数论问题的价值


我以为判断一个数学问题的价值大致有2种途径:一是看它是否有趣,一是看它是否重要。

所谓“有趣”,大多与一个命题出乎意料的程度有关。一般来说,一个表述简单却难以证明或证否的问题通常是有趣的。如果这个问题最终得到证明,事情就更加有趣了:从一片混沌中诞生出简单的图景,提示我们必然有某种值得深入研究的机理存在。此时这个问题开始变得“重要”了:围绕着它,数学家们构筑起理论,试图把他们在解决这个问题的过程中所获得的经验推广到更多的问题上。新的数学产生了。

一个问题的重要性取决于它在我们对现象的理解(即“理论”)中占据何种位置。挡在通衢大道上的石头是谁都想搬开的,躺在路边的石头则不会有多少人注意。当然,如果路边的石头固执地抗拒一切推开它的努力,它将以另一种方式变得“重要”:这种重要性由种种失败中所产生的新数学的多少来衡量。

数论是数学中最特别的分支:我们对整数惊人的无知,几乎所有数论问题都在某种程度上是“有趣”的——正是凭借这一点数论吸引了人类最优秀的头脑。另一方面,除了少数几个经典问题外,似乎很难先验地知道哪些问题在整体图景中是“重要”的:此时我们只能转而求助第2种重要性的定义,希望从中产生尽可能多的数学。

下面是一个粗糙的分类。我们仅给出每一类中最具代表性(往往也最有价值)的例子,并不代表所有同类问题都具有同等价值。横向上看,通常(1)(3)中的问题都是值得珍视的(在数论中并不多见),(2)(4)的价值次之,充斥整个数论的(5)则不那么重要:

(1)第一类问题包括Riemann猜想Langlands纲领。它们在2种意义上都是重要的:既处在现代数论的核心,又催生了大量“好的数学”,是整个现代数论前进的定向标。

未解决的Hilbert问题中,第9问题第12问题(Kronecker’s Jugendtraum)都可以归入此类。除了本身的理论价值外,它们还是类域论复乘理论和Langlands纲领的渊薮。

(2)另一类问题有理论上的重要性,却因为太难或者太偏而没有产生太多主流数学,或者必须借助(1)中的问题才能得到迂回的理解:例子包括Gauss的类数猜想Artin的原根猜想,等等。如果有人能以“正确的方式”理解它们,则此类问题可能提升为(1)中的问题。

(3)Fermat大定理本身并不重要,但它在第二种意义上极端重要:例如,它催生了Kummer的理想理论,从而建立了代数数论和代数几何的基础。Wiles的证明则增进了对Langlands纲领的理解,由此产生的系列数学工具也极具威力(参见Richard Taylor的工作)。

目前看来,比Fermat大定理更强的abc猜想应该也属于此类。望月新一最近的工作能否像Wiles的工作那样推动整个领域的进步,我们拭目以待。

(4)同样,Goldbach猜想孪生素数猜想本身也没有太大的重要性(尽管它们是“有趣”的典型例子)。人们因此发展了加性数论(华罗庚的“堆垒数论”)。经典工具(例如筛法)的应用范围狭窄,和Fermat大定理衍生出的数学相比,眼下处在边缘位置。这解释了为什么某些数学家轻视这方面的工作。当然,(4)中的问题也有可能提升到(3):例如,加性数论最近接受了来自遍历理论的新想法,似有重新回归主流的趋势(参见陶哲轩的工作),而后者又依赖于从到van der Waerden定理Szemerédi定理的提升。

Erdős是“趣味主义”的代言人,他提出的猜想大多属于(4)。概率数论(Erdős–Kac定理, etc.)和随机图(Erdős–Rényi模型, etc.)等工作是成功提升到(3)的例子,上面提到的陶哲轩的工作可能使Erdős猜想(若\sum 1/a_i发散,则整数序列\{a_i\}中包含任意长的算术级数)获得提升。Ramanujan在模函数方面的工作中,Ramanujan猜想已通过Weil猜想成功提升。古老的同余数问题并无重要性,但它通过与BSD猜想联系获得了重要性。另一个相对近代的例子是经由Vojta的工作,Roth定理成功融入了算术几何的理论框架。

(5)证否和反例不一定是不重要的(尤其在第二种意义上):例如,Littlewood证否了Gauss猜想\pi(n)<\mathrm{Li}(n),这增进了我们对\zeta函数的理解,值得划入(4)。在寻找Euler猜想反例的过程中,Elkies和Frye等人发现了椭圆曲线理论的一个意外应用,这有一定的算法价值 (更不要说类似的构造椭圆曲线的方法提供了从谷山-志村猜想推出Fermat大定理的途径)。

Guy的Unsolved Problems in Number Theory中收录的问题也不一定是不重要的。事实上,它们中相当大的一部分都有某种程度的重要性。我们已在(2)(4)中提到部分例子,尝鼎一脔,其余可知。

很遗憾,在我看来Guy, F26不属于上述两类,而属于最不重要(也最常见)的一类数论问题:既在整个理论中没有位置,也不太可能产生有意思的数学。反例并不巨大(这意味着问题并不是那么难),同时,由于找到反例的方式是完全初等的,其潜在的算法价值也相当有限——这还是在不考虑Fuller,Iraids等人已得到好得多的结果的情况下。

【注记】
本文写成之后,豆瓣上的魔术师同学提醒我Guy, F26和素数的Kolmogorov复杂度有关。这样看来,一个Littlewood式的证否原本可能将它提升到(4)。我同意他的看法:“这个解法把他降低到了(5)。……一个昭示如何构造反例,或者证明仅有穷多反例,或者无穷多反例才可算是好的回答。”

5 thoughts on “数论问题的价值

  1. h says:

    你知道的东西真多啊,膜拜一下……

    这里的讨论真少,豆瓣上山寨的人又太多了,哎~

  2. 张益唐的结果再次把孪生素数推到了科学前沿。我觉得这两个问题应该还是很重要的。费马大定理是已经看到了它衍生出来的新领域,新方法。但是哥德巴赫和孪生素数还没有看到这方面的结果,可能是因为解析数论的工具不够,需要开发新的工具来解决问题。

    • 代数解析之争不过是方法论的差异,是人类偏好的反应。张益唐的工作里用到了Deligne对Weil猜想的证明,或许可以作为一个例证,说明即使是在数论这么困难的领域里,最终也会形成一幅统一的图景。

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