Weil猜想漫谈 VII：插曲

本章是漫谈的「插曲」——提及的所有结果都和Weil猜想的证明（或者更严格地说，Deligne I 中给出的证明）没有直接关联。然而如果我们把视野放宽，那么，在Weil猜想得到证明后，继续研究与代数闭链相关的种种猜想已成为现代代数几何理论的主旋律之一。

首先引入我们要讨论的对象：给定 $d$ 维光滑射影簇 $X$ ，代数闭链指的是形如 $\sum n_iX_i$ 的形式和， $X_i \subset X$ 是代数子簇¹， $n_i \in \Bbb Z$ . 我们可以考虑代数闭链所组成的环 $Z(X)$ ，按余维数引入的分次结构 $\displaystyle Z(X)=\oplus_{i=1}^{d} Z^i(X)$ 与相交积相容。视情况，我们也会考虑按维数引入的分次结构 $\displaystyle Z(X)=\oplus_{i=0}^{d-1} Z_i(X)$ .
熟知在 $Z^i(X)$ 上可以引入有理等价、代数等价、同调等价和数值等价这4种经典的等价关系，相应的等价类与 $\Bbb Q$ 作张量积后记为 $A^i_r(X)$ ， $A^i_a(X)$ ， $A^i_h(X)$ 和 $A^i_n(X)$ . 在之前的讨论中，我们已经见过 $A^i_r(X)$ （整系数的有理等价类 $Z^i_r(X)=CH^i(X)$ 通常称为Chow环²）和 $A^i_h(X)$ .

在代数几何所感兴趣的等价关系中，有理等价是最精细的一种。 $Z^1(X)$ （Weil除子）模去有理等价（线性等价）关系给出我们熟悉的除子类群/Picard群。更一般地，Chern特征给出Grothendieck同构 $\displaystyle \otimes_i A^i_r(X)=K_0(X) \otimes \Bbb Q$ ，这将Chow环与代数K-理论联系起来。
$Z^1(X)$ 模去代数等价关系给出（有限生成的）Néron–Severi群，这也是经典的内容。特别地，代数等价严格弱于有理等价：在代数闭域上， $\sum n_ix_i \in Z_0(X)$ 代数等价于0当且仅当 $\sum n_i=0$ 。
另一方面，在 $Z^1(X)$ 上，代数等价、同调等价和数值等价是重合的 (Matsusaka)，这个结论给人以强烈的暗示：「经典等价关系」是否在本质上只有2类呢？Griffiths找出了反例： $\Bbb C P^4$ 中的一般五次曲面，此时同调等价严格弱于代数等价。因此也就有了Griffiths群的概念：它衡量同调等价和代数等价的差距。
最后，我们依然不知道同调等价和数值等价是否总是重合。假定Lefschetz型标准猜想，不难推出对于任意给定的Weil上同调论，同调等价都和数值等价重合（有时称为标准猜想D），进而推出同调等价关系和所采用的同调论无关³！在Grothendieck的设想中，这将是构造「万有上同调论」的关键步骤，可惜现在还没有人知道该如何迈出这一步⁴。

以下我们还将陈述几个代数几何 / 算术几何中的重要猜想。基本的精神是：代数闭链的特定等价类可以用Hodge结构来描述。

首先是标准猜想。简单地说，3个Lefschetz型标准猜想可以叙述为：给定任意一种Weil上同调论，光滑射影簇上的代数闭链的同调等价类都应该表现得和在复射影簇上一样。尴尬的是，我们甚至无法完全描述复射影簇的情形。
(Hodge猜想) 在光滑复射影簇 $X$ 上，闭链映射 $\mathrm{cl}_X$ 给出 $A_h^i(X)$ 到 $H^{2i}(X,\Bbb Q) \cap H^{i,i}(X)$ 的同构。
这推广了 $i=1$ 的情况，即Lefschetz $(1,1)$ -类定理⁵。
作为七大千禧难题之一，Hodge猜想的官方叙述由Deligne给出。2000年之后的一个进展是Voisin证否了Hodge猜想在紧Kähler流形上的类比，这表明紧Kähler流形与代数流形的差别要比此前认识到的还要微妙。
完全类似的，考虑 $k$ 上的光滑射影簇 $X$ ， $k$ 为代数数域或有限域。选取在 $k$ 中可逆的素数 $l$ ， $l$ -进上同调群 $H^{2i}(X_{et},\Bbb Q_l)$ 在绝对Galois群 $\mathrm{Gal}(\bar{k}/k)$ 作用下的不变向量构成子空间 $H^{2i}_G(X_{et},\Bbb Q_l)$ 。我们有：
(Tate猜想) 闭链映射 $\mathrm{cl}_X$ 给出 $A_h^i(X) \otimes \Bbb Q_l$ 到 $H^{2i}_G(X_{et},\Bbb Q_l)$ 的同构。
显然，Hodge猜想/Tate猜想比Lefschetz型标准猜想更强（或者说更精确）。此外已知的结论大致如下： $\Bbb C$ 上的Lefschetz型标准猜想可以反过来推出Abel簇上的Hodge猜想，从而推出Abel簇上的Hodge型标准猜想。有限域上的Tate猜想（加上作为推论的猜想D）可以推出有限域上的Hodge型标准猜想。
猜想是数学中最迷人的部分。对算术几何感兴趣的读者不妨从阅读下面这本书开始：
Hulsbergen Conjectures in Arithmetic Geometry

