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Very early in my study of physics, Weyl became one of my gods. I use the word “god” rather than, say, “outstanding teacher” for the ways of gods are mysterious, inscrutable, and beyond the comprehension of ordinary mortals.
                                                                                                  ——Schwinger
Weyl是研究量子物理与表示论联系的第一人。这个领域至今依然非常迷人:表示论、代数几何、复几何、弦论乃至数论都交织在一起。
Weyl  Quantenmechanik und Gruppentheorie
1.Weyl代数和Heisenberg代数
1926年,秉承将可观测量矩阵化(算子化)的思路,Heisenberg发现了如下对易关系
[P_i,Q_j]=-i\hbar\delta_{ij}\hbar为约化Planck常数                   (1)
不久后,Bohn, Jordan以及Dirac等人的进一步研究阐明了(1)在量子力学中的基础性价值。
Weyl的着眼点是由位置算子和动量算子生成的算子环。一般地,对2k维线性空间V,(1)中Kronecker delta函数可以实现为V上的辛形式\omegau \otimes v-v \otimes u=\omega(u,v)定义了V上的Weyl代数W(V)。在这个意义上,经典力学对应对称代数,而Weyl代数是对称代数的“量子化”。
从Lie群的角度看,(1)又可以理解为某个Lie代数的结构方程:以辛形式定义Lie括号,在Weyl代数的生成元中加入单位元R(一维中心扩张)后生成的实Lie代数称为Heisenberg代数。其对应的幂零Lie群即著名的Heisenberg群。可赋予Heisenberg代数的中心元素以特殊的物理意义:当R为Hamilton算子时,其余生成算子对应的可观测量守恒。
例1  Heisenberg群H_{2k+1}可以在\Bbb R^{2k} \times \Bbb R上实现为:
(v_1,t_1)+(v_2,t_2)=(v_1+v_2, t_1+t_2+\omega(v_1,v_2)/2)
Heisenberg群出现在数学的各个领域:从Abel簇的构造 (Mumford) 到3维流形的分类 (Thurston)。其与theta函数的天然联系指向数论、模形式和数学物理。
2.Heisenberg群的酉表示
数学家的谨慎使Weyl不愿意处理P,Q这样的无界算子;另一方面,量子力学的物理诠释要求可观测量a对应自共轭算子A,于是过渡到Lie群层面后,e^{iA}为酉算子,这是特别令人满意的。
一般地,对于构型空间\Bbb R^k和算子P_i, Q_i1 \leq i \leq k,引入参数a,b \in \Bbb R^k并定义
X(a)=e^{iaQ}Y(b)=e^{ibP},向量相乘理解为内积
(1)等价于
X(a)Y(b)X(a)^{-1}Y(b)^{-1}=e^{-i\hbar ab}                                  (2)
此处的计算是形式的,可视为Baker–Campbell–Hausdorff公式的一个特例。
X(a), Y(b)\Bbb R^k的酉表示。Weyl的创辟之处在于他坚持统一处理共轭量的表示:
W:(a,b) \mapsto e^{(i\hbar/2)ab}X(a)Y(b)
由于XY不可交换,W不是\Bbb R^{2k}的酉表示,却能诱导一个射影酉表示:因为W满足W(a,b)W(a',b')=m(a,b:a',b')W(a+a',b+b'),其中乘子m(a,b;a',b')=e^{(i\hbar/2)(ab'-ba')}在单位圆上取值。
物理上,这个射影酉表示非常令人满意:它对应量子力学中的波函数归一化。数学上我们有一个等价描述:定义Z(c)=e^{icR}c \in \Bbb R,并取
W:(a,b,c) \mapsto X(a)Y(b)Z(c)
此时W扩张为Heisenberg群H_{2k+1}的酉表示。乘子项m(a,b;a',b')得到了更好的解释:它对应H_{2k+1}的“挠部分”\omega(v_1,v_2)/2
尽管H_{2k+1}有非常简单的矩阵模型,它的酉表示却不可能是有限维的。下面是一些无穷维酉表示的例子。
例2 (theta表示) 给定上半平面的复数\tau,我们赋予复平面上的整函数如下范数:
\parallel f \parallel^2_\tau=\int_{\Bbb C} e^{(-2\pi y^2/Im(\tau))}|f(x+iy)|^2 dxdy
取所有满足\parallel f \parallel^2_\tau<\infty的整函数构成的Hilbert空间\mathcal{H}_\tau为表示空间,H_3有不可约酉表示
