On Arrow’s theorem


我无法理解经济学。

理论上，你需要做的只是将现实抽象成公式，丢进Poincaré 的法国香肠制造机，任由数学家们胡搅一气，坐等成品出炉后再喂给现实中的狗——简直像物理学一样明晰。
可悲的是你永远无法统一经济学家眼中的现实 (仿佛一经经济学家观测，“现实”本身都发生了扭曲——光荣归于不确定性原理！)，永远无法迫使他们就模型的遴选达成一致 (如果现实的复杂度可以轻易压垮任何模型，那么比较将是不可能的)，更无法阻止他们对纯数学结果给出各种天花乱坠的曲解并美其名曰：“诠释”。

我认为经济学是不可理解的。
然而经济学定理仍然有其单纯的一面——只涉及数学的那一面。

The Voting Paradox
给定n元集合A(选择)，令L/L^{*}为A上的所有可能的全序关系/严格全序关系。今后我们用x,y,z,\cdots记A中的不同元素。
对于I=\{1,2,\cdots,N\}(社会)，F:L^N \to L^{*}，\vec{R}=(R_1,R_2,\cdots,R_N) \mapsto R称为社会福利函数。寻找F即寻找一种能将个人偏好统一为集体偏好的方法。
n=2时，多数决给出一个构造R的方法：x > y (R)当且仅当\#\{i: x > y (R_i)\} > \#\{i: x < y (R_i)\}。
n \geq 3时，我们有所谓的

(Condorcet悖论) 令x > y > z(R_1)，z > x > y(R_2)，y > z > x(R_3)，此时R的任何取值都将违背多数决原则。

“悖论”这个听上去颇可怕的词并不意味着“行使多数决时我们将不可避免地陷入矛盾”——因为现实生活中的绝大多数投票过程要么不涉及排序，要么允许以加权的形式表达偏好。经济学家认为这两种方案同样不可接受。他们为自己塑造了一尊名叫utility的金牛犊 (我不知道该怎么翻译：你可以谈论“效用”的边际效应，但不能说J.Bentham信奉“效用主义”1)，并就其神学意义展开了无休止的争论。当代大部分经济学家相信，理性人(另一个暧昧的概念！)眼中的utility是一个全序关系。
经济学家热衷于讨论没有确定意义乃至于根本不存在的东西。让他们继续讨论下去吧。

Who Dominate?
Condorcet悖论的核心是社会权力分配。现在我们将“权力”这个概念抽象化。
称J \subset I对有序对(x,y)拥有决定权(decisive)，若对所有满足x>y(R_i)，\forall i \in J的\vec{R}，x>y(R)。
若J同时对(x,y)和(y,x)拥有决定权，则称J对x?y(R)构成统治(dominant)。
若J只包含一个元素j，寡头统治退化为独裁(dictatorial)。
任何有意义的社会福利函数都应该采纳所有成员“一致通过”的结论。我们要求：
(Ⅰ)I对任意x?y(R)构成统治；
就政治而言，(Ⅰ)代表集体意志的执行；就经济而言，(Ⅰ)给出一个Pareto优化：以x取代y后，所有人都更加满意。

Independence of Irrelevant Alternatives
n \geq 3时，另一条限制似乎也是自然的：
(Ⅱ)对任意有序对(x,y)，x?y(R)仅由x?y(\vec{R})决定；
这通常被称为对无关选择的非依赖性(independence of irrelevant alternatives, IIA)。
与之相对应的，我们引入一个稍弱于决定权的概念：
称J对有序对(x,y)拥有准决定权(almost decisive)，若对所有同时满足(1)x>y(R_i)，\forall i \in J；(2)y>x(R_i)，\forall i \not \in J的\vec{R}，x>y(R)。
乍看上去温良无害的(Ⅱ)实际上是一条极强的限制：假定n \geq 3，F满足(Ⅰ)(Ⅱ)，我们有
(引理1) 若J对(x,y)拥有准决定权，则\forall z，J对(x,z)拥有决定权。
证明：令
(3)x>y>z(R_j)，i \in J；
(4)y>x, y>z(R_i)，i \not \in J；
由假设知x>y(R)，由(Ⅰ)知y>z(R)，因此x>z(R)。(4)对x?z(R_i)，i \not \in J没有任何限制，故由(Ⅱ)知J对(x,z)拥有决定权。
同理我们有
(引理2) 若J对(x,y)拥有准决定权，则\forall z，J对(z,y)拥有决定权。
反复应用上述2条引理，我们得到
(引理3) 若J对(x,y)拥有准决定权，则J对x?y(R)、y?z(R)和z?x(R)构成统治。
(引理4)若J对(x,y)拥有准决定权，则J对任意u?v(R)构成统治。