另一本想推荐的书是Bloch, Lectures on Algebraic Cycles. 这是后续许多发展的源头（在Voison, Vol.2中详细介绍了和复几何相关的部分）。本章引入的概念太少，我们只能努力尝鼎于一脔，考虑经典的Abel-Jacobi定理的一种推广（却期望——但愿不是奢望——读者能够食髓知味，瞥见Chow环与Hodge结构的微妙关系！）
上面我们提及过，在复代数簇 $X$ 上， $Z_0^a(X) \cong \Bbb Z$ . Chow环 $CH_0(X)$ 通常要大得多：在复曲线 $C$ 上，Abel-Jacobi定理断言曲线的Jacobi簇 $CH_0(X)/Z_0^a(C)$ （点链的有理等价类，要求度数为0）同构于Albanese簇 $Alb(C)=\Gamma(C,\Omega^1)^{*}/H_1(C,\Bbb Z)$ . 一般的，在复代数簇 $X$ 上，我们有Albanese映射 $\alpha: CH_0(X) \to Alb(X)$ ，Rojtman定理指出Albanese映射限制到双方的有限子群上是同构。但这一同构通常无法提升到单位元所在的连通分支上：
(Mumford) 考虑复代数曲面 $S$ ，若 $S$ 的几何亏格 $h^{2,0}=\dim H^0(S,\Omega^2) \neq 0$ ，则 $\ker(\alpha) \subset CH_0(S)$ 在「无法用有限对象表出」的意义上是「大」的。
(Bloch猜想) 若复代数曲面 $S$ 满足 $h^{2,0}=0$ ，则Albanese映射 $\alpha$ 可以提升为单位元所在的连通分支的群同构。
Bloch猜想允许一个深远的推广，即所谓的Bloch-Beilinson猜想：在 $A^i_r(X)$ 上存在一个滤过结构，其伴随分次代数的消没情况为 $X$ 的上同调群所控制。更一般的，给定对应 $\Gamma \subset X \times Y$ ，伴随分次代数间的态射消没情况为Hodge结构间的态射情况所控制。这可以视为高维的Abel-Jacobi定理。和Hodge猜想类似，当前我们处于相当尴尬的境地：甚至连Bloch猜想这样「简单」的特例也仍未得到证明！
Jansen Motivic Sheaves and Filtrations on Chow Groups

最后，我们想顺带提及，在非光滑的情形，上述所有猜想都可以用混合Hodge结构，Fulton-MacPherson相交同调论，反常束和D模理论等工具重构。这已超出了漫谈的范围。Maybe elsewhere? (Well, no promise!)
下一章我们会回到Weil猜想，开始讨论Deligne I中给出的证明。

我们假定这些子簇都是光滑的：在特征0的情况，可以直接「粗暴地」使用Hironaka奇点消解定理。 ↩
几何学中有3个最重要的概念以华人命名：Chern类，Chow环和Calabi-Yau流形。 ↩
有一个绕过Weil上同调论，纯粹用闭链陈述的方法，即考虑Voevodsky定义的粉碎-幂零等价 (smash-nilpotence equivalence) 。这是一种强于同调等价的等价关系，然而我们猜想它依然和数值等价重合。 ↩
同样是Voevodsky找到了绕开这一点的方法。尽管没有完全遵循Grothendieck设想的方案，但他构造的母题上同调论已足以用于证明Milnor猜想乃至更一般的Bloch-Kato猜想（现在称为范数剩余同构定理）。 ↩
在 $i \geq 2$ 时，无法保证 $Z_h^i(X)$ 同构于 $H^{2i}(X,\Bbb Z) \cap H^{i,i}(X)$ ：Atiyah-Hirzebruch给出了反例。 ↩