Weil猜想漫谈 II:数杏仁


Zähle die Mandeln,
zähle, was bitter war und dich wachhielt,
zähl mich dazu.

Paul Celan (1920-1970)

记曲线C上的\Bbb F_{q^n}-点集为C(\Bbb F_{q^n})N_n:=|C(\Bbb F_{q^n})|是我们感兴趣的「杏仁」个数。
我们希望说明上一章所定义的Z_C恰好包含了我们需要的所有信息1
\displaystyle \log Z_C(T)=\sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n
为此只需对\displaystyle Z_C(T)=\prod_{x \in C}(1-T^{\deg(x)})^{-1}的两边取对数,并注意到右端可以整理为
\displaystyle -\sum_{x \in C}\log(1-T^{\deg(x)})=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{x\in C}\frac{(T^i)^{\deg(x)}}{i}=\sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n
最后一个等式是因为\displaystyle N_n=\sum_{x\in C,\deg(x)|n}\deg(x).
\zeta_CN_n互相决定,这在方法论上令人满意:研究\zeta_C给出了数「杏仁」的统一途径。

在(A1)中令P_{2g}=(1-a_1 T)\cdots(1-a_{2g} T),则我们有显式
\displaystyle N_n=1+q^n-\sum_{i=1}^{2g}a_i^n
即便在不具体求解a_i(取决于曲线C)的情况下, 「Riemann猜想」(A3)也允许我们给出统一的估计:
(A3’,Hasse-Weil上界) \displaystyle |N_n-1-q^n|\leq 2g q^{n/2}
反过来,利用(A2),请读者自行证明:若(A3′)对\forall n成立,则可逆推出(A3)成立。

现在让我们回溯到现代数论初生的年代,寻找另一条数「杏仁」的线索。在对二次互反律的研究中,Gauss定义了所谓的二次Gauss和,并发现可以用它计算诸如ax^3-by^3=1ax^4-by^4=1y^2=ax^4-b等方程有多少个模p解。他甚至提出了类似Hasse-Weil上界的猜想以估计N_1
Gauss的工作为Jacobi所继承和推广。特别地,他定义了与Gauss和紧密相关的Jacobi和。一般的,选定有限域\Bbb F_q和加法特征\psi: \Bbb F_q \to \Bbb C^{*}. 熟知\Bbb F_q^{*}q-1阶循环群,故任意乘法特征\chi: \Bbb F_q^{*} \to \Bbb C^{*}均由「生成元-单位根」的对应关系完全决定。约定\chi(0)=0,我们定义
Gauss和\displaystyle G_q(\chi):=\sum \chi(r)\psi(r). 平凡特征的Gauss和为0,对于非平凡的\chi|G(\chi)|=q^{1/2}(Gauss定理)。
Jacobi和\displaystyle J_q(\chi_i,\chi_j):=\sum \chi_i(r)\chi_j(1-r).
Gauss和与Jacobi和分别是\Gamma函数Beta函数在有限域上的类比2。特别地,我们有G(\chi_i\chi_j)J(\chi_i,\chi_j)=G(\chi_i)G(\chi_j).
\chi=(\chi_0,\cdots,\chi_r),我们可以推广Jacobi和的定义如下:
\displaystyle J(\chi)=\prod_{i=0}^{r} G(\chi_i)/G(\prod_{i=0}^{r} \chi_i),若\chi_i\displaystyle \prod_{i=0}^{r} \chi_i均不平凡;
\displaystyle J(\chi)=\prod_{i=0}^{r} G(\chi_i)/q,若\chi_i均不平凡但\displaystyle \prod_{i=0}^{r} \chi_i平凡;

Helmut Hasse (1898-1979) 重拾起这条线索:他与Davenport合作,运用Gauss和与Jacobi和,对\Bbb F_q上形如a_0x_0^{n_0}+a_1x_1^{n_1}+a_2x_2^{n_2}=0的仿射曲面证明了估计
\displaystyle |N_1-q^2|\leq M (q-1)q^{1/2}
这是迈向高维的第一步。
Davenport, Hasse  Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen

接下来,就轮到André Weil (1906-1998)登场了。让我们先来看著名的[Weil, 1949]:
Weil  Numbers of solutions of equations in finite fields
对于\Bbb F_q上形如a_0x_0^{n_0}+a_1x_1^{n_1}+\cdots+a_dx_d^{n_d}=0的超曲面,记g_i=(n_i,q-1). 考虑所有\chi=(\chi_0,\cdots,\chi_r),使得\chi_i不平凡,\chi_i^{g_i}平凡且\displaystyle \prod_{i=0}^{r} \chi_i平凡。我们记\displaystyle C(\chi)=\bar{\chi}_0(a_0)\cdots\bar{\chi}_r(a_d)J(\chi).
整理(并推广)Davenport, Hasse的工作,Weil证明了3
\displaystyle N_1=q^d+(q-1)\sum_\chi C(\chi)
由Gauss定理,|C(\chi)|=q^{(d-1)/2},从而有Hasse-Davenport型估计:\displaystyle |N_1-q^d|\leq M (q-1)q^{(d-1)/2}

