月旦 VIII


For September, 2016

首先,是最大孪生素数对的新纪录
2996863034895*2^{1290000}\pm 1
今年年初,已知最大(Mersenne)素数的记录刚刚被刷新,详见《月旦I》。
下个月的月旦会讨论一个与孪生素数相关的话题,敬请期待。

经过「精心预谋」,我们已将《Weil猜想漫谈》更新到了合适的进度,使我们能进行下面两个话题的讨论:

我们希望从一篇expository article谈起:
Zagier Values of Zeta Functions and Their Applications
这篇短文包含非常丰富的内容,最初等的(或许也是最有趣的)是\zeta(2)=\pi^2/6的「极简证明」。剩下的内容围绕动机 (motivic)1\zeta函数在不同数学领域中的种种面相展开,包括《漫谈II》中提及Hasse-Weil函数,以及(可能会让物理研究者感兴趣的)在计算Feynman图时频繁出现的各种周期多元\zeta函数
后续的进展包括:
(1)借助Grothendieck和Tate对动机的经典猜想,Kontsevich和Zagier提出了判定Feynman积分的Taylor展开系数(周期)是否为多元\zeta函数值的方法:考虑\Bbb Q上代数簇X的模p约化,此时「杏仁数」N_p应为p的多项式——我们回到了《漫谈II》!
Kontsevich, Zagier Periods
(2)Kapranov定义了以他命名的Kapranov \zeta函数(将Hasse-Weil \zeta函数中Grothendieck环到整数的计数映射换成恒等映射),从而将Zagier论及的2个主题真正联系到一起。
这个方向上的研究已有不少成果,我们仅提及一个,即Larsen和Lunts证明了对代数曲面X,Kapranov \zeta函数为有理函数当且仅当XKodaira维数-\infty(对比Hasse-Weil \zeta函数的情形)。我们注意到,Gu Yuzhou同学就这个结果写有一篇expository article.
关于上述后续进展,可以参见Yves André的总结。我们希望用这段讨论向Gu Yuzhou同学表达谢意:他指出了《漫谈II》中的一处错误。

另一个与《漫谈》有关的话题是Kowalski回顾并总结了4年前他提出的「双射挑战」:证明\Bbb F_p上两条同源椭圆曲线EE'\Bbb F_p点集存在(典范的)一一对应关系。注意到N_p=N_p'相等可以用多种手段证明:有代数的,也有分析的,有「初等」的,也有不那么「初等」的。
对此感兴趣的读者不妨一试身手。

David Mumford终于再度更新了他的blog:这次他回忆了他与Shafarevich的交往,并论及反犹主义,「民族」与「传统」,当今世界的保守思潮,以及——不能免俗的——Donald Trump.

同伦型理论 (Homotopy Type Theory, HoTT)真的会对逻辑学、形而上学和物理哲学产生影响吗?我没有下判断的资格。是的,型理论和分析哲学有着相同的源头:Russell, Frege, etc. 但这种亲缘关系似乎无法保证什么。从纯数学的角度看,范畴论确确实实产生了新的成果,但HoTT相对于集合论公理体系的优势在哪里呢?似乎也没有看到特别值得一提的例子。那么,我们究竟在追求什么?
我对理论的了解太少。而我想知道的问题又太多。

John Baez以《Struggles with the Continuum》为题写作的系列文章讨论连续时空假设给物理学带来的种种问题。这个系列的文章质量不是很均匀,不过——读者可能已经注意到——Struggles with the Continuum,也可以说是fight with infinity,这是我们关注这个系列的原因。

Quanta Magazine刊登了又一篇讨论弦论前景的文章。我想引述的仅仅是Juan Maldacena的一句话,即string theory的「再定义」:“STRINGS: Solid Theoretical Research in Natural Geometric Structures”. 这个定义既有极其广泛的包容性 (“natural” & “geometric”),也为进一步研究提出了指导原则 (“solid”)。I like it!

8月的丘王之争,一个焦点是杨振宁先生的取态。本月,被卷入漩涡的杨先生正式表明了反对建设超大型对撞机的态度,现任高能所所长王贻芳则对杨先生的论点进行了一一驳斥,甚至翻出了旧账,同时也是「李杨之争」中的某个小插曲:在70年代,杨就反对李在中国建设高能加速器的提议。
争论的升级「惊动」了新华社和众多外媒,并在更大的范围内引发了正反两方的激烈辩论。
「赛先生」主编文小刚对过去300天的争辩进行了回顾

关于量子卫星,潘建伟接受了官媒的访问
在涉及大型科技项目的决策上,即使是中国政府也无法完全忽略来自老百姓的意见,媒体的作用因此得以凸显。
科学家或多或少都有「教育人」的经验。然而,他们是否擅长「说服人」呢?(官媒是另一回事,是训喻而不是说服。)在我看来,有些科学家在这方面做得较好,有些,则还需要努力。

关于「韩春雨事件」,本月有更多的后续:
方舟子 调查韩春雨造假问题的最终解决办法
甄大元(化名) 河北科大应启动对韩春雨的学术诚信调查:这是对他的最好保护
时间在慢慢过去。我们依然抱着良好的期待,期待这不会成为另一桩丑闻。然而事实不区分善意和恶意。事实最终只会显露为事实。


  1. 如同以前提到过的,我们认为「母题」可能是更合适的中译。 

2 thoughts on “月旦 VIII

  1. h says:

    路过说几句。在我看来,HoTT 对数学的真正 “用处”,除了 synthetic homotopy theory 之类,核心在于这套语言有助于对 ∞-category 的深入理解。目前的 (∞,1)-category 定义以集合论为基础的话,对一般人来说都太 technical 了,在 HoTT 里要自然得多。

    我这么说是想起某人跟 Ravi Vakil 吃饭聊天的时候说,数学要发展到一定程度,中学生或者大学本科生也要学 topos theory, Ravi 不认可,认为 topos 总归太抽象。两人的说法都有道理,但我觉得 HoTT 发展到一定程度可以调和这类矛盾,基于 HoTT 发展的数学里这类现在被认为 “抽象” 的概念会变得比较简单。Simplicial set 之类的也会变得比较自然,因为 HoTT 里的很多内容可以看做是在 sSet 或者某个 topos 里做 internal mathematics. (sSet 只是 HoTT 的模型之一。)

    最后建议把 HoTT 翻译成同伦“类型”论,因为这东西更接近 homotopy (type theory) 而不是 (homotopy type) theory. 尽管可以牵强地和后者扯上点关系。

    • 多谢指教。

      在我看来「观点」是这样的东西:仅仅让某类事物变得简单还不够,它必须提供足够的化简,使得我们可以避免一再的重复劳动,化简的总量至少不能少于为了学习这种「观点」所付出的劳力——如果这个不等式不成立,那么人就不可能通过「新观点」(更有效率的「打包」)来在有限的时间里(比方说,15岁到30岁)学到持续膨胀的数学知识。

      HoTT这种新观点目前只能提升很少一部分人在很小一部分数学中工作的效率(和范畴论相比,更不要说集合论了),对绝大多数数学工作者来说,不值得付出时间去了解。未来会怎样? Let’s see.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s