) 在Kähler流形上,Poincaré对偶可以细化为Hodge分解+Serre对偶。这个组合必须用Lefschetz分解来替代。这是Grothendieck将强Lefschetz定理列入Weil上同调论「公理」的原因。
(2) Lefschetz类\omega/算子L的不同选择对应Hodge结构的不同极化(polarization)。这个选择当然不是任意的:\omega作为闭链映射的象,必然有同调类(1,1). 另一方面,Lefschetz (1,1)-类定理保证这是唯一的限制:闭链映射映满有理(1,1)-类1。在没有Hodge分解时,我们只能定义(1,1)-类A^1_h(X)\mathrm{cl}_X:A^1_r(X) \to H^{2}(X)的象。一个「良定义」显然要求我们首先证明一个类似(1,1)类-定理的Lefschetz型定理2
(3) 在特征p的情形,由于任何Weil上同调论都不可能有实系数(参见上一章开头Serre的例子),我们无法定义Hermitian形式和酉算子。这是最次要的一点,很容易弥补用所谓的Weil形式来弥补。

上述讨论,尤其是(2),将我们引向著名的标准猜想。它属于Grothendieck和Bombieri(独立地)。
Grothendieck Standard Conjectures on Algebraic Cycles
首先,在Lefschetz理论的一侧,我们有3个Lefschetz型标准猜想:
(猜想A) 同构L^{d-2i}:H^{2i}(X)\to H^{2d-2i}(X)诱导同构L^i:A^i_h(X)\to A^{d-i}_h(X)
形式上,我们可以定义L的共轭算子L^{*}. 与猜想A等价的,我们有
(猜想B) 作为(d-1,d-1)-类,L^{*}对应某个余维数为d-1的代数闭链,即落在\mathrm{cl}_X:A^{d-1}_h(X) \to H^{d-1}(X)的象中;
猜想A和猜想B的任一者均可推出较弱的
(猜想C) Künneth同构H^{*}(X \times X) \to H^{*}(X) \times H^{*}(X)诱导同构A^{*}_h(X \times X) \to A^{*}_h(X) \times A^{*}_h(X)
另一方面,作为Hodge指标定理的推广,在Hodge理论的一侧,我们有Hodge型标准猜想2\forall i\leq d,对称二次型A^i_h(X)_{pr} \times A^i_h(X)_{pr} \to \Bbb Qx,y \mapsto (-1)^i x \cdot y \cdot u^{d-2i}为正定型,此处A^i_h(X)_{pr}=\ker(L^{*})\cap A^i_h(X)为Lefschetz分解中的本原(primitive)部分。
d=2的情况即Weil对(A3)的「正性证明」。这基本上是唯一已知的情况!

Grothendieck原本希望通过证明强Lefschetz定理和标准猜想来证明Weil猜想。在他看来,除了(一般基域上的)奇点消解,标准猜想是整个代数几何中最为重要的问题。Deligne对Weil猜想的证明避开了标准猜想,而强Lefschetz定理则反过来成为这个证明的一个推论。这让Grothendieck感到失望。
40多年过去了,标准猜想仍是「臭名昭著」的开问题:即使将最弱的猜想C限制在特征0的情况下,也只有部分的结果。一个截至90年代的总结是
Kleiman the Standard Conjectures,in Motives
20多年来,对「Grothendieck之梦」的探索确实有所进展(但没有本质的突破)。MathOverflow上有一份更加简短的、截至2015年的总结可供参考。


  1. 作为丰富除子(ample divisor)W的象,\omega必须在(1,1)-类的整格点中选取:这是Kodaira嵌入定理的要求。 
  2. 注意,这并非Hodge猜想。 

Weil猜想漫谈 V:碧海潮生

构造Weil上同调并不容易。我们来看Serre的一个例子:
考虑椭圆曲线C的自同态环\mathrm{End}(C)\mathrm{End}(C) \times \Bbb Q在2维线性空间H^1(C)上有自然的表示作用。对于定义在\Bbb F_{p^2}上的超奇异椭圆曲线C\mathrm{End}(C) \times \Bbb Q\Bbb Q上的可除四元数代数,因而在\Bbb R上和\Bbb Q_p上(从而在\Bbb Q上)不存在2维表示。也即是说,Weil上同调论的系数必须要在\Bbb Q_ll \neq p中寻找。
另一方面,Grothendieck等人确实成功构造了所谓的l-进上同调论:对于定义在特征p的有限域\Bbb F_q上的光滑射影簇,和任意素数l \neq p,存在一个以\Bbb Q_l为系数的Weil上同调论,满足上一章定义的「公理」(1)-(8). 对于定义在\Bbb Q上的射影簇V,经「好的」模p约化所得的射影簇V_pl-进上同调群与作为复代数簇的V的de Rham上同调群有相同的秩1

