Quantization as Deformation I


Very early in my study of physics, Weyl became one of my gods. I use the word “god” rather than, say, “outstanding teacher” for the ways of gods are mysterious, inscrutable, and beyond the comprehension of ordinary mortals.
——Schwinger

Weyl是研究量子物理与表示论联系的第一人。这个领域至今依然非常迷人：表示论、代数几何、复几何、弦论乃至数论都交织在一起。
Weyl  Quantenmechanik und Gruppentheorie

From Weyl Algebra to Heisenberg Lie Algebra
一般地，“量子化问题”可以陈述为：给定描述物理过程的经典模型(辛流形上的Hamilton系统，Riemann流形上的Lagrange系统，etc.)，将可观测量函数系统地替换为某个Hilbert空间上的算子，使其满足特定的量子化条件。
1926年，Heisenberg发现了位置算子和动量算子的如下对易关系(CCR)：
[P_i,Q_j]=-\sqrt{-1}\hbar\delta_{ij}，\hbar为约化Planck常数                   (1)
视(1)为量子化条件，Weyl研究了P和Q生成的算子环：对2k维线性空间V，(1)中Kronecker delta函数可以实现为V上的辛形式\omega，u \otimes v-v \otimes u=\omega(u,v)定义了V上的Weyl代数W(V)。在这个意义上，经典力学对应对称代数，而Weyl代数(物理文献中又称为CCR代数)是对称代数的“量子化”。
从Lie群的角度看，(1)又可以理解为某个Lie代数的结构方程：以辛形式定义Lie括号，在Weyl代数的生成元中加入单位元R（一维中心扩张）后生成的实Lie代数称为Heisenberg代数。其对应的幂零Lie群即著名的Heisenberg群H_{2k+1}。H_{2k+1}可以在\Bbb R^{2k} \times \Bbb R上实现为：
(v_1,t_1)+(v_2,t_2)=(v_1+v_2, t_1+t_2+\omega(v_1,v_2)/2)
Heisenberg群出现在数学的各个领域：从Abel簇的构造 (Mumford) 到3维流形的分类 (Thurston)。其与theta函数的天然联系指向数论、模形式和数学物理。

Unitary Representations of the Heisenberg Group
数学家的谨慎使Weyl不愿意处理P,Q这样的无界算子；另一方面，量子力学的物理诠释要求可观测量a对应自共轭算子A，于是过渡到Lie群层面后，e^{iA}为酉算子(至少在形式上)，这是特别令人满意的。
一般地，对于构型空间\Bbb R^k和算子P_i, Q_i，1 \leq i \leq k，引入参数a,b \in \Bbb R^k并定义
X(a)=e^{\sqrt{-1}aQ}，Y(b)=e^{\sqrt{-1}bP}，向量相乘理解为内积
由此可以将对易关系(1)写成指数形式(又称Weyl形式)：
\displaystyle X(a)Y(b)X(a)^{-1}Y(b)^{-1}=e^{-\sqrt{-1}\hbar ab}                                  (2)
此处的计算是形式的，可视为Baker–Campbell–Hausdorff公式的一个特例。
X(a), Y(b)是\Bbb R^k的酉表示。Weyl的创辟之处在于他坚持统一处理共轭量的表示：
\displaystyle W:(a,b) \mapsto e^{(\sqrt{-1}\hbar/2)ab}X(a)Y(b)
由于X和Y不可交换，W不是\Bbb R^{2k}的酉表示，却诱导一个射影酉表示：W满足W(a,b)W(a',b')=m(a,b:a',b')W(a+a',b+b')，Schur乘子\displaystyle m(a,b;a',b')=e^{(\sqrt{-1}\hbar/2)(ab'-ba')}在单位圆上取值。
物理上，这个射影酉表示非常令人满意：它对应量子力学中的波函数归一化。数学上我们有一个等价描述：定义Z(c)=e^{\sqrt{-1}cR}，c \in \Bbb R，并取
W:(a,b,c) \mapsto X(a)Y(b)Z(c)
此时W扩张为Heisenberg群H_{2k+1}的酉表示。乘子项m(a,b;a',b')得到了更好的解释：它对应H_{2k+1}的“挠部分”\omega(v_1,v_2)/2。

