Weil猜想漫谈 Ⅰ:zeta种种


前言

《Weil猜想漫谈》是对《Riemann猜想漫谈》的致敬和补充。如果读者对Riemann \zeta函数的基本性质不甚了解,建议在进行这个系列的阅读之前,先行补充相关的知识:可以从面向大众的科普《Riemann猜想漫谈》开始,也可以直接参考更专业的书籍。
此外我们假定读者对代数几何和代数拓扑有最基本的了解。简单地说,能形成「射影代数簇」和「同调群」的几何想象就可以了。我们的漫谈将会是「几何式的」:我们希望最终读者能「看」懂Deligne的证明,而无需深入到代数细节中去。这也符合「漫谈」的定义。对于希望彻底理解所有细节的读者,我们能给出的最好建议是直接阅读SGA系列中的4\displaystyle 4\frac{1}{2}5,还有7.
最后,如果读者对模形式理论有所了解,例如,读过A Course in Arithmetics的第7章,那将再好不过。
不过,上述所有要求都不是必要的。毋宁说我们真正要求的是一定的数学成熟度(maturity). 或者,退到更基本的层面,是足够强烈的好奇心加上足够多的时间投入。

可以说Weil猜想的故事有两个源头:一是Gauss,一是Riemann. 也可以说Weil猜想的故事只有一个源头:德国数论学派,或者,局限到一个地点,Göttingen.
我们选择从Riemann对\zeta函数的研究开始我们的漫谈。
熟知Riemann \zeta函数指的是定义在\Re{s}>1上的解析函数\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}.
这个函数在数论中占有核心地位:可以利用它的Euler积形式\displaystyle \zeta(s)=\prod_{p}(1-p^{-s})^{-1}研究素数p的分布。
Riemann的贡献包括但不限于:
(R1) 给出了\zeta(s)在整个复平面上的解析延拓,延拓后的亚纯函数\zeta(s)仅在s=1处有单极点;
(R2) 考虑\zeta函数的「修正」\hat{\zeta}(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s),此处\GammaGamma函数
\hat{\zeta}(s)满足函数方程\hat{\zeta}(s)=\hat{\zeta}(1-s)
(R3) 提出了著名的Riemann猜想
\hat{\zeta}(s)的所有零点都分布在函数方程的对称轴\Re{s}=1/2上;

Dedekind将上述想法推广到一般数域K上。定义K的Dedekind \zeta函数为\displaystyle \zeta_K(s)=\sum_{\frak{a}}N(\frak{a})^{-s}=\prod_{\frak{p}}(1-N(\frak{p})^{-s})^{-1}\frak{a}取遍O_K的非零理想,N(\frak{a})=|O_K/\frak{a}|\frak{p}取遍O_K的极大理想1
Hecke给出了\zeta_K(s)在整个复平面上的解析延拓,延拓后的亚纯函数\zeta_K(s)仅在s=1处有单极点。类似的,此时我们也有函数方程和「Riemann猜想」(通常称为扩展Riemann猜想,Extended Riemann hypothesis).

引导数论/算术几何发展的一条核心线索是数域和函数域的类比。在函数域上陈述的猜想往往更容易证明,因为此时我们可以应用几何想象力来辅助研究。这是早在19世纪后半叶就被广泛注意到的事实(Dedekind, Kronecker, etc.)。
Heinrich Kornblum (1890-1914) 首先考虑了Riemann \zeta函数在函数域上的类比。给定有限域\Bbb{F}_pF=\Bbb{F}_p(U),定义\displaystyle \zeta_F(s)=\prod_{h}(1-N(h)^{-s})^{-1}h取遍\Bbb{F}_p[U]中所有首一不可约多项式,N(h)=p^{\deg(h)}. 不难证明此时我们有显式\displaystyle \zeta_F(s)=(1-p^{1-s})^{-1}.
Kornblum还考虑了FL-函数,并证明了Dirichlet算术级数定理的类比2:对于互素的非零多项式a,b \in \Bbb{F}_p[U],存在无穷多个首一不可约多项式h使得h \equiv b \mod a. 读者可以自行尝试复现他的推理:模仿我们之前介绍过的Dirichlet定理的解析证明
在此,我们看到了函数域(几何)比数域(数论)「简单」的第一个重要迹象:函数域上的\zeta函数实际上是有理函数。