(W_t(a,b,c)f)(z)=e^{i\pi(a^2\tau+2az+c)}f(z+a\tau+b)
特别地,H_3的Abel子群\Bbb Z^2作用于\mathcal{H}_\tau上有唯一的不变向量,即Jacobi theta函数
例3 (Weyl表示;Schrödinger模型) 取L^2(\Bbb R^k)为表示空间,H_{2k+1}有不可约酉表示
(W_s(a,b,c)\psi)(x)=e^{i(ax+\hbar c)}\psi(x+\hbar b)
这个表示被称为Schrödinger模型的理由是可以由此获得量子力学的波动力学描述:例如,取R为Hamilton算子He^{itH}\psi=W_s(0,0,t)\psi=e^{i\hbar t}\psi。相因子无关紧要,我们可以认为波函数在单参数酉群e^{itH}的作用下不变(能量守恒)。取微分过渡到Lie代数层面,即得到Schrödinger方程
Weyl提出了如下问题:是否Heisenberg群H_{2k+1}的任意不可约酉表示均酉等价于W_s?1930年前后,Stone和von Neumann各自独立地给出了肯定的回答——从而给出了矩阵力学等价于波动力学的又一个证明。
(Stone-von Neumann定理H_{2k+1}的任意酉表示均酉等价于若干个W_s的直和。
由此也得知\mathcal{H}_\tauL^2(\Bbb R)作为H_3-模同构。
3.抽象Heisenberg群
实Heisenberg群是局部紧Abel群\Bbb R^{2k}的中心扩张。Weyl提出可以将\Bbb R替换为有限群\Bbb Z_n,作为玩具模型来研究。另一方面,根据Lefschetz原理,也有理由将\Bbb R替换为其他局部域 (尤其是p-adic数域) 的加法群进行研究。这都要求我们推广局部紧Abel群上的调和分析
具体来说,我们以局部紧Abel群G取代\Bbb R^{2k},以2-闭上链取代辛形式\omega。以所有单位复数为中心的中心扩张1 \to \Bbb C_1^{*} \to H \to G \to 1给出抽象Heisenberg群H
乘子m(a,b;a',b')作为2-闭上链的结构是清楚的,因为它满足
m(x+y;z)m(x;y)=m(x;y+z)m(y;z)
对于抽象Heisenberg群,Stone-von Neumann定理有一个深远的推广:Mackey理论。关于Mackey理论的主定理,一个细致且清晰的证明可以在下面这本书中找到:
Mumford  Tata Lecture on Theta III
当然也可以参看
Varadarajan  Geometry of quantum mechanics, Vol.2
4.Weyl量子化
局部紧Abel群满足Pontryagin对偶。对于相空间\Bbb R^{2k}而言,这个对偶关系是
(q,p) \mapsto (a,b)
经典物理量是(q,p)的函数。Weyl量子化,或者,Weyl变换,指的是(1)通过Fourier逆变换将经典物理量变为(a,b)的函数;(2)通过Weyl表示将(a,b)的函数变为算子(Q,P)的函数,也即Q_\hbar: f \mapsto W(F^{-1}f)
不难证明,(1)Q_\hbar(f)自共轭当且仅当f是实函数; (2) 若f速降函数,则Q_\hbar(f)迹类算子并有一个积分核表示。
对于一般的局部紧Abel群,我们也可以定义Weyl变换。p-adic数域的情况或许是最有趣的,不仅和数论紧密相关,而且有可能应用于物理上:某些数学物理学家(例如Volovich)怀疑Planck尺度下的时空是非Archimedes的。
Weyl变换的逆变换称为Wigner变换。这是一个非常有趣的变换:量子概念的经典”对应“常常有意料之外的物理意义。下面我们将进行这方面的讨论。
5.Weyl-Moyal代数
1940年前后,Moyal对Weyl量子化进行了更深入的考察。和Weyl不同,他感兴趣的对象不是算子,而是经典函数空间:Weyl忽略了经典函数空间的Poisson结构,而这正是Moyal希望研究的。
定义Moyal积\cdot_\hbar为算子复合运算在Wigner变换下的拉回:
Q_\hbar(f_1 \cdot_\hbar f_2)=Q_\hbar(f_1)Q_\hbar(f_2)
定义Moyal括号[f_1,f_2]_\hbar=f_1 \cdot_\hbar f_2-f_2 \cdot_\hbar f_1,我们有:
Q_\hbar([f_1,f_2]_\hbar)=[Q_\hbar(f_1),Q_\hbar(f_2)]
这在经典函数空间(不妨取成Schwartz空间)上定义了一个Poisson代数结构,我们称其为Moyal代数。
\hbar \mapsto 0时,Moyal代数趋于退化,这对应经典物理的假定:测量顺序不影响结果。一般地,我们希望研究Moyal代数对参数\hbar的依赖。
展开到一阶:
f_1 \cdot_\hbar f_2=f_1 f_2+\frac{i\hbar}{2}\{f_1,f_2\}+O(\hbar^2)
[f_1,f_2]_\hbar=i\hbar\{f_1,f_2\}+O(\hbar^2)

