球面平行化与可除代数


指标定理的推论中,最为简单却极其有用的是某些示性数的整性(或整除性)。例如,我们之前讨论过Pontryagin示性数的整除性区分球面微分结构这一问题上的应用。类似的想法可以用来解决球面平行化这个经典的问题。突破是由Bott, Milnor(同时由Kervaire独立地)取得的。

Bott, Milnor  On the parallelizability of spheres

S^{n-1}可平行化的,若S^{n-1}的切丛平凡,或等价的,存在n-1个切向量场在每一点处均线性无关。它与如下命题等价:\mathbb{R}^n可赋予可除代数结构。事涉推广复数、四元数八元数的可能性,这在数学中有头等的重要性。第3种等价的陈述是S^{n-1}H空间,乘法由(1)(x,y) \mapsto xy/|xy|或(2)(x,y) \mapsto R_x(y)(R_x \in \mathrm{SO}(n)S^{n-1} \in R^n的标准正交基映为x,v_1(x),\cdots,v_{n-1}(x))定义。

S^1显然可以平行化。作为\mathrm{SU}(2)(单位四元数乘法群),S^3是H空间。类似的,单位八元数的乘法给予S^7一个H空间结构。另一方面,Poincaré-Hopf指出S^{2n}均不可平行化。

(Bott, Milnor) S^{n-1}可平行化当且仅当n-1=1,3,7

这个结果同时说明经典Hurwitz定理中的赋范条件是多余的,时常作为体现代数拓扑学威力的一大例证被援引。

证明分为2部分。首先是Bott整性定理:S^{4k}上(实)向量丛的Pontryagin数P_{k}总能被(2k-1)!整除,或者,S^{2k}上(复)向量丛的Chern数C_{k}总能被(k-1)!整除。Bott的原始证明基于Bott酉周期性。我们可以做的更自然些:由于\tilde{K}(S^{2n})的结构是清楚的(由H-1生成),而Chern特征又是K环到同调环的同态,Bott整性定理可由Chern类与Chern特征的代数关系(Newton恒等式)推出。例如,可参见Mathew的博文Bott periodicity and integrality theorems

Wu公式描述了Pontragin类与Stiefel-Whitney类之间的关系。特别地,对S^{4k}上的丛,W_{4k}=0当且仅当P_k被4整除,故Bott整性定理保证k \geq 3W_{4k}=0。另一方面,吴文俊证明了S^n上存在向量丛使得W_n \neq 0的必要条件是n是2的幂。综上Milnor确定了所有满足条件的nn=1,2,4,8

回到球面平行化的问题。定义S^{n-1}上的函数x \mapsto (x,v_1(x),\cdots,v_{n-1}(x)),后者作为n-标架可与\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})等同。作为拼接函数(clutching function),对应的S^n上的向量丛满足W_n \neq 0,从而Milnor的上述结果也给出了球面平行化问题的解答。

Mathew的博文利用Bott整性定理讨论了另一个有独立趣味的命题:

(吴文俊; Borel, Serre) S^n允许一个殆复结构当且仅当n=2,6

对当前的讨论而言,这个命题的兴趣在于:Kirchhoff证明了若S^n允许一个殆复结构,则S^{n+1}可平行化,因而上述结果事实上也可由Bott-Milnor定理推出。

最后我们提到,“S^6上是否有复结构”是一个经典难题。2016年,年逾87岁的Atiyah解决了这个问题,答案是“没有”。他所利用的工具与Bott周期性紧密相关:拓扑K理论和指标定理。

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