月旦 X

For November, 2016

第10期月旦包括了一些新尝试，个人戏称为“Bohemian rhapsody”——读下去就会明白我所指为何。

2018年的Chern奖开始接受提名¹。个人认为综合各方面的情况，Yuri Manin会是一个很合适的人选。另一位贡献巨大，但尚未得到大奖认可的数学家是Goro Shimura（志村五郎）。华裔数学家中，萧荫堂的成就有目共睹。而且，比起上面两位，他工作的领域更接近陈省身先生以及上两届的获奖者：Nirenberg和Griffiths.

Tate  The Arithmetic of Elliptic Curves
这篇综述写于40多年前，当然已经「落伍」了。不过对于算术几何新手来说，还是相当好的入门——补充了《Weil猜想漫谈》中未涉及或者涉及但没有展开讨论的某些论题。

p进Hodge理论则是Weil猜想的「进阶」，也是近几年很热门的领域（Peter Scholze, etc.）之一。感兴趣的读者可以从下面的notes中找到某些motivation：
Youcis  Weil-Deligne representations and p-adic Hodge theory: motivation

参模问题的研究是现代代数几何最热门的领域之一。在这里我们可以看到特别美妙的「大综合」：辛/复几何，标准的代数几何，同调代数，乃至于表示论和理论物理。下面是一篇关于Donaldson-Thomas不变量的新综述，讨论了Joyce和Kontsevich-Soibelman的工作，特别是表示论对象——Hall代数和箭图表示 (quiver representation) ——在代数几何中的应用。
Bridgeland  Hall algebras and Donaldson-Thomas invariants

下面是我新近学到的一条定理，陈述简单，但非常有趣：
有限、交换、幂零、可解……这些性质将自动「传递」到所有子群上，统称为群的Markov性质。
(Adian-Rubin) 不存在算法可判定某个有限展示 (presentation) 是否具有某个特定的Markov性质。
Weinberger的Computers, Rigidity, and Moduli: The Large-Scale Fractal Geometry of Riemannian Moduli Space还从类似的角度讨论了几何群论和Riemann几何中的许多结果。这本有趣的小书在某种意义上体现了Gromov几何学派的真精神。
我很希望能有时间多学习一点数理逻辑、模型论、可计算性以及算法复杂度的理论。

我愿意顺带谈谈我自己长久以来的一个「幻想」。因为现阶段它仅仅代表了某些模糊的visions，我无法用精确的语言陈述它——那样它就会成为一个program——但我觉得不妨试着在这里elaborate it to a certain degree.
试着想象一下「所有数学命题」的范畴，「真的」和「假的」都包括在内，态射是命题间的逻辑推导关系。模去等价命题之后，我们得到一张无穷大的有向无环图(directed acyclic graph, DAG)。
直觉给出很多种「连通性」的定义（当然都是不严格的）。比如，我们可以说不存在「真分支」到假命题的「连通」（反之则不然），然而Gödel不完备性定理告诉我们，在「有限生成」的意义上我们无法二分地区分「真」和「假」，等等。
问题当然出在这张图太「大」了。现实一些，在认知科学和人工智能中，人们常用有向无环图(DAG)模型来处理知识表示的问题，区别仅仅在于用可观测的相关性取代了不可观测的因果性：引入概率将DAG做成一张Bayesian网络。通常来说，学习这个网络的结构是一个NP-困难问题(Chickering, 1996)。这似乎在暗示我们，「Leibniz之梦」（用所谓的characteristica universalis穷尽数学真理）不仅在理论上不可能，甚至在计算上也是不现实的，尤其是在的时候。
不过我有一个堪称persistent的vision：数学上时常出现的「曲径通幽」，即从意外的途径得到了某个命题的证明，这种情况事实上是不应该发生的。其原因，是「图」太大而人类的理智太小，因而我们总在局部迷失方向，无法高效地找到「连通路径」，或者错判了端点之间的「距离」。
将数学划分成子领域有时能帮助缓解这一问题：相当于将「图」分而治之。然而这种「算法」是很粗糙的。因此我提出以下问题：
（1）能否将已知的数学知识绘成一张（动态）DAG？如果直接以ZFC公理系统²作为根节点会使图显得太过巨大，我们也可以分层绘图：首先限制到子领域，并从子领域的基本结果出发绘图，再以领域作为节点绘图……然而领域间的联系（短路径）往往是最有趣的！当一个联系足够强的时候，我们应该考虑子领域图的「合并」。
(2) 这张图应该一视同仁地包括所有「确认为真」「确认为假」「未获证明」的节点。所谓证明，无非是一个寻根的过程，这只是探索「图」结构的一部分。许多「不严格的物理论证」，以及众多未确认的猜想，事实上也是对「图」结构的有益探索，我们不应该因为「无根」就抛弃这部分知识——将它们连通起来正是我们画图的目的！
(3) 「有趣的」数学知识构成一张特殊的（动态）图。对于这张特殊的图，我们应该不断更新其信息，并设计、更新探索图结构的高效「算法」，例如：
(3.1)「寻根」。在数学家看来，这可能是最重要的问题，但这绝不应该是唯一的问题。
(3.2) 建立「密度」概念并定义「中心节点」。
(3.3) 判定节点间的（单向）连通性。在连通的情况下寻找最短路径。这些工作应优先对「中心节点」进行。
(3.4) 通过最短距离进一步研究「图」的几何，即考虑其到Riemann流形的嵌入，从而形成「空间感」。
这些「算法」可以是概率的，乃至基于机械学习的，可以是分布式的，但必须是所有人可获取的。
绘制这张人类数学知识的图谱，是属于我的「Leibniz之梦」。