事实上,展开到二阶后,[f_1,f_2]_\hbar=i\hbar\{f_1,f_2\}+O(\hbar^3).

Dirac发明的正则量子化 (更确切地,对应于单粒子的一次量子化)方法以Poisson括号描述非交换性,上式指出这只在二阶近似的意义上成立。历史上人们很早就发现正则量子化在公理化后无法避免某些内在矛盾几何量子化、形变量子化等方法正是由此发展而来。

为了将Moyal代数的结构看得更加清楚,我们必须推广对Poisson括号的定义:
取2组变元q^{(1)},p^{(1)},q^{(2)},p^{(2)}
定义S(\Bbb R^{2k} \times \Bbb R^{2k})上的微分算子\Pi=\Sigma(\frac{\partial}{\partial q_j^{(1)}} \otimes \frac{\partial}{\partial p_j^{(2)}}-\frac{\partial}{\partial p_j^{(1)}} \otimes \frac{\partial}{\partial q_j^{(2)}}),定义S(\Bbb R^{2k} \times \Bbb R^{2k}) \to S(\Bbb R^{2k})的对角算子D(f)(q,p)=f(q,p,q,p),Poission括号相当于这两个算子的复合:
\{f_1,f_2\}=D \circ \Pi(f_1 \otimes f_2)=P(f_1 \otimes f_2)
由此我们可以定义Poisson括号的“幂”:P^N(f_1,f_2)=D \circ \Pi^N(f_1 \otimes f_2)
于是形式上我们有
f_1 \cdot_\hbar f_2=e^{(i\hbar/2)P}(f_1,f_2)
[f_1,f_2]_\hbar=\frac{2}{\hbar}\sin(\frac{\hbar}{2}P)(f_1,f_2)
这就是Moyal括号又被称为“正弦括号”的原因。
6.形变量子化
通过上述对Moyal代数的考察,我们发现以\hbar为形变参数,量子代数可以视为经典代数的形变。这个观点由Flato等人首次提出。特别地,他们证明了对于S(\Bbb R^{2k})上的经典Poisson代数结构,Moyal代数在规范等价的意义上是唯一可能的形变——也就是说,量子力学是经典力学唯一可能的”形变“。
一般地,令A为某光滑流形X上所有光滑函数的代数。A上的Moyal积定义为
(f,g) \mapsto f \star g=fg+\hbar C_1(f,g)+\hbar^2 C_2(f,g)+\cdots \in A[[\hbar]]
此处\hbar为形式变元,C_i为双微分算子。
为了进行形变,我们要求Moyal积不仅仅是一个形式展开,而是一个真正的解析展开。这一点并没有先验的保证。
Darboux定理,辛流形上的局部Poisson代数结构总能形变为Moyal代数。装备一个平坦的辛联络之后,我们可以将这个局部形变扩张到整个流形上。对于一般的Poisson流形,情况要复杂得多。此时Kontsevich量子化公式给出一个Moyal积的形式定义(这是Kontsevich获得1998年Fields奖的原因之一),但尚不清楚它是否在规范等价的意义上给出唯一可能的形变量子化。

承蒙余成龙兄过问近况。此间废弃许久,他颇觉可惜。而我自己检点旧作,念及“向之所欣,俯仰之间,已为陈迹”,更有一番“种豆南山下,草盛豆苗稀”的感慨。

一年多来冷落了不少旧友新朋,是我自己疏于世故的脾性使然,却也暗自怀抱着“知我者谅我”的期待。我的孤僻任性是不可理喻的。关于这一点,我比世界上任何人都了解得更加清楚。
依然记得五年前窝在上海的某家小旅馆里捧读the Myth of Sisyphus的那些日子。此后那个隐没在神话迷雾中的背影就成为了我秘而不宣的精神图腾。
石头滚落下去了。现在我要重新将它抬回原点。
Sisyphus
Il n’est pas de destin qui ne se surmonte par le mépris.
                                                                      ——Albert Camus
简单的一则消息,作为热身。
ICM 2014将于8月13日-8月21日在韩国首尔召开。关于Fields medal的得主,圈内已有不少流言。呼声最高的是Princeton的Manjul Bhargava——事实上,4年前他就已经是Fields medal的有力竞争者了。
Bhargava主攻数论。近几年来,椭圆曲线的算术理论(参见之前的讨论)得到了相当的发展,其中Bhargava亦有不少贡献。
(1)给定\Bbb Q上的椭圆曲线E,我们以r记其秩 (rank)。我们尚不知道r是否可以任意大,但2010年Bhargava与Shankar合作证明了:将\Bbb Q上所有椭圆曲线的同构类以高 (height) 排序,其平均秩有上界。此前必须假定广义Riemann猜想和BSD猜想同时成立才能得到这个结果!
今后提到”\Bbb Q上所有椭圆曲线“时,我们默认其指代按高排序的同构类。
(2)统计上,人们相信50%的r=0,50%的r=1。Bhargava与Shankar同时能够证明:满足r=0E\Bbb Q上所有椭圆曲线中占有一个正的比例。更近一步,称Weil-Hasse函数L(s,E)s=1处的零点阶数r_aE的解析秩 (analytic rank)。借助算术几何中的一些最新成果,Bhargava与Shankar能够证明满足r_a=0E在所有满足r=0E中占有一个正的比例。这即是说:
满足BSD猜想的E\Bbb Q上所有椭圆曲线中占有一个正的比例。
(3)就在几天前,问题又有新的进展。Bhargava与Skinner以及张伟合作,证明了下面的结果:
(3.1) \Bbb Q上所有椭圆曲线中,至少有16.50%满足r=r_a=0,至少有20.68%满足r=r_a=1
(3.2) \Bbb Q上所有椭圆曲线中,至少有66.84%满足BSD猜想;
不妨与Riemann猜想做一比较。1942年Selberg证明了临界线上的非平凡零点比例高于0。目前最好的结果是证明了超过40%的非平凡零点落在临界线上(Conrey, 1989)。
Bhargava的兴趣远较椭圆曲线的算术理论为广,以上介绍若能起到尝鼎一脔的作用,我就很满足了。他能否如愿在ICM 2014上摘得Fields medal,让我们拭目以待。

Only human

因为个人原因,这个博客荒废了一段时间。接下来希望能恢复正常的更新节奏。

生活在只有数学结构的世界里,从某种意义上是很理想的。But we are only humans.

