Weil的广博


管窥蠡测,自然有顾及不到的地方,何况我本无意(也无力)潜心写一篇翔实的考据文章——之前曾在《游里功夫独造微》读到小平邦彦眼中的Weil:“脑筋惊人得好,凡是别人想到的问题他差不多都想过了。”我的原意只是为这句话作一个注解。

记忆所及,我所读过的涉及Weil生平的材料大致有

A.Weil  The Apprenticeship of a Mathematician

中文网上流传颇广的《André Weil的一生》有很多内容采自这本回忆录。

S.Weil  Attente de Dieu

读的是杜小真的译本《在期待之中》。Simone Weil被尊奉为“黑暗时期三女哲”之一,公众知名度大概要(远远?)超过André. 然而她说:“我的哥哥天资超人,他的童年和青年时期类似帕斯卡尔,正是他这种天资使我产生死的念头。”

P. Halmos  I want to be a mathematician

Halmos在这本回忆录里指名道姓地宣称Dieudonné(和他本人一样)不过是二流人物(与此同时Le Monde的记者称Dieudonné为“当代数学的化身”),却对曾在Chicago和他共事的Weil佩服得五体投地。

G.Shimura  The map of my life

G.Shimura  André Weil as I knew him

前者是志村的回忆录,后者是Weil去世后志村写的追忆性文章。我总觉得志村努力在Weil面前维持一种不卑不亢的形象,其实是敬畏的表示——对于其他人,他要么秉持一种“疏离的刻薄态度”(说明还有被轻视的价值),要么完全漠视。

同样在Weil身后,Bombieri评论说:”I think of him as one of the few people who shaped the mathematics of the 20th century, his ideas are still fundamental.” 这并不出人意料:尤其是在考虑到Bombieri同样是一个兴趣广泛的人而他的工作领域和Weil有极大的重叠。

公认Weil最感兴趣用功也最勤的还是数论,基于此他才有兴趣去考察代数几何和拓扑群的基础问题。微分几何和复几何对于他来说,可能不是那么核心的论题,不过他的贡献还是出人意料得多。他的另一个特点是酷爱研读经典,并从中发掘研究的素材。这是优点,同时也是弱点:Weil并不具备Grothendieck意义上的“创造性”,虽然这样责备求全并不公平。

豆瓣的Shimura君推荐了Taniyama早年对Weil的一段评论,对这两个特点有很犀利的观察:

“Since he attacks too many problems, he has a tendency to insufficiently investigate a single problem.” “A completely different area, an expected development, a deep relation between several branches which is more than just a formal analogy, do such things no longer exists? It is not possible to pioneer a new such world via Weil’s approach.”

  • Gauss-Bonnet theorem

“千古寸心事,欧高黎嘉陈”,是有趣的总结,不过不可以太当真。可以提的名字还有不少,例如Hopf,是真正开始整体Riemann几何研究的第一人。在Gauss-Bonnet定理的高维推广上,他也是先行者。在陈先生之前,Allendoerfer和Weil得到了高维Gauss-Bonnet定理的第一个完整证明(在不依赖于Nash嵌入定理的意义上),尽管不是内蕴的。因为陈先生的关系,对这段历史的考据已经汗牛充栋,此处不赘。

  • Chern-Weil theory

基本上是Gauss-Bonnet定理内蕴证明的衍生工作:陈先生的算功和Weil的眼力都是一流的。同样在那篇名文《菩萨、量子数与陈氏级》里,杨振宁先生提到1948年Weil和Fermi的一番谈话,回想起来大概和示性类在粒子物理里的应用有关。Weil据说是讨厌物理的(教师资格考试的时候交了白卷),何以有这样“智差二十年”的先见之明,颇让人诧异。

殆复流形的概念是Hopf的贡献,陈先生和Weil对此都很感兴趣。建议Nirenberg在这个方向上做一尝试也是他们两人(参见Nirenberg追忆陈先生的文章,收录在S.S.Chern: A Great Geometer of the Twentieth Century里)。

Newlander和Nirenberg的主要贡献在于对PDE的正则性分析:对于实解析流形,Weil很清楚地知道同样的结果成立,参见他的名著Introduction à l’étude des variétés kählériennes.