The Voting Paradox Revisited
多数决要求F在满足(Ⅰ)(Ⅱ)的同时保证I的子集拥有准决定权当且仅当其充分大，Condorcet悖论指出在n \geq 3时这是不可能做到的。事实上我们有
(广义Condorcet悖论，Baby Arrow) 若n \geq 3，F满足(Ⅰ)(Ⅱ)，则存在j \in I对某个有序对(x,y)拥有准决定权。
证明：显然拥有准决定权的集合是存在的：例如I。有此性质的集合中，有一个包含的元素最少，记为J。若J不是单元素集，则J可拆分为2个非空集合J_1和J_2的不交并。取有序对(x,y)之外的z，并令
x > y > z(R_i)，i \in J_1；
z > x > y(R_i)，i \in J_2；
y > z > x(R_i)，i \not \in J；
因为J对(x,y)拥有准决定权，x>y(R)。由于J是此类集合中最小的，子集J_1不可能对(x,z)拥有准决定权，因此x \leq z(R)。同理y \geq z(R)，矛盾。

Arrow’s Theorem
将引理4和Baby Arrow相结合，我们得到一个出乎意料的结果：
(Arrow一般可能性定理) 若n \geq 3，F满足(Ⅰ)(Ⅱ)，则存在j \in I对所有u?v(R)构成统治(独裁)。
换言之，此时F必为投影：R=F(R_1,R_2,\cdots,R_N)=R_j(R是一个严格全序关系，R=R_j仅在“遗忘”掉R_j中所有“=”的意义下成立)。
我们该怎么诠释这条定理呢？“所有投票都是不公平的”？理性和民主注定无法相容？如果我们高擎理性主义的大旗，那么哲人王将会是历史的唯一解药？又或者一切都指向虚无，在现实的废墟上既不存在所谓理性，也不存在所谓民主，Arrow定理和“真空中的球形鸡”无异2？形形色色的诠释者中，太多人既不懂数学，也不懂经济。站在Arrow立下的磐石上，他们翩然高蹈，自我陶醉地飞向了形而上学的领域。

几乎所有避开Arrow定理的方法都已经被尝试过了。放弃全序关系的模型，限制F的定义域，将n固定为2，令N \to \infty，放宽(Ⅰ)(Ⅱ)，乃至迫使个体修正其偏好……究竟哪一种方法更好地描述了现实呢？在所有人自说自话的喧嚣中，我深深地怀疑even god does not know and time will never tell3.

A Loose End

Arrow定理是一系列一般可能性定理中的头一个。我们还可以举出Gibbard–Satterthwaite 定理，Duggan–Schwartz 定理，Sen的Pareto自由不可能定理，等等。

所有证明都是类似的，乃至平行于彼此。或许我们从未曾走得更远。60年过去了，我们仍在Arrow的荫蔽下，举目不见阳光。

Reference
Arrow  Social choice and individual values
Cassels  Economics for mathematicians
Reny  Arrow’s theorem and the Gibbard-Satterthwaite theorem: a unified approach

  1. 黄有光即提倡将utilitarianism翻译为“效用主义”，钱永祥、周保松则提倡“效益主义“的译法。一个更古雅的翻译是“乐利主义”，这是梁启超、胡适那个时代的译法。 ↩
  2. 或许此处我们可以引用赵鼎新的辩护：“形式模型的目的不在于精确预测事物的具体发展，而在于抓住事物在一定条件下的发展规律及其背后的机制，因此，对形式模型进行简单的经验性批判没有什么意义。”(《社会与政治运动讲义》，社会科学文献出版社，2012) ↩
  3. 豆瓣上的Welfare向我指出，在放宽(Ⅱ) (即IIA)的方向上已有不少积极成果，例如
    Campbell,Kelly  Information and preference aggregation
    另一方面，他也提到，A.Sen修正个体偏好的尝试被评价为”NOT very substantial”(if not trivial). ↩

Leave a comment