一个新近的例证是P.Deligne获得了今年的Abel奖。在T.Gowers宣布这一消息的博客文章里,一位化名sowa的数学家公开质疑

(1)Gowers是否有足够的专业知识连续3年撰写面向公众的获奖人介绍 (尤其是介绍J.Milnor和P.Deligne);

(2)去年获奖的E. Szemerédi是否有资格与J.Milnor和P.Deligne并列;以及更为本质的,

(3)近年来Gowers和陶哲轩等人大力倡导的“组合数学”是否(像代数几何一样的)重要,或者仅仅是Bourbaki意义下的“次等数学”;

十余位数学家和sowa展开了连篇累牍的辩论(包括上面提到的2位Fields奖得主Gowers和陶哲轩)。我花时间读完了全部的讨论,并再一次确认数学家也不过是普通人类,也像普通人类一样趋炎附势、自以为是、喜怒贪嗔。我自身的软弱动摇,归根结底也是人类弱点的一种,since we are only humans.

Weil的广博

管窥蠡测,自然有顾及不到的地方,何况我本无意(也无力)潜心写一篇翔实的考据文章——之前曾在《游里功夫独造微》读到小平邦彦眼中的Weil:“脑筋惊人得好,凡是别人想到的问题他差不多都想过了。”我的原意只是为这句话作一个注解。

记忆所及,我所读过的涉及Weil生平的材料大致有

A.Weil  The Apprenticeship of a Mathematician

中文网上流传颇广的《André Weil的一生》有很多内容采自这本回忆录。

S.Weil  Attente de Dieu

读的是杜小真的译本《在期待之中》。Simone Weil被尊奉为“黑暗时期三女哲”之一,公众知名度大概要(远远?)超过André. 然而她说:“我的哥哥天资超人,他的童年和青年时期类似帕斯卡尔,正是他这种天资使我产生死的念头。”

P. Halmos  I want to be a mathematician

Halmos在这本回忆录里指名道姓地宣称Dieudonné(和他本人一样)不过是二流人物(与此同时Le Monde的记者称他为“当代数学的化身”),却对曾在Chicago和他共事的Weil佩服得五体投地。

G.Shimura  The map of my life

G.Shimura  André Weil as I knew him

前者是志村的回忆录,后者是Weil去世后志村写的追忆性文章。我总觉得志村努力在Weil面前维持一种不卑不亢的形象,其实是敬畏的表示——对于其他人,他要么秉持一种“疏离的刻薄态度”(说明还有被轻视的价值),要么完全漠视。

同样在Weil身后,Bombieri评论说:”I think of him as one of the few people who shaped the mathematics of the 20th century, his ideas are still fundamental.” 这并不出人意料:尤其是在考虑到Bombieri同样是一个兴趣广泛的人而他的工作领域和Weil有极大的重叠。

公认Weil最感兴趣用功也最勤的还是数论,基于此他才有兴趣去考察代数几何和拓扑群的基础问题。微分几何和复几何对于他来说,可能不是那么核心的论题,不过他的贡献还是出人意料得多。他的另一个特点是酷爱研读经典,并从中发掘研究的素材。这是优点,同时也是弱点:Weil并不具备Grothendieck意义上的“创造性”,虽然这样责备求全并不公平。

豆瓣的Shimura君推荐了Taniyama早年对Weil的一段评论,对这两个特点有很犀利的观察:

“Since he attacks too many problems, he has a tendency to insufficiently investigate a single problem.” “A completely different area, an expected development, a deep relation between several branches which is more than just a formal analogy, do such things no longer exists? It is not possible to pioneer a new such world via Weil’s approach.”

  • Gauss-Bonnet theorem

“千古寸心事,欧高黎嘉陈”,是有趣的总结,不过不可以太当真。可以提的名字还有不少,例如Hopf,是真正开始整体Riemann几何研究的第一人。在Gauss-Bonnet定理的高维推广上,他也是先行者。在陈先生之前,Allendoerfer和Weil得到了高维Gauss-Bonnet定理的第一个完整证明(在不依赖于Nash嵌入定理的意义上),尽管不是内蕴的。因为陈先生的关系,对这段历史的考据已经汗牛充栋,此处不赘。

  • Chern-Weil theory

基本上是Gauss-Bonnet定理内蕴证明的衍生工作:陈先生的算功和Weil的眼力都是一流的。同样在那篇名文《菩萨、量子数与陈氏级》里,杨振宁先生提到1948年Weil和Fermi的一番谈话,回想起来大概和示性类在粒子物理里的应用有关。Weil据说是讨厌物理的(教师资格考试的时候交了白卷),何以有这样“智差二十年”的先见之明,颇让人诧异。

殆复流形的概念是Hopf的贡献,陈先生和Weil对此都很感兴趣。建议Nirenberg在这个方向上做一尝试也是他们两人(参见Nirenberg追忆陈先生的文章,收录在S.S.Chern: A Great Geometer of the Twentieth Century里)。

Newlander和Nirenberg的主要贡献在于对PDE的正则性分析:对于实解析流形,Weil很清楚地知道同样的结果成立,参见他的名著Introduction à l’étude des variétés kählériennes.