  • Several complex variables

Weil和Ahlfors交谊深厚。一件轶事是Ahlfors曾打赌说只要Weil能推广Gauss-Bonnet公式到高维,他就能把Nevanlinna理论推广到多复变情形。Weil做到了,但Ahlfors却没能完成他所承诺的推广。

Weil本人在印度曾集中研究过多复变函数论,成果之一是把Cauchy积分公式推广为Bergman-Weil公式

  • Weil-Petersson metric

Weil和Ahlfors的另一次合作是关于Teichmüller空间上的Weil-Petersson度量。Weil给出了定义,并猜想这一度量是Kähler度量。这一次Ahlfors成功地给出了证明。

  • Foundations of Kähler geometry

就这个论题Kähler本人从来没有写过总结性的著作,Weil的Introduction à l’étude des variétés kählériennes大概是Griffiths-Harris之前最权威的一本。

关于Kähler恒等式(Hodge恒等式)与\mathfrak{sl}_2的表示论的关系,直到70年代仍不是标准材料 (O.Wells在写Differential Analysis on Complex Manifolds时就不知道)。我不确定这一观察的优先权属于谁:陈先生肯定知道这一点(在他推广Lefschetz定理的工作中运用了这一事实,Griffiths很可能是从陈先生那里学去的),Weil也知道这一点。

另外,萧荫堂的成名之作“K3曲面是Kähler流形”最初也以猜想的形式出现在Weil的书里。

  • Uniform space

“Bourbaki建立了一般拓扑学”并不是夸张:H.Cartan提出了滤子的概念,仿紧空间是Dieudonné的贡献,一致空间则要归功于Weil。他为此专门写了一本书:Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale.

  • Haar measure

Weil对拓扑群的兴趣源于他在此基础上建立类域论的尝试(也是日后Basic number theory的主要内容)。

一个中心论题是不变测度的存在性。对于紧群,这一点是von Neumann证明的(简单的平均化技巧),Haar证明了局部紧群上左不变测度的存在性和唯一性(在第二可数假定下),第一个一般的证明是Weil做出的,参见他的专著L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications.

  • Pontryagin duality

另一个相似的例子是Pontryagin对偶。Pontryagin的讨论同样依赖于第二可数这一技术假定,Weil成功地给出了一般的证明。

这些关于Haar测度和Pontryagin对偶的讨论是局部紧群上的调和分析的肇始。

  • Fixed point theorems

和von Neumann一样,Weil钟爱不动点定理。例如他用Lefshetz不动点定理证明了紧拓扑群的极大环面两两共轭,这与基于Lie代数的处理(Weyl)以及基于Riemann几何的处理(E.Cartan)迥然不同。不动点定理也以相交理论的面貌出现在他对代数几何基础和Weil猜想的讨论中。

  • Borel-Weil theorem

这条定理通常被视为几何表示论的开山之作,但我没有仔细考究过它的历史。A.Borel是本色当行的Lie群专家,但我不清楚Weil在这条定理中所扮演的角色——或许只是以他丰富的经验“不经意间”指点了某处关键?

  • De-Rham theorem

Weil在同调论方面的另一个贡献是独立给出了de Rham定理的证明,其意义只有在H.Cartan开始层论研究的时候才被发掘出来——那事实上是de Rham定理的第一个层论证明,也就是Bott-Tu中可以读到的那个证明。

  • Riemann-Roch theorem

在Chevalley提出ideles群的概念之后,Weil继而提出了adele环的概念,并应用于Riemann-Roch定理的代数证明(可以在Basic number theory里读到)。另一个研究Riemann-Roch定理的副产品是Weil除子的概念。

Weil还给出了Riemann-Roch定理的一个推广:对代数曲线上的全纯向量丛给出了计算其Euler示性数的公式。同样在层论得到发展之后,Serre的重新诠释最终导致了Hirzebruch-Riemann-Roch乃至Grothendieck-Riemann-Roch的证明。

