Weil猜想漫谈 IX:转铅笔


我们开始讨论著名的[Deligne, 1974]:
Deligne  La conjecture de Weil: I
这可以视为漫谈的分水岭。之前的章节所涉及的数学或多或少是经典的。从本章开始,我们将自由地引用各种现代的观点和结果。

标准猜想太难了。毕竟,即使限制到\Bbb C上,由于存在Hodge猜想这个巨大的阻碍,我们同样无法得到一般性的结果。Deligne的目标要现实得多:继续Grothendieck未竟的工作,将\Bbb C上已成熟的理论——即Lefschetz理论和Hodge理论——「移植」到一般域上。在Hodge理论方面,他的贡献是Hodge结构的一般理论1,以及混合Hodge结构的概念。另一方面,Lefschetz的所有拓扑结果几乎都源于对「铅笔」的研究,在证明强Lefschetz定理之前,似乎更应该将「铅笔」理论代数化:这是Deligne,Katz等人在SGA 7中处理的课题。

本章将处理复射影簇上的经典Picard-Lefschetz理论。请读者始终牢记:应该将这个理论视为Morse理论的全纯类比2

(A)
给定复代数流形X和全纯线丛L(等价的,除子类[D]\in Z^1_r(X)),以|L|L的截面空间的射影化P(H^0(X,L))|L|称为D的完整线性系统。1维子系统P^1 \subset |L|称为铅笔。
我们感兴趣的是射影簇X^d \subset P^NL是某丰富线丛(等价的,超平面除子类[W])。此时P^1 \subset (P^N)^{*}t\in P^1对应某个有理等价于W的有效除子X_t=H_t \cap X(作为L的某个截面的零点集),H_t=\alpha H_0+\beta H_\inftyt=\alpha/\beta.
假定以下「一般性」(generic) 条件成立:铅笔的轴A=\bigcap H_tX横截相交,或者等价的,铅笔的底零点集 (base locus)B=\bigcap X_t=A \cap XX中余维数2的光滑子簇。此时沿着B爆破射影簇X,我们得到双有理等价于X\tilde{X},容许纤维化\phi: \tilde{X} \to P^1\phi^{-1}(t)=X_tt \in P^1.
P^1 \subset |L|为Lefschetz铅笔,如果几乎所有X_t都是光滑的,奇异的X_t仅包含一个普通双重点作为奇点。对应的纤维化\phi称为Lefschetz纤维化:这就是我们要寻找的「全纯Morse函数」,是「一般性」的纤维化。

(B)
假定Lefschetz纤维化\phi有临界值集S=\{s_1,\cdots,s_M\}\infty \notin S. 在每个临界点附近使用全纯Morse引理将奇点标准化,不难证明:
t \in U=P^1/S\tilde{X}-X_\infty同伦等价于X_t粘贴上MB^d,粘贴的边界S^{d-1}称为消没球面,其在H^{d-1}(X_t,\Bbb Z)中的上同调类称为消没闭链。
过渡到上同调,嵌入j:X_t \to \tilde{X}-X_\infty诱导的同态j^{*}:H^i(\tilde{X}-X_\infty,\Bbb Z) \to H^i(X_t,\Bbb Z)i \leq d-2时是同构,在i=d-1时是单同态,余核由消没闭链生成。

(C)
让我们考虑这种情况下的单值群表示问题。可以从3个不同的角度理解这个对象3
(1) 拓扑:局部系统,即U上的局部常数束\mathcal{E}
(2) 表示论:\pi_1(U,t)-模\mathcal{E}_tt\in U
(3) 微分几何:装备有平坦联络的向量丛E
观点(2)和(3)的等价即著名的Riemann-Hilbert对应
例如,给定Lefschetz纤维化\phi高阶直接象R^i\phi_{*}\Bbb Q在局部是\Bbb Q-向量空间的常数束,\mathcal{E}_t=(R^i\phi_{*}\Bbb Q)_t=H^i(X_t,\Bbb Q)\pi_1(U,t)仅在H^{d-1}(X_t,\Bbb Q)上有非平凡的表示。取\alpha \in H^{d-1}(X_t,\Bbb Q),这个单值群表示可以写成:
(Picard-Lefschetz公式) T_k(\alpha)=\alpha + \epsilon_d (\alpha,\beta_k)\beta_k,生成元T_k \in \pi_1(U,t)对应临界点s_k \in S\beta_ks_k对应的消没闭链,\epsilon_d=\pm 1取决于d.
由此可以证明非常重要的:
(不可约定理) \pi_1(U,t)在消没闭链生成的子空间上的表示作用是不可约的。
d-1为奇数时,相交形式(\cdot,\cdot)是斜对称形式。由Picard-Lefschetz公式,\pi_1(U,t)的作用保持相交形式不变,因而是辛表示。
(Kazhdan-Margulis) \pi_1(U,t)的象在辛群Sp(H^{d-1}(X_t,\Bbb Q))中Zariski-稠密4
上述两条定理对单值群表示施加了很强的限制。

(D)
最后,Lefschetz纤维化\phi: \tilde{X} \to P^1允许我们用Leray谱序列计算H^i(\tilde{X},\Bbb Q)5:此时谱序列在E_2^{p,q}=H^p(P^1,R^q\phi_{*}\Bbb Q)处退化,且当q>2时,E_2^{p,q}=0,因而只需考虑H^2(P^1,R^{i-2}\phi_{*}\Bbb Q)H^1(P^1,R^{i-1}\phi_{*}\Bbb Q)H^0(P^1,R^i\phi_{*}\Bbb Q)这三项就可以了。

接下来,我们将回过头,对束上同调论作一个「反刍」,再考虑Deligne, etc.对Picard-Lefschetz理论的代数化。


  1. 我们仅提及最初的一步:Hodge滤过似乎是比Hodge分解更「基本」的概念。前者不但在Griffiths的形变理论中表现得更好,也和谱序列的语言(具体地说,Frölicher谱序列)结合得更好,从而允许到一般域的推广。这是代数Hodge理论的起点。 
  2. Donaldson提出可以在辛几何中考虑Picard-Lefschetz理论的类比,这个思路允许Paul Seidel具体计算许多Fukaya范畴的例子——在某种程度上,这不并让人意外,因为Floer同调本就应该理解为圈空间上的Morse同调。我喜欢用这样的图景来叙述:复几何和辛几何是同一棵树上(镜像对称)的不同分支,伪全纯曲线和Picard-Lefschetz理论生长在比Floer同调和Fukaya范畴更加靠近根部的地方。 
  3. 当前,这是一个炙手可热的领域。关键词包括但不限于:几何Langlands纲领,Higgs丛,Hitchin纤维化,基本引理,等等。跟Weil猜想联系更紧密的是特征p的情况,即Drinfeld和L.Lafforgue的工作。 
  4. 在单值/Galois表示中,这是一个常见现象:几何起源的单值群/Galois群通常会有「最大可能」(as large as possible) 的表示。 
  5. 事实上,这是Leray发明谱序列的初衷。 

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