  • Several complex variables

Weil和Ahlfors交谊深厚。一件轶事是Ahlfors曾打赌说只要Weil能推广Gauss-Bonnet公式到高维,他就能把Nevanlinna理论推广到多复变情形。Weil做到了,但Ahlfors却没能完成他所承诺的推广。

Weil本人在印度曾集中研究过多复变函数论,成果之一是把Cauchy积分公式推广为Bergman-Weil公式

  • Weil-Petersson metric

Weil和Ahlfors的另一次合作是关于Teichmüller空间上的Weil-Petersson度量。Weil给出了定义,并猜想这一度量是Kähler度量。这一次Ahlfors成功地给出了证明。

  • Foundations of Kähler geometry

就这个论题Kähler本人从来没有写过总结性的著作,Weil的Introduction à l’étude des variétés kählériennes大概是Griffiths-Harris之前最权威的一本。

关于Kähler恒等式(Hodge恒等式)与\mathfrak{sl}_2的表示论的关系,直到70年代仍不是标准材料 (O.Wells在写Differential Analysis on Complex Manifolds时就不知道)。我不确定这一观察的优先权属于谁:陈先生肯定知道这一点(在他推广Lefschetz定理的工作中运用了这一事实,Griffiths很可能是从陈先生那里学去的),Weil也知道这一点。

另外,萧荫堂的成名之作“K3曲面是Kähler流形”最初也以猜想的形式出现在Weil的书里。

  • Uniform space

“Bourbaki建立了一般拓扑学”并不是夸张:H.Cartan提出了滤子的概念,仿紧空间是Dieudonné的贡献,一致空间则要归功于Weil。他为此专门写了一本书:Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale.

  • Haar measure

Weil对拓扑群的兴趣源于他在此基础上建立类域论的尝试(也是日后Basic number theory的主要内容)。

一个中心论题是不变测度的存在性。对于紧群,这一点是von Neumann证明的(简单的平均化技巧),Haar证明了局部紧群上左不变测度的存在性和唯一性(在第二可数假定下),第一个一般的证明是Weil做出的,参见他的专著L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications.

  • Pontryagin duality

另一个相似的例子是Pontryagin对偶。Pontryagin的讨论同样依赖于第二可数这一技术假定,Weil成功地给出了一般的证明。

这些关于Haar测度和Pontryagin对偶的讨论是局部紧群上的调和分析的肇始。

  • Fixed point theorems

和von Neumann一样,Weil钟爱不动点定理。例如他用Lefshetz不动点定理证明了紧拓扑群的极大环面两两共轭,这与基于Lie代数的处理(Weyl)以及基于Riemann几何的处理(E.Cartan)迥然不同。不动点定理也以相交理论的面貌出现在他对代数几何基础和Weil猜想的讨论中。

  • Borel-Weil theorem

这条定理通常被视为几何表示论的开山之作,但我没有仔细考究过它的历史。A.Borel是本色当行的表示论专家,但我不清楚Weil在这条定理中所扮演的角色——或许只是以他丰富的经验“不经意间”指点了某处关键?

  • De-Rham theorem

Weil在同调论方面的另一个贡献是独立给出了de Rham定理的证明,其意义只有在H.Cartan开始层论研究的时候才被发掘出来——那事实上是de Rham定理的第一个层论证明,也就是Bott-Tu中可以读到的那个证明。

  • Riemann-Roch theorem

在Chevalley提出ideles群的概念之后,Weil继而提出了adele环的概念,并应用于Riemann-Roch定理的代数证明(可以在Basic number theory里读到)。另一个研究Riemann-Roch定理的副产品是Weil除子的概念。

Weil还给出了Riemann-Roch定理的一个推广:对代数曲线上的全纯向量丛给出了计算其Euler示性数的公式。同样在层论得到发展之后,Serre的重新诠释最终导致了Hirzebruch-Riemann-Roch乃至Grothendieck-Riemann-Roch的证明。

  • Foundations of algebraic geometry

将代数几何彻底“代数化”(从而应用于数论)的梦想可以追溯到Dedekind和Kronecker。Weil和Zariski是复兴这一梦想的领军人物,其中又以Weil对数论的方面(即现在的算术几何)较感兴趣。

时至今日Weil的Foundations of algebraic geometry已不再被认为是“基础”了,几乎所有门徒都已被EGA吸引走。不过,它仍向我们展示了一流数学家做数学的方式:当工作缺少基础的时候,就自己打造一个。在这一点上,此书有与EGA相当的价值。

  • Abelian varieties

众所周知20世纪后半叶代数几何的2大突破(Deligne对Weil猜想的证明,Faltings对Mordell猜想的证明)都与Weil的名字密不可分。Weil本人考虑这2个问题的角度或多或少是经典的。例如Mordell-Weil定理的证明是如下计划的一部分:将代数曲线的有关理论系统地推广到Jacobi簇上,后者是当时仅有的了解得较好的高维代数簇。

Weil对椭圆曲线和Jacobi簇的研究有很多具体的成果,比如Hasse-Weil上界,比如Weil配对。不过最重要的是,经由他的工作Abel簇的概念和基本的性质最终得以建立。

Weil证明了Mordell-Weil定理后,一度误以为自己也能解决Mordell猜想。Hadamard曾建议Weil将Mordell猜想彻底解决后再一并发表:他显然错估了后者的难度。历史或许应该感谢Weil的不听劝告。

  • Algebraic groups

Bourbaki有研究Lie群和代数群的传统:首先是Chevalley,继之以A. Borel. 我猜想Weil在这方面的兴趣大概和他们两人有密切的关系,当然代数群本身就与数论密不可分。以他命名的概念包括Weil–Châtelet群以及有关Tamagawa数的Weil猜想

Weil没有专攻过代数群表示的一般理论,但他仍有重要的贡献。最著名的大概是他的”Acta Paper“:重新诠释了Siegel在二次型方面的工作并将解析数论和亚辛群(metaplectic group)的Weil表示联系起来,实开Langlands纲领之先河。