我们承诺过我们的漫谈将会是几何式的。对于「抽象代数几何」苦手——例如,对于束论和同调代数毫无认识的人——上述定义,加上对上同调论的几何想象,已足以支撑他们完成这次「漫步」——尽管会丢失许多细处的风景。这些人可以就此止步了。当然,为了形成正确的「比例感」,我们还必须提醒:l-进上同调论的构造,以及「公理」(1)-(7)的验证绝不是轻易的,(8)则尤其困难。不要被简单的叙述所蒙蔽,而小看了Grothendieck, M.Artin, Verdier等人的工作!
剩下的人,让我们继续前进。

应用代数拓扑于代数几何的早期尝试一直为如下难题所困扰:代数簇上的「天然」拓扑——Zariski拓扑——太过「粗糙」(开集/闭集太少)2。Grothendieck试图绕开这个难题:毕竟,对于上同调论的应用而言,束才是更基本的对象。而束的定义不一定要依赖于底空间上的开集。更进一步,我们可以问一个「天真」的问题:什么是「开集」?Grothendieck以相对性观点 (relative viewpoint) 知名,在他看来,「开集」同样是对象间的态射:在复拓扑的情况,我们可以取万有对象为\Bbb C^n,态射为局部解析同构,从而将复拓扑「传递」到一般解析簇上。在Zariski拓扑的情况,Serre提出可以用平展态射 (étale morphism)来替代局部解析同构。对于局部Noetherian概型,可以将平展态射粗略地理解为「非分歧覆迭」,我们请读者记住这个几何图像3
对于簇/概型X,用所有对象到X的平展态射的范畴取代(过小的)Zariski开集的范畴,我们得到所谓的平展拓扑 ( étale topology) 。当然是上述范畴到Abel群范畴的反变函子,满足熟知的一系列公理。特别的,应用著名的[Grothendieck, 1957] (「东北论文」)的观点:截影函子作为左正合函子,定义其右导出函子为束的上同调群,由此得到的束上同调论称为平展上同调 (étale cohomology)。
在法语中,“étale”可以与「潮平两岸阔」的意向相联系,这是Grothendieck作为诗人的一面4

回到有限域\Bbb F_q上的射影簇X。有鉴于开篇提到的例子,自然会考虑H^i(X_{et},\Bbb Q_l)能否提供一个Weil上同调论——这被证明是一个失败的尝试。l-进上同调群的「正确」定义是H^i(X_{et},\Bbb Z/l^k \Bbb Z)逆向极限(与\Bbb Q_l作张量积以抹去所有挠元)。很遗憾,通常人们依然用H^i(X_{et},\Bbb Q_l)来表示这个上同调群,这引发了大量混淆。
通过上述方式定义的l-进上同调论是一个Weil上同调论。从定义的复杂度可以想见,「公理」(1)-(7)的验证全都是不平凡的定理,读者必须到SGA(或者更现代的,我们推荐Milne的讲义)中寻找细节。作为算术几何和表示论的基础工具,平展上同调是任何严肃的代数/数论研究者都无法逃避的一课。

我们用两段相关的讨论来收尾。首先是关于Tate模
考虑定义在\Bbb F_q上的Abel簇X\bar{X}=X \times \bar{\Bbb F}_q. \bar{X}上的l^k-挠元构成一个逆向系统,其逆向极限T_l(X)称为X的Tate模。
这个定义与l-进上同调的定义存在明显的类似性。事实是,作为自由\Bbb Z_l-模,T_l(X)H^1(\bar{X}_{et},\Bbb Z_l)对偶,从而可以「代替」H^1(\bar{X}_{et},\Bbb Z_l).
这个对象有表示论上的兴趣:\Bbb F_q绝对Galois群自然地作用于T_l(X),前者的生成元不是别的,正是Frobenius元素\pi。特别的,对于椭圆曲线,(A3)和它的种种变体都等价于:\pi在2阶自由模T_l(X)上作用的2个特征值(作为代数数)均有绝对值q^{1/2}.
正如我们之前所说的,(A3)的表示论证明对椭圆曲线和高亏格曲线的Jacobi簇考虑了作为Frobenius元素表示的Tate模,作为「第一同调群」,它包含了曲线的所有同调论信息5
对任意光滑射影簇XH^i(\bar{X}_{et},\Bbb Q_l)上同样有自然的Galois表示。如果我们对Langlands对应作最粗略的解读:「Galois表示-自守表示」,「Frobenius特征值-Hecke特征值」,那么这个对应会将我们自然地导向Ramanujan-Petersson猜想。
迟一些时候,我们会再次回到这个话题。

