我们开始讨论著名的[Deligne, 1974]:
Deligne La conjecture de Weil: I
这可以视为漫谈的分水岭。之前的章节所涉及的数学或多或少是经典的。从本章开始,我们将自由地引用各种现代的观点和结果。
标准猜想太难了。毕竟,即使限制到上,由于存在Hodge猜想这个巨大的阻碍,我们同样无法得到一般性的结果。Deligne的目标要现实得多:继续Grothendieck未竟的工作,将上已成熟的理论——即Lefschetz理论和Hodge理论——「移植」到一般域上。在Hodge理论方面,他的贡献是Hodge结构的一般理论1,以及混合Hodge结构的概念。另一方面,Lefschetz的所有拓扑结果几乎都源于对「铅笔」的研究,在证明强Lefschetz定理之前,似乎更应该将「铅笔」理论代数化:这是Deligne,Katz等人在SGA 7中处理的课题。
本章将处理复射影簇上的经典Picard-Lefschetz理论。请读者始终牢记:应该将这个理论视为Morse理论的全纯类比2。
(A)
给定复代数流形和全纯线丛(等价的,除子类),以记的截面空间的射影化,称为的完整线性系统。1维子系统称为铅笔。
我们感兴趣的是射影簇,是某丰富线丛(等价的,超平面除子类)。此时,对应某个有理等价于的有效除子(作为的某个截面的零点集),,.
假定以下「一般性」(generic) 条件成立:铅笔的轴与横截相交,或者等价的,铅笔的底零点集 (base locus)是中余维数2的光滑子簇。此时沿着爆破射影簇,我们得到双有理等价于的,容许纤维化,,.
称为Lefschetz铅笔,如果几乎所有都是光滑的,奇异的仅包含一个普通双重点作为奇点。对应的纤维化称为Lefschetz纤维化:这就是我们要寻找的「全纯Morse函数」,是「一般性」的纤维化。
(B)
假定Lefschetz纤维化有临界值集,. 在每个临界点附近使用全纯Morse引理将奇点标准化,不难证明:
对,同伦等价于粘贴上个,粘贴的边界称为消没球面,其在中的上同调类称为消没闭链。
过渡到上同调,嵌入诱导的同态在时是同构,在时是单同态,余核由消没闭链生成。
(C)
让我们考虑这种情况下的单值群表示问题。可以从3个不同的角度理解这个对象3:
(1) 拓扑:局部系统,即上的局部常数束;
(2) 表示论:-模,;
(3) 微分几何:装备有平坦联络的向量丛;
观点(2)和(3)的等价即著名的Riemann-Hilbert对应。
例如,给定Lefschetz纤维化,高阶直接象束在局部是-向量空间的常数束,,仅在上有非平凡的表示。取,这个单值群表示可以写成:
(Picard-Lefschetz公式) ,生成元对应临界点,是对应的消没闭链,取决于.
由此可以证明非常重要的:
(不可约定理) 在消没闭链生成的子空间上的表示作用是不可约的。
当为奇数时,相交形式是斜对称形式。由Picard-Lefschetz公式,的作用保持相交形式不变,因而是辛表示。
(Kazhdan-Margulis) 的象在辛群中Zariski-稠密4。
上述两条定理对单值群表示施加了很强的限制。
(D)
最后,Lefschetz纤维化允许我们用Leray谱序列计算5:此时谱序列在处退化,且当时,,因而只需考虑,和这三项就可以了。
接下来,我们将考虑Deligne, etc.对Picard-Lefschetz理论的代数化。
- 我们仅提及最初的一步:Hodge滤过似乎是比Hodge分解更「基本」的概念。前者不但在Griffiths的形变理论中表现得更好,也和谱序列的语言(具体地说,Frölicher谱序列)结合得更好,从而允许到一般域的推广。这是代数Hodge理论的起点。 ↩
- Donaldson提出可以在辛几何中考虑Picard-Lefschetz理论的类比,这个思路允许Paul Seidel具体计算许多Fukaya范畴的例子——在某种程度上,这不并让人意外,因为Floer同调本就应该理解为圈空间上的Morse同调。我喜欢用这样的图景来叙述:复几何和辛几何是同一棵树上(镜像对称)的不同分支,伪全纯曲线和Picard-Lefschetz理论生长在比Floer同调和Fukaya范畴更加靠近根部的地方。 ↩
- 当前,这是一个炙手可热的领域。关键词包括但不限于:几何Langlands纲领,Higgs丛,Hitchin纤维化,基本引理,等等。跟Weil猜想联系更紧密的是特征的情况,即Drinfeld和L.Lafforgue的工作。 ↩
- 在单值/Galois表示中,这是一个常见现象:几何起源的单值群/Galois群通常会有「最大可能」(as large as possible) 的表示。 ↩
- 事实上,这是Leray发明谱序列的初衷。 ↩