  • Weil conjecture

在数论和算术几何中有各式各样的L-函数,这方面的研究是Weil工作中复现的主题(motif)。

Weil本人认为从数域与有限域上的函数域的类比出发所做的系列研究是他最好的工作:对有限域上的代数曲线证明了Riemann猜想,并提出了Weil猜想。Weil猜想可以翻译为某个上同调论的观察是Serre告知Grothendieck的,而最早发现这一点的是Weil。可以说他是Lefschetz和Grothendieck之间的桥梁。

除了在经典工作上作进一步的深化(例如Weil精确公式),Weil似乎没有直接攻击过Riemann猜想。Weil猜想得到证明后,Weil对Riemann猜想的证明非常乐观,以至于陈先生一度建议丘成桐去做这个方向。历史或许应该感谢丘先生的不听劝告。

  • Abelian varieties

众所周知20世纪后半叶代数几何的2大突破 (Deligne对Weil猜想的证明,Faltings对Mordell猜想的证明) 都与Weil的名字密不可分。Weil本人考虑这2个问题的角度或多或少是经典的。例如Mordell-Weil定理的证明是如下计划的一部分:将代数曲线的有关理论系统地推广到Jacobi簇上,后者是当时仅有的了解得较好的高维代数簇。在证明了Mordell-Weil定理后,Weil一度误以为自己也能解决Mordell猜想。Hadamard曾建议Weil将Mordell猜想彻底解决后再一并发表:他显然错估了后者的难度。历史或许也应该感谢Weil的不听劝告。

Weil对椭圆曲线和Jacobi簇的研究有很多具体的成果,比如Hasse-Weil上界(等价于1维Weil猜想),比如Weil配对。不过最重要的是,经由他的工作Abel簇的概念和基本的性质最终得以建立。

  • Foundations of algebraic geometry

将代数几何彻底“代数化”(从而应用于数论)的梦想可以追溯到Dedekind和Kronecker。Weil和Zariski是复兴这一梦想的领军人物,其中又以Weil对数论的方面(即现在的算术几何)较感兴趣。

Weil在代数几何基础方面的工作肇始于他对1维Weil猜想的研究。为完成证明,他需要一个严格定义的相交理论。在当时占统治地位的意大利代数几何学派那里找不到这样的理论。

时至今日Weil的Foundations of algebraic geometry已不再被认为是“基础”了,几乎所有门徒都已被EGA吸引走。不过,它仍向我们展示了一流数学家做数学的方式:当工作缺少基础的时候,就自己打造一个。在这一点上,此书有与EGA相当的价值。

  • Algebraic groups

Bourbaki有研究Lie群和代数群的传统:首先是Chevalley,继之以A. Borel. 我猜想Weil在这方面的兴趣大概和他们两人有密切的关系,当然代数群本身就与数论密不可分。以他命名的概念包括Weil–Châtelet群以及有关Tamagawa数的Weil猜想

Weil没有专攻过代数群表示的一般理论,但他仍有重要的贡献。最著名的大概是他的”Acta Paper“:重新诠释了Siegel在二次型方面的工作并将解析数论和亚辛群(metaplectic group)的Weil表示联系起来。

  • Artin猜想

1940年Weil列出了他眼中最重要的两个问题:一是1维Weil猜想,一是证明Artin L-函数在复平面上的解析性。
基于Langlands哲学,如今我们有更强的猜想:这些L-函数全部来自自守表示,这被称为Galois表示的模性(modularity)。
Weil证明了所谓的Weil逆定理,这是通往2维Artin猜想证明的第一步。时至今日,这仍是数论研究的最前沿。

  • Taniyama–Shimura猜想

对于代数域上的代数簇,Weil定义了Hasse-Weil L函数。此情况下的Artin猜想被称为Hasse-Weil猜想。
\Bbb Q上的椭圆曲线满足模性,这个命题以Taniyama-Shimura猜想的名字闻名于世。如今更为恰当的称呼或许是模定理。相关的故事可以在太多地方读到。或许连提及Fermat大定理和Wiles的名字都是不必要的。
关于Weil的名字是否应该加到这个猜想上有连篇累牍的论战,比较接近事实真相的陈述或许是:谷山第一个暗示了此类联系的存在,精确猜想的提出归功于志村,而Weil至少有广而告之的功劳。

上述讨论仅仅是浮光掠影的鸟瞰,希望能管窥Weil之广博于一斑。

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