最后,我们还想总结一下已知的4种经典「Weil上同调论」:
(1) Betti上同调:由注2中提及的“GAGA”,我们可以将其等同于复代数簇上的复系数奇异上同调。
(2) l-进上同调:和Betti上同调构成了「提升/约化」的关系。
(3) 代数de Rham上同调:利用Kähler微分的概念,将复代数簇上的de Rham上同调推广到任意特征0的代数簇上。
(4) p-进上同调( 晶状上同调刚性上同调 ):可以认为是代数de Rham上同调的「模p约化」,以Witt向量为系数。这是一种比l-进上同调更「透彻」的上同调论:可以侦测到挠元,避开了l \neq p的限制,等等。特别的,可以用它来证明(W3)。我们将在漫谈的最后回到这一点上来。
(2)(3)(4)的构造都与Grothendieck密切相关,这构成了他工作的一大主题。如同注1所提及的,它们可以视为母题上同调的不同「实现」。


  1. 这个性质启发了Grothendieck提出动机理论:代数几何对象实际上仅有一个「上同调论」和这个「上同调论」在不同位(place)上的「实现」,或者说种种上同调论均可factor through这个假想中的「万有上同调论」——称为母题/动机(motivic)上同调。 
  2. 因此,和复拓扑的正面类比结果就显得尤为难得,最著名的例子可能是Serre的“GAGA”:对于复代数簇上的凝聚束 (coherent sheaf) ,Zariski拓扑给出和复拓扑相同的束上同调论。 
  3. 这个观点通过基本群导向Grothendieck的Galois理论。 
  4. 在《播种与收获》(Recoltes et Semailles) 中,Grothendieck曾将自己做数学的方式形容为「潮水渐涨」。 
  5. 事实上,作为Galois表示,Tate模决定了椭圆曲线的同源类。Tate证明了有限域的情况。对于代数数域上的Abel簇,类似陈述称为Tate同源猜想,Faltings在证明Mordell猜想的过程中证明了这个猜想。

Weil猜想漫谈 IV:拓扑征服

「拓扑征服」不是地道的汉语。然而Norman conquest确乎是地道的英语——我们取这个意思。

让我们回到代数几何。迄今为止我们还未给出(A1)(A2),特别是(A3)的证明。我们希望在(W1)(W2)(W3)的框架下统一考虑在几何方面所需的准备工作。约定如下记号:X为定义在\Bbb F_q上的d维光滑射影簇,\bar{X}=X \times \bar{\Bbb F}_q.

Hasse找到了这样一条几何线索:在射影簇\bar{X}上,我们可以定义Frobenius自同态\pi,\pi^2,\pi^3,\cdots(请读者考虑具体的定义方法并证明\bar{X}的不变性。)特别的,X上的\Bbb F_{q^n}-点集X(\Bbb F_{q^n})正是自同态\pi^n:\bar{X} \to \bar{X}的不动点集,估计N_n的大小转化成了不动点计数的问题。关于后者,我们有经典的:
(Lefschetz不动点定理) 对于复代数簇X,态射f:X \to XH^i(X,\Bbb Q)上诱导线性表示f^{*}。假定f\Gamma_f和恒同映射的图\Delta(均为X \times X的子集,我们将其视为代数几何意义上的对应)横截相交,我们定义f的不动点为这些交点在X上的投影。不动点的个数\displaystyle N=\sum_i(-1)^i \mathrm{tr}(f^{*}|H^i(X),\Bbb Q).