关于这篇论文的数论方面,可以参考专著

Berg  The Fourier-analytic proof of quadratic reciprocity

至于解析的方面:theta函数,Heisenberg群,等等,可以参考

Mumford  Tata lecture on theta III

  • Riemann hypothesis

或许任何一个研究数论的人都无法抗拒Riemann猜想的诱惑。除了在经典工作上作进一步的深化(例如Weil精确公式),Weil似乎没有直接攻击过这个难题,更多时候他的方法是“绕圈转”:尝试不同角度的推广。Weil本人认为从数域与有限域上的函数域的类比出发所做的系列研究是他最好的工作:对有限域上的代数曲线证明了Riemann猜想,并提出了Weil猜想。

Weil猜想可以翻译为某个上同调论的观察是Serre告知Grothendieck的,而最早发现这一点的是Weil本人。可以说他是Lefschetz和Grothendieck之间的桥梁。Weil猜想得到证明后,据说Weil对Riemann猜想的证明非常乐观,以至于陈先生一度建议丘成桐去做这个方向。历史或许也应该感谢丘先生的不听劝告。

在更深刻的问题上,Weil也迈出了第一步:对数域上的代数簇定义了Hasse-Weil L函数。基于Langlands哲学,猜想这些L函数全部来自自守表示。一个已获证明的特例是

  • Taniyama–Shimura猜想

如今更为恰当的称呼或许是模定理。关于Weil的名字是否应该加到这个猜想上有连篇累牍的论战,比较接近事实真相的陈述或许是:谷山第一个暗示了此类联系的存在,精确猜想的提出归功于志村,而Weil有广而告之的功劳。

上述讨论尚未真正触及Weil工作的主体:数论。由此他的广博也可见一斑了。

2个概率问题

Questions

下面2个小问题取自

Stein, Shakarchi  Functional analysis: introduction to further topics in analysis

Q1:除去一个可数集(所谓的二进分数),所有落在[0,1]中的实数都有唯一的二进制表示:\displaystyle \alpha=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n}a_n等于0或1。随机选取一个\alpha,0和1在其二进制表示中密度相当的概率有多大?

Q2:\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}发散而\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}收敛到\log 2。如果考虑\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n}并随机选择a_n=\pm 1,则级数收敛的概率有多大?

Discussions

回忆概率论的基础:定义概率空间(\Omega,m)(概率测度m定义在“事件”的\sigma代数上,满足m(\Omega)=1)。以下仅考虑\Omega上的实值可测函数f:(\Omega,m) \to (\Bbb R,\mu_f),例如随机变量X概率密度函数f_X:\Omega \to \Bbb R_{\ge 0}。在实际应用中f:\Omega \to \Bbb C(量子统计)和f:\Omega \to \Bbb R^d(随机漫步Brown运动)同样常见。

X的平均值(期望)E(X)=\int_\Omega f dm=\int_\Bbb R td\mu(t)

X的方差\sigma^2(X)=\int_\Omega (f-E(X))^2 dm

(1)\{f_n\}^\infty_{n=1}称为同一分布的,若\mu_nn无关。

(2)\{f_n\}^\infty_{n=1}称为互相独立的,若对于任意Borel集\{B_n\}_{n=1}^\infty \in \Bbb R

\displaystyle m(\bigcap_{n=1}^\infty\{x:f_n(x)\in B_n\})=\prod_{n=1}^\infty m(\{x:f_n(x)\in B_n\})

描述Q1和Q2的模型是(无限)Bernoulli过程,此时\Omega=\Bbb Z_2^\infty。各自除去一个(可忽略的)可数集后,我们可以(利用二进制表示)将\Bbb Z_2^\infty等同于[0,1)(赋予Lebesgue测度)。

考虑定义在\Bbb Z_2^\infty上的2人零和博弈:若a_n=0则玩家A得1分,否则失1分,其收益函数记为r_n。通过上述等同,我们同时也定义了r_n:[0,1) \to \pm 1\{r_n\}_{n=1}^\infty称为Rademacher函数(或方波函数)。它们是一族同一分布且互相独立的函数。

Q1的答案是1:只需将大数定律(若同一分布且互相独立的函数族\{f_n\}^\infty_{n=1}有相同的平均值E,则\displaystyle \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_n(x) \to E几乎处处成立)应用于(稍加修饰的)Rademacher函数。

一个理应众所周知但实际上并非如此的事实是大数定律可以由Birkhoff点态遍历定理推出:等式左端可理解为某个强混合系统的空间平均,从而等于右端的时间平均。一个更一般的结果是Birkhoff-Khinchin定理(推广到条件期望)。

点态遍历定理可以追溯到Lagrange,Laplace和Gauss对天体力学的研究。在数论中,它以一致分布定理的面貌出现(Bohr, Sierpinski, Weyl)。下面这个问题来自Arnold:\{2^n\}_{n \ge 0}的首位数依次为1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, … 求此序列中7出现的概率与8出现的概率之比。

答案是(\log 8-\log 7)/(\log 9-\log 8)n \log_{10} 2 \mod 10是一致分布的。

Arnold  Mathematical methods of classical mechanics

Q2的答案也是1。如果说Q1是利用L^1收敛推出(采样意义上的)点态收敛,那么Q2则是利用L^2收敛推出点态收敛,关键是注意到(1)\{r_n\}L^2[0,1]中的正交序列(虽然并不完备:考虑它们的Fourier级数可知);(2)若将[0,1)等分为N个子区间,则对于每个子区间Ir_n等于r_nI上的平均对于n \le N成立。从而

