Birch和Swinnerton-Dyer猜想及同余数问题


Y是我的挚友,恐怕也是数学上对我影响最大的人。前些天他告诉我中科院的田野在同余数问题(等价的,弱BSD猜想)上有所进展。我还没看到田的预印本,但据听了报告的Y说,用到了张寿武学派(袁新意、张伟等)在相对迹公式方面的新近结果。这里我仅希望就BSD猜想及同余数问题做一简单的讨论。

BSD猜想是千禧七问题之一。Clay所的官方介绍(A.Wiles)是很基本的综述材料。

我们的基本研究对象是\Bbb Q上的椭圆曲线EE(\Bbb Q)(Mordell-Weil群)有自然的交换群结构,之前讨论过的Mordell定理进一步断言E(\Bbb Q)是有限生成的:
E(\Bbb Q)=\Bbb Z^r \oplus T,此处挠群T是某个有限Abel群,r称为E的秩。
我们对T的了解是完全的:Mazur决定了所有15种可能的T。对r的了解却非常少。例如,我们不知道r是否能任意大(有理函数域上的类比猜想已被Shafarevich和Tate证实)。自然地,我们希望给出r的有效刻画。

Swinnerton-Dyer有一句名言:“the zeta function knows everything about number field, we just have to prevail on it to tell us.”随着数论和代数几何的合流以及Weil猜想的解决,当下的研究重点逐渐转移到了对整体域上的代数簇(算术概型)的Weil-Hasse L函数(算术L函数)的研究:它们理应知道“关于算术几何的一切”。
关于E的Weil-Hasse函数L(s,E)的定义(以及Taniyama–Shimura猜想),参见之前的讨论。一个经典结果是a_pHasse上界2\sqrt{p}(等价于椭圆曲线的Weil猜想),这推出L(s,E)\mathrm{Re}\, s>\frac{3}{2}收敛。基于Eichler, Shimura在模椭圆曲线方面的工作以及新近证明的Taniyama–Shimura猜想(模定理),现在知道L(s,E)可解析延拓到整个复平面并且相应的Riemann猜想成立。

(Birch和Swinnerton-Dyer猜想) r等于L(s,E)s=1处零点的阶数m。在模定理已获证明的情况下,已知BSD猜想对m=0,1成立(Coates-Wiles, Gross-Zagier, Kolyvagin, etc.)。
更细致地,人们猜想L(s,E)s=1处展开的Taylor系数和ETate-Shafarevich群的阶数成正比,其证明将推出Tate-Shafarevich群的有限性(即使在函数域上也仍是开问题)。

(1)Tate有一个更为一般的猜想:将\Bbb Q上的椭圆曲线替换为整体域上的Abel簇后,同样的陈述成立。Tate证明其等价于Tate猜想的某个特殊情形。由于一般整体域上的模定理尚未得到证明,即使对于椭圆曲线的L函数此猜想也不是“良陈述”的。
(2)BSD猜想以及一系列深远猜想(Tate, StarkBeilinson-Bloch-Kato, etc.)凝结为所谓的等变Tamagawa数猜想。它仍是上述“哲学”的反映:L函数知道有关数论/算术几何的一切。“迫使L函数说出一切的”主流途径包括尝试着构造“万有上同调论”(Hodge猜想,Tate猜想,动机理论(motive或motif,或许更好的翻译是「母题」),etc.) 和考虑模性(模定理,Langlands纲领,etc.)。前一个方向并没有太大的进展——事实上,Langlands本人相信应该先行完成Langlands纲领的建设,再通过L函数的路径反过来构造动机上同调!

BSD猜想最著名的应用当属同余数问题:所谓同余数,指的是可实现为边长均为有理数的直角三角形的面积的正整数。显然,我们可以假定D无平方因子。简单的初等考量显示D为同余数等价于椭圆曲线E_D: y^2=x^3-D^2x上有某个y \neq 0的有理点。可以证明这样的点不属于T,于是D为同余数又等价于r_D>0
(同余数问题)决定所有同余数D,使得r_D>0
同余数问题历史悠久:Fibonacci证明了r_5>0,Fermat证明了r_1=0,等等。以下是一些已知的部分结果:
给定素数p,(1)p \equiv 3(\mod 8)p不是同余数但2 p是同余数;(2)p \equiv 5(\mod 8)p是同余数;(3)p \equiv 7(\mod 8)p2 p都是同余数。证明这些部分结果的工具是Heegner点的高度理论——著名的Gross-Zagier公式将其与L'(1,E)联系起来。
(弱BSD猜想)BSD猜想对E_D成立。特别的,r_D>0当且仅当L(1,E_D)=0
假定弱BSD猜想成立,则(1)理论上我们能够判定D是否为同余数;(2)Tunnell定理给出在有限步内决定D是否为同余数的算法;(3)可以证明D \equiv 5,6,7(\mod 8)r_D为奇数,故这样的D均为同余数。

据信田野证明了BSD对这样的E_D成立:D是某个8k+5型素数和若干8k+1型素数的乘积,只要\Bbb Q(\sqrt{-D})的类群的4倍映射是单的。鉴于Gross-Zagier公式在低阶曲线上的基本作用,更深入的相对迹公式能给出更好的结果似乎在情理之中。

P.S. For a general problem list, see here.

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