On Arrow’s theorem


我无法理解经济学。

理论上,你需要做的只是将现实抽象成公式,丢进Poincaré 的法国香肠制造机,任由数学家们胡搅一气,坐等成品出炉后再喂给现实中的狗——简直像物理学一样明晰。
可悲的是你永远无法统一经济学家眼中的现实 (仿佛一经经济学家观测,“现实”本身都发生了扭曲——光荣归于不确定性原理!),永远无法迫使他们就模型的遴选达成一致 (如果现实的复杂度可以轻易压垮任何模型,那么比较将是不可能的),更无法阻止他们对纯数学结果给出各种天花乱坠的曲解并美其名曰:“诠释”。

我认为经济学是不可理解的。
然而经济学定理仍然有其单纯的一面——只涉及数学的那一面。

The Voting Paradox
给定n元集合A(选择),令L/L^{*}A上的所有可能的全序关系/严格全序关系。今后我们用x,y,z,\cdotsA中的不同元素。
对于I=\{1,2,\cdots,N\}(社会),F:L^N \to L^{*}\vec{R}=(R_1,R_2,\cdots,R_N) \mapsto R称为社会福利函数。寻找F即寻找一种能将个人偏好统一为集体偏好的方法。
n=2时,多数决给出一个构造R的方法:x > y (R)当且仅当\#\{i: x > y (R_i)\} > \#\{i: x < y (R_i)\}
n \geq 3时,我们有所谓的

(Condorcet悖论) 令x > y > z(R_1)z > x > y(R_2)y > z > x(R_3),此时R的任何取值都将违背多数决原则。

“悖论”这个听上去颇可怕的词并不意味着“行使多数决时我们将不可避免地陷入矛盾”——因为现实生活中的绝大多数投票过程要么不涉及排序,要么允许以加权的形式表达偏好。经济学家认为这两种方案同样不可接受。他们为自己塑造了一尊名叫utility的金牛犊 (我不知道该怎么翻译:你可以谈论“效用”的边际效应,但不能说J.Bentham信奉“效用主义1),并就其神学意义展开了无休止的争论。当代大部分经济学家相信,理性人(另一个暧昧的概念!)眼中的utility是一个全序关系。
经济学家热衷于讨论没有确定意义乃至于根本不存在的东西。让他们继续讨论下去吧。

Who Dominate?
Condorcet悖论的核心是社会权力分配。现在我们将“权力”这个概念抽象化。
J \subset I对有序对(x,y)拥有决定权(decisive),若对所有满足x>y(R_i)\forall i \in J\vec{R}x>y(R)
J同时对(x,y)(y,x)拥有决定权,则称Jx?y(R)构成统治(dominant)。
J只包含一个元素j,寡头统治退化为独裁(dictatorial)。
任何有意义的社会福利函数都应该采纳所有成员“一致通过”的结论。我们要求:
(Ⅰ)I对任意x?y(R)构成统治;
就政治而言,(Ⅰ)代表集体意志的执行;就经济而言,(Ⅰ)给出一个Pareto优化:以x取代y后,所有人都更加满意。

Independence of Irrelevant Alternatives
n \geq 3时,另一条限制似乎也是自然的:
(Ⅱ)对任意有序对(x,y)x?y(R)仅由x?y(\vec{R})决定;
这通常被称为对无关选择的非依赖性(independence of irrelevant alternatives, IIA)。
与之相对应的,我们引入一个稍弱于决定权的概念:
J对有序对(x,y)拥有准决定权(almost decisive),若对所有同时满足(1)x>y(R_i)\forall i \in J;(2)y>x(R_i)\forall i \not \in J\vec{R}x>y(R)
乍看上去温良无害的(Ⅱ)实际上是一条极强的限制:假定n \geq 3F满足(Ⅰ)(Ⅱ),我们有
(引理1) 若J(x,y)拥有准决定权,则\forall zJ(x,z)拥有决定权。
证明:令
(3)x>y>z(R_j)i \in J
(4)y>x, y>z(R_i)i \not \in J
由假设知x>y(R),由(Ⅰ)知y>z(R),因此x>z(R)。(4)对x?z(R_i)i \not \in J没有任何限制,故由(Ⅱ)知J(x,z)拥有决定权。
同理我们有
(引理2) 若J(x,y)拥有准决定权,则\forall zJ(z,y)拥有决定权。
反复应用上述2条引理,我们得到
(引理3) 若J(x,y)拥有准决定权,则Jx?y(R)y?z(R)z?x(R)构成统治。
(引理4)若J(x,y)拥有准决定权,则J对任意u?v(R)构成统治。