Three Models
尽管H_{2k+1}有非常简单的矩阵模型，它的酉表示却不可能是有限维的。下面是3个无穷维酉表示的例子。
模型1(theta表示) 给定上半平面的复数\tau，赋予整函数f:\Bbb C \to \Bbb C如下范数：
\displaystyle \parallel f \parallel^2_\tau=\int_{\Bbb C} e^{(-2\pi y^2/Im(\tau))}|f(x+\sqrt{-1}y)|^2 dxdy
满足\parallel f \parallel^2_\tau<\infty的整函数f构成Hilbert空间\mathcal{H}_\tau，H_3在\mathcal{H}_\tau上有不可约酉表示
\displaystyle (W_t(a,b,c)f)(z)=e^{\sqrt{-1}\pi(a^2\tau+2az+c)}f(z+a\tau+b)
特别地，H_3的Abel子群\Bbb Z^2作用于\mathcal{H}_\tau上有唯一的不变向量，即Jacobi theta函数。
模型2(Fock表示)视\Bbb R^{2k}=\Bbb C^k，赋予全纯函数f:\Bbb C^k \to \Bbb C如下范数：
\parallel f \parallel^2=\int_{\Bbb C^k} e^{-|z|^2}|f(z)|^2 dz
满足\parallel f \parallel^2<\infty的全纯函数f构成Segal-Bargmann空间\mathcal{H}.
将\partial_i和z_i诠释为阶梯算子1，我们有
\displaystyle Q_i=\frac{1}{\sqrt{2}}(\partial_i+z_i)，\displaystyle P_i=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}(-\partial_i+z_i)
自共轭算子P_i,Q_i给出Weyl代数W(\Bbb R^{2k})在\mathcal{H}上的不可约表示。
模型3(Weyl表示；Schrödinger模型) 取L^2(\Bbb R^k)为表示空间，H_{2k+1}有不可约酉表示
\displaystyle (W_s(a,b,c)\psi)(x)=e^{\sqrt{-1}(ax+\hbar c)}\psi(x+\hbar b)
这个表示被称为Schrödinger模型，由此可以获得量子力学的波动力学描述：例如，取R为Hamilton算子H，e^{\sqrt{-1}tH}\psi=W_s(0,0,t)\psi=e^{\sqrt{-1}\hbar t}\psi。相因子无关紧要，我们可以认为波函数在单参数酉群e^{\sqrt{-1}tH}的作用下不变(能量守恒)。取微分过渡到Lie代数层面，即得到Schrödinger方程。

Stone-von Neumann Theorem
Weyl提出了如下问题：是否Heisenberg群H_{2k+1}的任意不可约酉表示均酉等价于Schrödinger模型W_s？1930年前后，Stone和von Neumann各自独立地给出了肯定的回答——从而给出了矩阵力学等价于波动力学的又一个证明。
(Stone-von Neumann定理) H_{2k+1}的任意酉表示均酉等价于若干个W_s的直和。
von Neumann的原始证明可以在以下著作中找到
Folland Harmonic analysis in phase space
实Heisenberg群是局部紧Abel群\Bbb R^{2k}的中心扩张。Weyl提出可以将\Bbb R替换为有限群\Bbb Z_n，作为玩具模型来研究。另一方面，根据Lefschetz原理，也有理由将\Bbb R替换为其他局部域 (尤其是p-adic数域) 的加法群进行研究。这都要求我们推广局部紧Abel群上的调和分析。
具体来说，我们以局部紧Abel群G取代\Bbb R^{2k}，以2-闭上链取代辛形式\omega。中心扩张1 \to U(1) \to H \to G \to 1给出抽象Heisenberg群H。
从群上同调论的角度看，Schur乘子m(a,b;a',b')作为2-闭上链的结构是清楚的：
m(x+y;z)m(x;y)=m(x;y+z)m(y;z)
对于抽象Heisenberg群，Stone-von Neumann定理有一个深远的推广：Mackey理论。关于其主定理，一个细致且清晰的证明可以在下面这本书中找到：
Mumford  Tata Lecture on Theta III
当然也可以参看Mackey本人的著作，以及
Varadarajan  Geometry of quantum mechanics, Vol.2

Weyl Quantization
局部紧Abel群满足Pontryagin对偶。对于相空间\Bbb R^{2k}而言，这个对偶关系是(q,p) \mapsto (a,b).
经典物理量是(q,p)的函数。Weyl量子化，或者，Weyl变换，指的是(1)通过Fourier逆变换将经典物理量变为(a,b)的函数；(2)通过Weyl表示将(a,b)的函数变为算子(Q,P)的函数，也即Q_\hbar: f \mapsto W(F^{-1}f).
不难证明，(1)Q_\hbar(f)自共轭当且仅当f是实函数； (2) 若f为速降函数，则Q_\hbar(f)为迹类算子并有一个积分核表示。
对于一般的局部紧Abel群，我们也可以定义Weyl变换。p-adic数域的情况或许是最有趣的，不仅和数论紧密相关，而且有可能应用于物理上：某些数学物理学家(例如Volovich)怀疑Planck尺度下的时空是非Archimedes的。
Weyl变换的逆变换称为Wigner变换。这是一个非常有趣的变换：量子概念的经典“对应”常常有意料之外的物理意义。