当然,我们面临的问题依旧是对于有限域上的X定义「合适」的上同调论,使得Lefschetz不动点定理的类比成立。假设我们已做到这一点,(W1)的证明是轻易的:\displaystyle \sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n=\sum_i\sum_{n\geq 1}(-1)^i \mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^i(X))\frac{T^n}{n},也即
\displaystyle Z_X(T)=\prod_i \det(1-\pi^{*}T|H^i(X))^{(-1)^{i+1}}
此时P_i(T)=\det(1-\pi^{*}T|H^i(X)),如果我们能证明\dim H^i(X)=\dim H^i(X(\Bbb C),\Bbb Q),自然也就得到\deg(P_i)=b_i(X).
\pi^{*}H^{2d}(X)上的作用是乘以q^d. 不难发现(W2)相当于Poincaré对偶:若\alpha_1,\cdots,\alpha_s\pi^{*}H^i(X)上的特征值,则q^{2d}/\alpha_1,\cdots,q^{2d}/\alpha_s\pi^{*}H^{2d-i}(X)上的特征值。

将上述讨论一般化:
给定域k(任意特征)和K(特征0),记k上光滑射影簇的范畴为P,分次K代数的范畴为R_K。定义Weil上同调函子为反变函子H^*:P \to R_K,对所有d维射影簇X,满足以下公理:
(1,有限公理) H^i(X)是有限维K-线性空间;
(2,消没公理) H^i(X)=0,除非0\leq i\leq 2d
(3,定向公理) H^{2d}(X)=K
(4,Poincaré对偶) 存在非退化配对H^i(X) \otimes H^{2d-i}(X) \to H^{2d}(X)=K
(5,Künneth公式) 投影映射X \times Y \to X,Y诱导典范同构H^{*}(X) \otimes H^{*}(Y) \to H^{*}(X \times Y)
上述5条公理是一般上同调论的共性。我们希望Weil上同调还能给出代数几何特有的
(6,闭链映射) 记A^i_r(X)X中余维数为i的代数闭链的有理等价类所张成的\Bbb Q-线性空间。要求存在\mathrm{cl}_X:A^i_r(X) \to H^{2i}(X)满足函子性,与Künneth公式相容,并在X退化为单点时给出嵌入\Bbb Q \subset K.
Lefschetz不动点定理的成立仅依赖于上述6条公理。也就是说,只要我们能构造出满足条件的Weil上同调理论,并证明与K \to \Bbb Q相应的基域变换定理,就能给出(W1)(W2)的证明1

对于\Bbb C(乃至一般的特征0的代数闭域),Kähler流形上的de Rham上同调给出Weil上同调的范例。假定H是背景射影空间中的超平面,j:W=H \cap X \to X是光滑嵌入,我们有额外的:
(7,弱Lefschetz定理) j^{*}:H^i(X) \to H^i(W)i \leq d-2时是同构,在i=d-1时是单同态。
\omega=\mathrm{cl}_X(W)\in H^2(X),并定义Lefschetz算子L:H^i(X)\to H^{i+2}(X)x \mapsto x \cdot \omega. 此时可以用Hodge理论证明
(8,强Lefschetz定理)L^i:H^{d-i}(X) \to H^{d+i}(X)是同构。
我们当然希望我们构造的Weil上同调和Kähler流形上的de Rham上同调有最大程度的平行性:满足(7)(8)两条「公理」。这原本是一个有独立意义的课题,但最终也被证明和(W3)相关:(8)在某种意义上「等价」于(W3). 我们将这个话题留待后叙。

暂且放下(8)不论,至少这一点是清楚的:仅仅对(1)-(6)作形式推理并不足以证明(W3),我们仍需要额外的「材料」。
让我们先考虑(A3):对代数曲线C和Frobenius自同态\pi^n应用不动点定理,\displaystyle N_n=\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^0(X))-\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^1(X))+\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^2(X))
注意到\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^0(X))=1\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^2(X))=q^n,Hasse-Weil上界等价于估计\displaystyle |\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^1(X))| \leq 2gq^{n/2}
Hasse (g=1) 和Weil (g>1) 对这个估计给出了多种多样的证明。从现代观点看,这些证明大致可以分成2类2。其一是考虑椭圆曲线和高亏格曲线的Jacobi簇作为交换代数群的l-进表示。这类证明可以推广到Abel簇上 (Weil). 第二类证明更加几何化:早在Lefschetz之前,Hurwitz就对复代数曲线C建立了不动点定理的一个变体。特别的,如果将定理右端上同调群的特征全部改写成特定曲线的相交数,就可以避开上同调论。将这个相交理论平行迁移到非特征0的代数闭域上,则上述估计是C\times C上的Castelnuovo-Severi不等式的推论。此即所谓的(A3)的「正性」(positivity) 证明。
为了完成这两个证明,Weil一手发展了现代意义上的抽象Abel簇理论,并为一般域上的相交理论建立了严格的代数基础3
在今后的漫谈中,我们会在更大的框架下回顾这两类证明。

总结一下。现在我们手头有两个任务:一是在特征p的域上构建一个Weil上同调理论,要求满足(1)-(6)(这允许我们证明(W1)(W2)),最好还能满足(7)(8). 二是在这个Weil上同调论的基础上,寻找更深入的理论,以求证明(W3).