The Voting Paradox Revisited
多数决要求F在满足(Ⅰ)(Ⅱ)的同时保证I的子集拥有准决定权当且仅当其充分大,Condorcet悖论指出在n \geq 3时这是不可能做到的。事实上我们有
(广义Condorcet悖论,Baby Arrow) 若n \geq 3F满足(Ⅰ)(Ⅱ),则存在j \in I对某个有序对(x,y)拥有准决定权。
证明:显然拥有准决定权的集合是存在的:例如I。有此性质的集合中,有一个包含的元素最少,记为J。若J不是单元素集,则J可拆分为2个非空集合J_1J_2的不交并。取有序对(x,y)之外的z,并令
x > y > z(R_i)i \in J_1
z > x > y(R_i)i \in J_2
y > z > x(R_i)i \not \in J
因为J(x,y)拥有准决定权,x>y(R)。由于J是此类集合中最小的,子集J_1不可能对(x,z)拥有准决定权,因此x \leq z(R)。同理y \geq z(R),矛盾。

Arrow’s Theorem
将引理4和Baby Arrow相结合,我们得到一个出乎意料的结果:
(Arrow一般可能性定理) 若n \geq 3F满足(Ⅰ)(Ⅱ),则存在j \in I对所有u?v(R)构成统治(独裁)。
换言之,此时F必为投影:R=F(R_1,R_2,\cdots,R_N)=R_j(R是一个严格全序关系,R=R_j仅在“遗忘”掉R_j中所有“=”的意义下成立)。
我们该怎么诠释这条定理呢?“所有投票都是不公平的”?理性和民主注定无法相容?如果我们高擎理性主义的大旗,那么哲人王将会是历史的唯一解药?又或者一切都指向虚无,在现实的废墟上既不存在所谓理性,也不存在所谓民主,Arrow定理和“真空中的球形鸡”无异2?形形色色的诠释者中,太多人既不懂数学,也不懂经济。站在Arrow立下的磐石上,他们翩然高蹈,自我陶醉地飞向了形而上学的领域。

几乎所有避开Arrow定理的方法都已经被尝试过了。放弃全序关系的模型,限制F的定义域,将n固定为2,令N \to \infty,放宽(Ⅰ)(Ⅱ),乃至迫使个体修正其偏好……究竟哪一种方法更好地描述了现实呢?在所有人自说自话的喧嚣中,我深深地怀疑even god does not know and time will never tell3.

A Loose End

Arrow定理是一系列一般可能性定理中的头一个。我们还可以举出Gibbard–Satterthwaite 定理Duggan–Schwartz 定理,Sen的Pareto自由不可能定理,等等。

所有证明都是类似的,乃至平行于彼此。或许我们从未曾走得更远。60年过去了,我们仍在Arrow的荫蔽下,举目不见阳光。

Reference
Arrow  Social choice and individual values
Cassels  Economics for mathematicians
Reny  Arrow’s theorem and the Gibbard-Satterthwaite theorem: a unified approach


  1. 黄有光即提倡将utilitarianism翻译为“效用主义”,钱永祥、周保松则提倡“效益主义“的译法。一个更古雅的翻译是“乐利主义”,这是梁启超、胡适那个时代的译法。 
  2. 或许此处我们可以引用赵鼎新的辩护:“形式模型的目的不在于精确预测事物的具体发展,而在于抓住事物在一定条件下的发展规律及其背后的机制,因此,对形式模型进行简单的经验性批判没有什么意义。”(《社会与政治运动讲义》,社会科学文献出版社,2012) 
  3. 豆瓣上的Welfare向我指出,在放宽(Ⅱ) (即IIA)的方向上已有不少积极成果,例如
    Campbell,Kelly  Information and preference aggregation
    另一方面,他也提到,A.Sen修正个体偏好的尝试被评价为”NOT very substantial”(if not trivial). 

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