Weyl-Moyal Algebra
1940年前后，Moyal对Weyl量子化进行了更深入的考察。和Weyl不同，他感兴趣的对象不是算子，而是经典函数空间：Weyl忽略了经典函数空间的Poisson结构，而这正是Moyal希望研究的。
定义Moyal积\cdot_\hbar为算子复合运算在Wigner变换下的拉回2：
Q_\hbar(f_1 \cdot_\hbar f_2)=Q_\hbar(f_1)Q_\hbar(f_2)
定义Moyal括号[f_1,f_2]_\hbar=f_1 \cdot_\hbar f_2-f_2 \cdot_\hbar f_1，我们有：
Q_\hbar([f_1,f_2]_\hbar)=[Q_\hbar(f_1),Q_\hbar(f_2)]
这在经典函数空间(不妨取成Schwartz空间)上定义了一个Poisson代数结构，我们称其为Moyal代数。
\hbar \mapsto 0时，Moyal代数趋于退化，这对应经典物理的假定：测量顺序不影响结果。一般地，我们希望研究Moyal代数对参数\hbar的依赖。
展开到一阶：
\displaystyle f_1 \cdot_\hbar f_2=f_1 f_2+\frac{\sqrt{-1}\hbar}{2}\{f_1,f_2\}+O(\hbar^2)
\displaystyle [f_1,f_2]_\hbar=\sqrt{-1}\hbar\{f_1,f_2\}+O(\hbar^2)
事实上，展开到二阶后，\displaystyle [f_1,f_2]_\hbar=\sqrt{-1}\hbar\{f_1,f_2\}+O(\hbar^3)3.

为了将Moyal代数的结构看得更加清楚，我们必须推广对Poisson括号的定义：取2组变元q^{(1)},p^{(1)},q^{(2)},p^{(2)}。定义S(\Bbb R^{2k} \times \Bbb R^{2k})上的微分算子\Pi=\Sigma(\frac{\partial}{\partial q_j^{(1)}} \otimes \frac{\partial}{\partial p_j^{(2)}}-\frac{\partial}{\partial p_j^{(1)}} \otimes \frac{\partial}{\partial q_j^{(2)}})，定义S(\Bbb R^{2k} \times \Bbb R^{2k}) \to S(\Bbb R^{2k})的对角算子D(f)(q,p)=f(q,p,q,p)，Poission括号相当于这两个算子的复合：
\{f_1,f_2\}=D \circ \Pi(f_1 \otimes f_2)=P(f_1 \otimes f_2)
由此我们可以定义Poisson括号的“幂”：P^N(f_1,f_2)=D \circ \Pi^N(f_1 \otimes f_2)
于是形式上我们有
\displaystyle f_1 \cdot_\hbar f_2=e^{(\sqrt{-1}\hbar/2)P}(f_1,f_2)
\displaystyle [f_1,f_2]_\hbar=\frac{2}{\hbar}\sin(\frac{\hbar}{2}P)(f_1,f_2)
这就是Moyal括号又被称为“正弦括号”的原因。

Deformation Quantization
通过上述对Moyal代数的考察，我们发现以\hbar为形变参数，量子代数可以视为经典代数的形变。这个观点由Flato等人首次提出。特别地，他们证明了对于S(\Bbb R^{2k})上的经典Poisson代数结构，Moyal代数在规范等价的意义上是唯一可能的形变——也就是说，量子力学是经典力学唯一可能的“形变”。
一般地，令A为某光滑流形X上所有光滑函数的代数。A上的Moyal积定义为
(f,g) \mapsto f \star g=fg+\hbar C_1(f,g)+\hbar^2 C_2(f,g)+\cdots \in A[[\hbar]]
此处\hbar为形式变元，C_i为双微分算子。
为了进行形变，我们要求Moyal积不仅仅是一个形式的渐进展开，而是一个真正的解析展开。这一点并没有先验的保证。
由Darboux定理，辛流形上的局部Poisson代数结构总能形变为Moyal代数。我们只需在装备一个平坦的辛联络之后，将这个局部形变扩张到整个流形上。对于一般的Poisson流形，情况要复杂得多。此时Kontsevich量子化公式给出一个Moyal积的形式定义（这是Kontsevich获得1998年Fields奖的原因之一），但尚不清楚它是否在规范等价的意义上给出唯一可能的形变量子化。
Kontsevich  Deformation quantization of Poisson manifolds
物理学家将Kontsevich量子化公式及作为其推广的形式化猜想(formality conjecture)理解为某种扰动弦论。尽管这个想法在物理上非常自然，但和“量子数学”中的诸多结果一样，我们要面临在数学上严格处理Feynman路径积分的困难。
Cattaneo, Felder  A path integral approach to the Kontsevich quantization formula

  1. 这个数学模型在量子场论中有着全然不同的物理意义：\partial_i和z_i被称为消灭和创生算子，Hamilton算子的特征分解给出Fock空间\mathcal{H}的分次结构，量子数代表粒子数。这是Fock表示命名的由来。 ↩
  2. Moyal积的定义首次出现于Groenewold的博士论文中：
    Groenewold  On the Principles of elementary quantum mechanics ↩
  3. Dirac提出的正则量子化 (更确切地，对应于单粒子的一次量子化，或者，辛流形的几何量子化)以Poisson括号描述非交换性，上式指出这只在二阶近似的意义上成立。历史上人们很早就发现作为量子论的半经典近似，正则量子化会导致不可避免的内在矛盾。例如，Groenewold-van Hove不可行定理(no-go theorem)指出对于次数大于2的多项式f(x_1,x_2)，一个自洽的正则量子化是不可能的。 ↩

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