球面平行化与可除代数

指标定理的推论中，最为简单却极其有用的是某些示性数的整性(或整除性)。例如，我们之前讨论过Pontryagin示性数的整除性在区分球面微分结构这一问题上的应用。类似的想法可以用来解决球面平行化这个经典的问题。突破是由Bott, Milnor(同时由Kervaire独立地)取得的。

Bott, Milnor On the parallelizability of spheres

称 $S^{n-1}$ 是可平行化的，若 $S^{n-1}$ 的切丛平凡，或等价的，存在 $n-1$ 个切向量场在每一点处均线性无关。它与如下命题等价： $\mathbb{R}^n$ 可赋予可除代数结构。事涉推广复数、四元数和八元数的可能性，这在数学中有头等的重要性。第3种等价的陈述是 $S^{n-1}$ 是H空间，乘法由(1) $(x,y) \mapsto xy/|xy|$ 或(2) $(x,y) \mapsto R_x(y)$ ( $R_x \in \mathrm{SO}(n)$ 将 $S^{n-1} \in R^n$ 的标准正交基映为 $x,v_1(x),\cdots,v_{n-1}(x)$ )定义。

$S^1$ 显然可以平行化。作为 $\mathrm{SU}(2)$ (单位四元数乘法群)， $S^3$ 是H空间。类似的，单位八元数的乘法给予 $S^7$ 一个H空间结构。另一方面，Poincaré-Hopf指出 $S^{2n}$ 均不可平行化。

(Bott, Milnor) $S^{n-1}$ 可平行化当且仅当 $n-1=1,3,7$ 。

这个结果同时说明经典Hurwitz定理中的赋范条件是多余的，时常作为体现代数拓扑学威力的一大例证被援引。

证明分为2部分。首先是Bott整性定理： $S^{4k}$ 上(实)向量丛的Pontryagin数 $P_{k}$ 总能被 $(2k-1)!$ 整除，或者， $S^{2k}$ 上(复)向量丛的Chern数 $C_{k}$ 总能被 $(k-1)!$ 整除。Bott的原始证明基于Bott酉周期性。我们可以做的更自然些：由于 $\tilde{K}(S^{2n})$ 的结构是清楚的(由 $H-1$ 生成)，而Chern特征又是K环到同调环的同态，Bott整性定理可由Chern类与Chern特征的代数关系(Newton恒等式)推出。例如，可参见Mathew的博文Bott periodicity and integrality theorems。

Wu公式描述了Pontragin类与Stiefel-Whitney类之间的关系。特别地，对 $S^{4k}$ 上的丛， $W_{4k}=0$ 当且仅当 $P_k$ 被4整除，故Bott整性定理保证 $k \geq 3$ 时 $W_{4k}=0$ 。另一方面，吴文俊证明了 $S^n$ 上存在向量丛使得 $W_n \neq 0$ 的必要条件是 $n$ 是2的幂。综上Milnor确定了所有满足条件的 $n$ ： $n=1,2,4,8$ 。

回到球面平行化的问题。定义 $S^{n-1}$ 上的函数 $x \mapsto (x,v_1(x),\cdots,v_{n-1}(x))$ ，后者作为 $n$ -标架可与 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 等同。作为拼接函数(clutching function)，对应的 $S^n$ 上的向量丛满足 $W_n \neq 0$ ，从而Milnor的上述结果也给出了球面平行化问题的解答。