下一个进场的是同样来自Göttingen学派的代数大师Emil Artin (1898-1962). 1923年,模仿Dedekind,他考虑了函数域的有限扩张,特别是二次扩张。具体地说,给定特征p的有限域\Bbb{F}_qF_0=\Bbb{F}_q(U)F=F_0(V)V^2=P(U),此处P是没有重根的多项式。熟悉代数几何的读者可能已经发现,我们定义的F正是光滑仿射代数曲线C:=\{(v,u) \in \Bbb{F}_p^2:v^2=P(u)\}的函数域。老读者则可能会回想起这个博客早期有一系列题为《有理域上的代数曲线》的文章,讨论过\Bbb Q上类似方程的求解。
由此可以给出\zeta的几何定义。F的极大理想对应C上的闭点。定义\displaystyle \zeta_C(s)=\prod_{x \in C}(1-N(x)^{-s})^{-1}x取遍C上的闭点,N(x)=q^{\deg(x)}.
上述\zeta_C的定义可以不改一字地照搬到射影曲线上。以下我们仅考虑光滑射影曲线。
通过试验,Artin提出了如下猜想:
(A1-) \zeta_C可以写成Z_C(q^{-s})的形式,Z_C(T)=P(T)/Q(T)P,Q \in \Bbb{Z}[T];
(A2) 函数方程:令\displaystyle \hat{Z}_C(T)=Z_C(T)(T^{1/2})^{\deg(Q)-\deg(P)},则\hat{Z}_C(T)=\hat{Z}_C(1/qT)
(A3)「Riemann猜想」:P(T)的所有零点都分布在函数方程的对称圆|T|=q^{-1/2}上;

Kornblum研究的实际上是C=P_{\Bbb F_q}^1,或者说曲线亏格g=0的情况:\displaystyle \zeta_C(s)=(1-p^s)^{-1}\zeta_F(s),添上的一项对应\infty的贡献。此时\displaystyle Z_{P_{\Bbb F_q}^1}(T)=\frac{1}{(1-T)(1-qT)}. 这个简单的有理表达式让函数方程甚至「Riemann猜想」均成为平凡的!

1932年,Friedrich Karl Schmidt (1901-1977) 对于一般射影曲线证明了更精细的:
(A1) \displaystyle Z_C(T)=\frac{P_{2g}(T)}{(1-T)(1-qT)}2g次多项式P_{2g}\in \Bbb Z[T]g是曲线C的亏格;
同时也得到了函数方程(A2)的证明。
几何比数论「简单」的第二个重要迹象于此显露:几何起源的\zeta函数包含了几何对象的拓扑信息。反过来,如果我们对于几何对象的拓扑有了足够的了解,不难想象这将极大地推动\zeta的研究。事实上,Schmidt的上述证明正是基于他一生中最重要的工作:建立了有限域上的光滑射影曲线的Riemann-Roch定理
自此,代数拓扑方面的研究成为Weil猜想研究的主轴。我们将在讨论Weil上同调论时回顾Schmidt的工作。

另一方面,Schmidt却未能给出(A3),即「Riemann猜想」的证明。几年后Hasse成功证明了g=1,即椭圆曲线的情况,一个一般性的证明要等到40年代Weil的登场。这是Weil猜想「史前史」的终点,也是Weil猜想的起点。


  1. 熟知Dedekind整环Knull维数1:所有非零素理想都是极大理想。这解释了记号\frak{p}
  2. Kornblum不幸于一战中战死。他关于Dirichlet定理的遗稿Uber die Primfunktionen in einer arithmetischen Progression经Landau之手于1919年发布。 

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