终于,轮到Grothendieck登场了。


  1. 这一点是Serre告知Grothendieck的。 
  2. 事实上在椭圆曲线的情况,Hasse的第一个证明是复乘理论的应用。我们不会讨论这个证明,仅仅指出它也应该被纳入到Eichler-Shimura-Langlands的大图景中。
  3. 对这段历史感兴趣的读者可以参阅 Milne The Riemann Hypothesis over Finite Fields: From Weil to the Present Day. 几年前我们在《Weil的广博》一文中用粗线条勾勒过Weil在这几个方面的工作。 

Weil猜想漫谈 III:第二主题

通常在介绍Weil猜想时,「第二主题」的进入会被推迟到「末乐章」——即Deligne完成证明的最后一步。这不尽合乎历史发展的顺序,也破坏了Langlands所揭示的两个主题的对应结构。因此,我们决定在发展「第一主题」之前,让「第二主题」先行进入。具体地说,我们将暂时离开代数几何,而去考察起源于自守形式理论的另一大类L函数。

熟知模形式\displaystyle \Delta(z)=q\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)^{24}q=e^{2\pi\sqrt{-1}z}是(精确到常数意义上)唯一的权为12的尖点形式
(1) \displaystyle \Delta(\frac{az+b}{cz+d})=(cz+d)^{12}\Delta(z)
(2) Fourier展开\displaystyle \Delta(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n无常数项;
1916年,Ramanujan证明了:
(1) 对于素数p\tau(p) \equiv 1+p^{11}\mod 691
并提出了如下猜想:
(2) \tau满足递推式:
(2.1) \tau(mn)=\tau(m)\tau(n),若(m,n)=1
(2.2) \tau(p^{i+1})=\tau(p^{i})\tau(p)-p^{11}\tau(p^{i-1}),若p为素数;
或者等价的,
(2′) L函数\displaystyle L_\Delta=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)n^{-s}有Euler积表示\displaystyle \prod_p Q_p(p^{-s})^{-1},其中Q_p(T)=1-\tau(p)T+p^{11} T^2
(3, Ramanujan猜想) |\tau(p)|<2p^{11/2},即Q_p(X)无实根;
结合(2),我们可以将(3)改写成等价的(请读者证明)
(3′) |\tau(n)|<\sigma_0(n)n^{11/2}\displaystyle \sigma_0(n)=\sum_{d|n}1除数函数
(3”) |\tau(n)|=O(n^{11/2+\epsilon})\forall \epsilon>0
注意,对Fourier系数的初等估计已给出\tau(n)=O(n^6).

(1)的证明只需注意到:作为权12的模形式,E_6^2可以表成\displaystyle E_{12}+\frac{a}{691}\Deltaa \in \Bbb Z
691的出现是因为我们有Eisenstein级数展开:
\displaystyle E_{12}(z)=1+\frac{65520}{691}\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{11}(n)q^n\displaystyle \sigma_q(n)=\sum_{d|n}d^q
Mordell对(2)的证明发展为Hecke理论1
以下称模形式f是归一的,若f的Fourier系数\lambda_f(n)=O(n^C)C>0,且\lambda_f(1)=1.
在权为k的模形式空间M_k上可定义Hecke算子T_k(n): M_k \to M_k,满足T_k(m)T_k(n)=T_k(n)T_k(m).
若归一模形式f同时为所有Hecke算子T(n)的特征函数,则f有对应的Hecke L函数
\displaystyle L_f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_f(n)n^{-s}=\prod_p(1-\lambda_f(p)p^{-s}+p^{k-1-2s})^{-1}
(Hecke) \hat{L}_f(s)=(2\pi)^{-s}\Gamma(s)L_f(s)可解析延拓为:整函数,若f是尖点形式;仅在s=0s=k处有单极点的亚纯函数,若f非尖点形式。\hat{L}_f满足函数方程\hat{L}_f(k-s)=(-1)^{k/2}\hat{L}(s).
特别地,限制到尖点形式空间S_k上,Petersson内积使Hecke算子成为一族可互换的自共轭算子,从而给出S_k的一族正交单位基。对于归一Hecke特征形式f,我们可以将(3)推广为
(Ramanujan-Petersson猜想) |\lambda_f(p)|<2p^{(k-1)/2},或者等价的,|\lambda_f(n)|=O(n^{(k-1)/2+\epsilon})\forall \epsilon>0