(1)由于(1,\frac{1}{2},\cdots) \in l^2\displaystyle P_N=\sum_{n=1}^N \frac{r_n}{n}L^2收敛于某个P。(2)对上述的IP_N等于PI上的平均。接下来只需令N \to \infty并应用Lebesgue微分定理即可推出P_N几乎处处收敛于P

以Hodge定理为中心,我们有一系列更深入的结果和许多重要的应用,统称为Hodge理论。同样的,我们以Abel-Jacobi理论统称围绕在Abel-Jacobi定理周围的系列结果。事实上两者紧密相关:这基本上是Griffiths学派围绕Schottky问题所做的工作。

我们希望从多个方面理解Abel-Jacobi理论:从古典的代数函数积分到摩登的Picard簇(Picard概型)。

Integrals of algebraic functions

给定没有重根的3次(或4次)多项式p,Legendre集中研究了形如\int \frac{dx}{\sqrt{p(x)}}椭圆积分。更一般地,给定没有重根的多项式p,Abel考虑了Abel积分I=\int R(x,\sqrt{p(x)})dxR是任意有理函数。讨论Abel积分的复代数几何框架是由Riemann奠定的。

具体地说,定义C=\{(x,y)\in \Bbb CP^2:y^2=p(x)\}。投影(x,y) \to x给出代数曲线C\Bbb CP^1的双叶覆叠。视C为紧Riemann面,Riemann-Hurwitz公式定出C的亏格g=\lceil\mathrm{deg}\,p/2-1\rceil整格L=H_i(\Bbb Z)=\Bbb Z^{2g}L^{\wedge}被Riemann称为周期。

I是有理1形式\omega在代数曲线C上的线积分。进一步假定\omega没有极点(古典意义下的第一类Abel积分),由GAGA这等价于考虑紧Riemann面上的全纯形式。Abel发现任意g+1个第一类Abel积分均线性相关,用现代的记号,H^0(\Omega^1)=\Bbb C^g

Jacobian varieties

给定x_0 \in C,以\gamma_x记从x_0x的曲线。H^0(\Omega^1)在闭曲线\gamma_{x_0}上的积分取决于\gamma的同调类,换言之,在复环面J(C)=H^0(\Omega^1)/L^\wedge=\Bbb C^g/\Bbb Z^{2g}上取值。一般地,H^0(\Omega^1)\gamma_{x}上的积分定义了Abel-Jacobi映射j:C\to J(C)x_0的不同选取给出J(C)的不同主极化

紧复交换Lie群J(C)事实上是代数群:H^0(\Omega^1)上有自然的半正定Hermitian内积h,而H_i(\Bbb Z)上的相交形式\omega满足Riemann双线型关系\omega=\mathrm{Im}\, h。由Kodaira嵌入定理J(C)可以嵌入某个复射影空间成为代数簇,称为复代数曲线CJacobi簇

一般地,称紧复交换代数群(复代数环面)为Abel簇,Abel-Jacobi函子J是(标记)代数曲线范畴到(主极化)Abel簇范畴的反变函子,使得存在正则映射j:C \to J(C)j^*给出J(C)上的不变全纯1形式(J(C)的Lie代数)到C上全纯1形式的一一对应。另一个纯粹的范畴论刻画是:在(标记)代数曲线C到(主极化)Abel簇范畴的态射范畴中,Abel-Jacobi映射j:C \to J(C)投射对象

(1)J有左逆,换言之,主极化的J(C)决定C(Torelli定理)。

(2)J没有右逆。刻画所有可实现为Jacobi簇的Abel簇是一个著名的难题(Schottky问题)。唯一充分理解了的情况是1维:椭圆曲线的Jacobi簇与自身同构。

Mumford  The Michigan Lectures (1974) on curves and their Jacobians

Mumford  Abelian varieties

Theta functions

研究Abel簇的一大手段是研究簇上的有理函数。Jacobi提供了具体构造这些函数的一个经典方法:首先定义\Bbb C^g上的伪周期全纯函数(因为全纯函数不能是周期的),再取它们的商。此类函数称为\theta函数

“公式数学”的优点在于具体。例如,经典的Lefschetz嵌入定理将告诉我们比Kodaira嵌入定理更多的东西:可以用Riemann \theta函数给出嵌入的显式并决定复射影空间的维数。

除了代数几何,\theta函数还出现在数学的各个角落:从数论(\zeta函数模形式)到离散群(Heisenberg群Fuchs群),从PDE(热方程,KdV方程)到量子场论。

Mumford  Tata lectures on theta

Algebraic construction

另一种构造Jacobi簇的思路是Weil提出的,他注意到在经典的\theta函数理论中,J(C)的函数域可以由C的函数域的g次幂模去对称群的作用得到,换言之,从几何上看C对称积\Sigma^g C双有理同构于J(C)。这一构造的优点在于用到的所有工具均可以代数化,从而可以推广到一般域上。Weil正是以此证明了函数域的Riemann猜想/1维的Weil猜想

关于Weil构造以及另一种代数构造(Kollár构造)的详情,参见

Milne  Abelian varieties

函数域与代数数域的类比或许是数学中最深刻的类比,在这一框架下,Jacobi簇的对应物是理想类群。Weil的工作是数论启发代数几何的一个例子。另一个更早的例子是Galois理论的迁移:Liouville以此证明了Abel积分不能用初等函数表出,开Picard-Vessiot理论之先河。

Addition theorems

p(x)=(1-x^2)(1-k^2x^2)\displaystyle j(x)=\int_{x_0}^x \frac{dx}{\sqrt{p(x)}} \in \Bbb C/\Bbb Z^2Euler加法定理代数加法定理的模本:若j(x_3)=j(x_1)+j(x_2),则x_i(i=1,2,3)满足某个代数方程。注意到y^2=p(x)是一类特殊的椭圆曲线Cg=1dx/y是唯一的全纯微分,理论上利用Weierstrass的\mathfrak{P}函数理论可以决定所有此类代数加法定理的显式。

高亏格曲线的Jacobi簇不再同构于曲线本身,此时Abel研究了加法定理存在的抽象条件。另一位挪威数学家Selberg曾表示:”Neither with Gauss nor Riemann, nor with anybody else, have I found anything that really measures up to this.”