到目前为止我们仅仅考察了N_1. 利用Gauss和的Hasse-Davenport提升关系,可以找到N_n的生成函数。通过在高维计算和观察具体的例子,Weil提出了著名的Weil猜想
给定定义在\Bbb F_q上的d维光滑射影簇XX(\Bbb F_{q^n})X上的\Bbb F_{q^n}-点集。令N_n:=|X(\Bbb F_{q^n})|并考虑生成函数\displaystyle \log Z_X(T):=\sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n
(W1-) \displaystyle Z_X(T)=\frac{P_1\cdots P_{2d-1}}{P_0\cdots P_{2d}},其中P_i \in \Bbb Z[T]P_0=1-TP_{2d}=1-q^d T
(W2) 函数方程:记\displaystyle e=\sum_{i=0}^{i=2d} (-1)^i\deg(P_{i}),并令\hat{Z}_X(T)=Z_X(T)T^{e/2},则\displaystyle \hat{Z}_X(\frac{1}{q^d T})=\pm \hat{Z}_X(T)
(W3)「Riemann猜想」:P_i的零点有模q^{-i/2}i=0,1,\cdots,2d

和(A1-)类似,(W1-)也有更精细的表述。以Fermat超曲面X:a_0x_0^m+a_1x_1^m+\cdots+a_dx_d^m=0为例,Weil算得:
\displaystyle \sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n=\log(\frac{1}{(1-T)\cdots(1-q^{d-1}T)})+(-1)^d\log P(T)
\displaystyle \deg(P)=\sum_\chi 1\chi=(\chi_0,\cdots,\chi_r),使得\chi_i不平凡,\chi_i^m平凡且\displaystyle \prod_{i=0}^{r} \chi_i平凡。另一方面,Dolbeault告知Weil,如果将a_i提升回\Bbb Z上并考虑作为复代数簇的Fermat超曲面X,则X恰有Poincaré多项式1+T^2+\cdots+T^{2d-2}+\deg(P)T^d
参考(A1),Weil进一步猜想:
(W1)\deg(P_i)=b_i(X)
此时(W2)中的e为代数簇X的Euler示性数。
注意到我们并没有指明此处我们使用的是何种(上)同调论。这个问题非常微妙:事实上,是证明Weil猜想的关键所在。

最后我们想简要谈一谈「整体与局部」的问题。
对于定义在\Bbb Q上的光滑代数簇X,考虑其模p约化。对几乎所有p,约化都是的:给出定义在\Bbb F_p上的光滑代数簇X_p. 此时\displaystyle \zeta_{X_p}(s)=Z_{X_p}(p^{-s}):=\exp(\sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}p^{-ns})称为局部\zeta函数。将这些局部\zeta函数相乘,我们得到一类整体\zeta函数,称为Hasse-Weil \zeta函数4。Riemann \zeta对应X为单点的情形。
Hasse-Weil \zeta / L 函数包含了大量数论信息。仅仅是对椭圆曲线定义的L_E(s)就涉及好几个艰深的数学定理/猜想(参见《有理域上的代数曲线》的最后几篇文章)。
(1) \Re s>3/2时,L_E(s)收敛:等价于(A3′)!
(2) L_E(s)可以解析延拓到全平面,有函数方程,满足「Riemann猜想」:必须借助Wiles,Taylor等人的模定理(谷山-志村猜想)证明。后者作为Langlands纲领的特例,是Wiles证明Fermat大定理的关键;
(3) L_E(s)s=1处的展开性状包含了E的结构信息:这是千禧七大难题之一的Birch和Swinnerton-Dyer猜想,迄今尚未得到证明5
对于高维代数簇X,时至今日,数学界仅仅完成了上面的(1),即Weil猜想的证明。
(2)中的解析延拓猜想和函数方程猜想通常被合称为Hasse-Weil猜想。现阶段我们对一般的X无能为力,所有成果几乎都源于在志村簇上建立Langlands对应的尝试。
最后,让我们也来猜想吧:我们这一代人能对于最一般的X找到类似(3)的精确陈述,提出可能的证明路径,并最终成功证明(哪怕是作为特例的BSD猜想)吗?


  1. 在本文的第一稿中,我们勾勒了一个潦草(因而不正确)的证明。感谢细心的读者Yuzhou Gu指出这一点。如果要作自我辩护的话——这当然是一个玩笑,在数学中没有错误值得辩护——我们非常愿意归咎于坏榜样Littlewood: “Professor Littlewood, when he makes use of an algebraic identity, always saves himself trouble of proving it; he maintains that an identity, if true, can be verified in a few lines by anybody obtuse enough to feel the need for verification.” (Dyson, 1944) 
  2. 考虑K=(\Bbb R,+,*),加法特征\psi(x)=e^{-x}. 若x>0,令乘法特征\chi(x)=x^z=e^{z\log x},否则令\chi(x)=0. 作为乘法群,\Bbb R_{+}有Haar度量dx/x,此时K上的「Gauss积分」和「Jacobi卷积」分别给出\Gamma函数和Beta函数。 
  3. Weil指出华罗庚与Vandiver于同一时期得到了本质相同的结果。华先生曾不止一次与名家「撞车」,最出名的可能是他在多复变函数论方面的工作:他对Siegel模形式的研究几乎与Siegel同时。 
  4. 注意此处我们故意忽略了坏约化(至多有限个)——这是问题中较微妙的部分,涉及到l进表示。 
  5. 尽管通常被认为是余下六个问题中最有希望取得突破的一个。 

2 thoughts on “Weil猜想漫谈 II:数杏仁

  1. “易见”的这句好像不太对。deg是对closed point定义的,Fq point的deg都是1。然后右边需要一个容斥(莫比乌斯反演)。

    • 原先表述得不对,已经订正过来了。Many thanks, Mr. Gu :)

      P.S. 最后比较系数就可以了,不需要Möbius变换。

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