1939年Rankin迈出了朝Ramanujan-Petersson猜想推进的第一步。这是著名的Rankin-Selberg方法的一个应用。
给定权为k的归一模形式\displaystyle f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a(n)q^n\displaystyle g(z)=\sum_{n=1}^{\infty}b(n)q^n,考虑对应的Hecke L函数\displaystyle L_f(s)=\prod_p[(1-\alpha_1(p)p^{-s})(1-\alpha_2(p)p^{-s})]^{-1}\displaystyle L_g(s)=\prod_p[(1-\beta_1(p)p^{-s})(1-\beta_2(p)p^{-s})]^{-1}
此时我们可以定义张量积\displaystyle L_{f\otimes g}(s)=\prod_p[(1-\alpha_1\beta_1(p)p^{-s})(1-\alpha_1\beta_2(p)p^{-s})(1-\alpha_2\beta_1(p)p^{-s})(1-\alpha_2\beta_2(p)p^{-s})]^{-1}
不难证明\displaystyle L_{f\otimes g}(s)=\zeta(2s-2k+2)\sum_{n=1}^{\infty}a(n)b(n)n^{-s}.
(Rankin-Selberg)\displaystyle \hat{L}_{f\otimes g}(s)=(2\pi)^{-2s}\Gamma(s)\Gamma(s-k+1)L_{f\otimes g}(s)可以延拓为全平面上的亚纯函数,至多在s=ks=k-1处有单极点,并满足函数方程\displaystyle \hat{L}_{f\otimes g}(s)=\hat{L}_{f\otimes g}(2k-1-s).
例1\displaystyle g=-\frac{B_k}{2k}E_k\displaystyle L_{f \otimes g}(s)=L_f(s)L_f(s-k+1). 注意到此式给出了又一种解析延拓L_f(s)的方式。
例2 L_{f \otimes f}(s)s=ks=k-1处有单极点,由此知Dirichlet级数\displaystyle D(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_f(n)^2 n^{-s}的所有可能极点中,s=k的实部最大。
另一方面,给定\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}c_nn^{-s}c_n\in \Bbb R_{+},我们有经典的
(Landau) 若该Dirichlet级数在某个半平面\Re{s}>l内绝对收敛,l_0=\inf \{l\} >-\infty,则级数在s=l_0处有奇点。
特别的,D(s)\Re{s}>k内绝对收敛。若将D(s)在绝对收敛区域内写成Euler积形式\displaystyle D(s)=\prod_p \frac{1}{(1-a_{p,1}p^{-s})\cdots(1-a_{p,m}p^{-s})},则|a_{p,i}|\leq p^k\forall p,i.
通过仔细分析这些a_{p,i},可以改进初等估计|\lambda_f(n)|=O(n^{k/2})
(Rankin) |\lambda_f(n)|=O(n^{k/2-1/5})

我们对模形式理论的讨论暂告一段落。从经典的观点看,Ramanujan \tau函数似乎与Weil猜想了无关联。Weil的确注意到Euler因子Q_p(T)=1-\tau(p)T+p^{11} T^2与局部\zeta函数的Euler因子Z_C(T)存在某种相似性,并提出或许可以通过研究(假想的)「Ramanujan簇」证明\tau函数满足的其他同余关系2。然而真正在两者之间建立起坚实的联系却是60年代后期的事情:此时l进上同调,l进表示,乃至由Eichler-志村等人肇始、以谷山-志村猜想的形式出现,又由Langlands极大推广的「动机L函数-自守L函数」对应等一系列思想都臻于成熟。
当我们的「第二主题」以表示论的形式再次响起时,读者将会较清楚地看到上述思想的互相关联。再往后就是乐曲的高潮:Deligne综合了所有这些发展,得到了一个伟大的「交互证明」,即借助(经Langlands推广后的)Rankin技巧证明了Weil猜想,又利用Weil猜想给出了Ramanujan-Petersson猜想的证明。


  1. 对于实解析的Maass形式也可以发展完全类似的理论,参见我们之前的讨论。这种情况下的Ramanujan-Petersson猜想仍是开问题。另一方面,可以利用表示论的观点对Hecke理论进行重述和推广,参见Bump, Automorphic Forms and Representations
  2. 参见他在1960年写给Serre的私人信件。Milne, The Riemann Hypothesis over Finite Fiels: From Weil to the Present Day收录了此信的影印件,并附有英文翻译。