以现代术语陈述的结果如下:j诱导C除子群D(C)J(C)的Abel群同态,我们将此同态限制在度数为0的子群D_0(C)上。

(Abel加法定理) \displaystyle j(D)=0当且仅当D \in D_0(C)是主除子。

换言之,我们有单同态j:\mathrm{Pic}_0(C) \to J(C)\mathrm{Pic}_0(C)=D_0(C)/D_P(C)称为CPicard簇。Jacobi进一步证明此同态是满的(称为Jacobi反演定理),从而有

(Abel-Jacobi定理) j:\mathrm{Pic}_0(C) \to J(C)是群同构。

Picard varieties

相交理论中,光滑射影簇V上的k-代数闭链有如下4种常用的等价分类:

(1)有理等价:Z_1 \sim_r Z_2当且仅当二者通过某条射影直线“协边”。这是最精细的等价关系。1-代数闭链(除子)的形式群模去有理等价关系(线性等价关系)定义了Picard群\mathrm{Pic}(V)。所有代数闭链的有理等价类在相交积下构成一个分次环,即射影簇的Chow环

(2)代数等价:Z_1 \sim_a Z_2当且仅当二者通过某条代数曲线“协边”。除子群模去代数等价关系定义了Néron–Severi群\mathrm{NS}(V)。它比Picard群“小”得多,是一个有限生成的离散群(Néron–Severi定理)。

(3)同调等价:Z_1 \sim_h Z_2当且仅当二者有相同的同调类。对于代数曲线上的除子,这相当于要求它们有相同的度。

(4)数值等价:Z_1 \sim_n Z_2当且仅当二者和任意(n-k)-代数闭链的交均有相同的度。

在代数几何中,一个非常重要的问题是研究这4种等价之间的差异。例如著名的标准猜想D即为:(3)和(4)一致。对于代数曲线上的除子群,(2)(3)(4)是一致的,考察对象本质上只有一个:Picard簇\mathrm{Pic}_0(C)。在高维,我们定义\mathrm{Pic}_0(V)=\mathrm{Pic}(V)/\mathrm{NS}(V),它衡量了(1)和(2)之间的差异。

从这个角度看,Abel-Jacobi定理的重要性在于描述了\mathrm{Pic}_0(C)的结构:

(Abel-Jacobi定理,II) 代数曲线的Picard簇与其Jacobi簇同构。

对于高维(标记)射影簇V,Abel-Jacobi函子的范畴论刻画给出一个(主极化)Abel簇\mathrm{Al}(V),称为VAlbanese簇。Abel簇的Albanese簇同构于其本身。一般来说,Albanese簇是Picard簇的对偶Abel簇,而我们能保证的最好结果是Abel簇和它的对偶同源(存在映满且有限核的态射)。

Kleiman  The Picard scheme

Leisure readings

Vergne  All what I wanted to know about Langlands program and was afraid to ask

Gelbart  An elementary introduction to the Langlands program

Frenkel  Recent Advances in the Langlands Program

I.Papers & Books

0.Tools

Gaitsgory  Geometric representation theory

Kac   Infinite dimensional Lie algebras

Frenkel, Ben-Zvi  Vertex algebras and algebraic curves

Beilinson, Drinfel’d   Chiral algebras

Arthur  An introduction to the trace formula

1.Langlands Program for number fields

1.1 Local Langlands for \Bbb C and \Bbb R

1.2 Local Langlands for p-adic fields

Harris, Taylor  The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties

Henniart  Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL(n) sur un corps p-adique

1.3 Fundamental Lemma

Waldspurger  Endoscopie et changement de caractéristique

Ngô  Fibration de Hitchin et endoscopie

Laumon, Ngô  Le lemme fondamental pour les groupes unitaires

Waldspurger  L’endoscopie tordue n’est pas si tordue

Ngô  Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie

2.Langlands Program for function fields

Drinfel’d  Elliptic modules I,II

Laumon  Cohomology of Drinfeld modular varieties I,II

Lafforgue  Chtoucas de Drinfeld et applications

Lafforgue  Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d’Arthur-Selberg et correspondance de Langlands

3.Geometric Langlands Program

Witten  Quantum field theory, Grassmannians and algebraic curves

Kapustin, Witten  Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program

Frenkel, Gaitsgory, Vilonen  On the geometric Langlands conjecture

Frenkel  Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory

II.On-line Resources

The Work of Robert Langlands: the official on-line archive for Robert Langlands’ work

Northwestern Geometric Langlands Program maintained by Vilonen, Frenkel, Gaitsgory and Goresky

Chicago Geometric Langlands Seminar

GRASP run by David Ben-Zvi

Homepage of Edward Frenkel

Homepage of Dennis Gaitsgory

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