华裔「量子场论学家」徐一鸿³在微信公众号「赛先生」开设了新专栏，有兴趣的读者可以关注。

这个月读了李淼的《超弦史话》。写得比较乱，可能是因为对读者背景的设定有些高不成低不就，以致浅的地方不够直接了当，深的地方又根本没讲透 (Einstein曰：「Make everything as simple as possible, but not simpler.」)。不过也有个别有滋味的地方。

卢昌海兄的《引力波百年漫谈》终于更新到了第三章。熟悉卢兄的读者都知道，他更新专栏的速度一向不快，更有「写写停停」的毛病——例如最出名的《Riemann猜想漫谈》就曾中途停更了将近六年时间。
当然我也没有资格取笑卢兄就是了。下个月会重启（并完成）《Weil猜想漫谈》的连载，在此先谢过大家的宽容和耐心。

继Google和IBM之后，Microsoft也加大了对量子计算机的投入，包括从学术界挖走了4位顶尖学者。MS的量子计算机开发计划基于非交换任意子的拓扑学，算是一种相当非主流的途径。有数学背景的读者可能知道，1986年的Fields medal得主Michael Freedman在淡出纯数学界之后一直在MS进行这方面的研究。

「韩春雨事件」慢慢进入深水区，以我可怜的生物学知识，很难继续追踪各种技术细节了。因此我们点到为止：
11月28日，发表了韩春雨NgAgo实验论文的Nature Biotechnology发表了Toni Cathomen等人的通讯文章Failure to detect DNA-guided genome editing using Natronobacterium gregoryi Argonaute.
与此同时，Nature Biotechnology编辑部也决定担负起自己应尽的责任：让原作者对上述文章提出的担忧展开调查，并补充信息和证据来给原论文提供依据。调查预计在2017年1月底之前完成。届时，编辑部会向公众公布最新进展。

---

1.  Nominations should be sent to the Prize Committee Chair:  Caroline Series, email: chair@chern18.mathunion.org by 31st December 2016. Further details and nomination guidelines for this and the other IMU prizes can be found at http://www.mathunion.org/general/prizes/ ↩
2. 当然，我们不一定要选用集合论作基础。其他候选者包括范畴论或者最近很流行的同伦型理论。具体的选择应该以方便(3.1)中的「寻根」算法设计为准则。 ↩
3. 他本人认为这个头衔最为贴切。 ↩