Pauli矩阵,表示论与Kähler恒等式


我们曾经讨论过电子自旋的数学理论:3个正交方向上的自旋算子由S_k=\sigma_k/2给出(k=1,2,3),\sigma_1=\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\sigma_2=\begin{pmatrix} 0&-i \\ i&0 \end{pmatrix}\sigma_3=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}Pauli矩阵。由Heisenberg图像X_k=iS_k\mathfrak{su}_2的一组基。

作为Lie代数,\mathfrak{su}_2上有基本交换关系:[X_j,X_k]=-X_l对正置换(jkl)成立。

考虑\mathfrak{su}_2在复向量空间V上的表示\rho\mathrm{SU}_2是紧Lie群,由Peter-Weyl定理\rho可分解为有限维不可约表示的直和。 不妨假定\rho已是有限维不可约表示。

\mathfrak{sl}_2=\mathfrak{su}_2 \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}(\mathfrak{su}_2\mathfrak{sl}_2紧实形式),\rho的复化(仍以\rho记)给出\mathfrak{sl}_2的表示。取S_+=S_1+iS_2S_-=S_1-iS_2S_3为基,有恒等式

[S_3,S_\pm]=\pm S_\pm[S_+,S_-]=2S_3

V^\lambda\rho(S_3)权空间,由交换关系不难推知\rho(S_\pm):V^\lambda \to V^{\lambda \pm 1}v \in V^\lambda称为本原的,若\rho(S_+)v=0。以P记本原空间,由V的不可约性得到

(本原分解)V=\oplus_{l \geq 0} \rho(S_-)^l P。进而推知

(S_3的谱分解)所有\lambda均为半整数,\displaystyle V=V^{-\frac{m-1}{2}} \oplus V^{-\frac{m-3}{2}}\oplus \cdots \oplus V^\frac{m-1}{2}。特别地,\rho(S_\pm)^n:V^{\pm n/2} \to V^{\mp n/2}定义了一个同构。

上述2个分解相容。以P^\lambdaP \cup V^\lambda,我们得到

(精细分解)V^\lambda=\oplus_{l \geq 0} \rho(S_-)^l P^{\lambda+l}

S_\pm在物理上对应阶梯算子,这是研究角动量算子和量子谐振子的标准工具。在量子场论中,其对应物是创生/消灭算子。

从Witten的观点看,Riemann流形上的几何分析与量子力学相平行:\Omega^*(M)对应波函数,\triangle_d对应Hamilton量,等等。更进一步,弦论考虑带有复结构的时空:紧Kähler流形M,生成/湮灭算子由L: \mu\mapsto \omega \wedge \muL^*给出。定义分次算子 h=\sum (n-k)\Pi^k\Pi^k:\Omega^*(M) \to \Omega^k(M)为投影算子。LL^*h均与\triangle_d交换,从而作用在有限维空间\mathcal{H}^{*}(M)上。事实上,它们生成\mathfrak{sl}_2的一个表示:

\rho(S_+)=L^*/2\rho(S_-)=L/2\rho(S_3)=h/2

交换关系给出Kähler恒等式[L^*,L]=h[h,L]=-2L[h,L^*]=2L^*

h的谱对应\mathcal{H}^{*}(M)的分次结构。结合Hodge定理得到

(Lefschetz对偶)L^k: H^{n-k}_{dR}(M) \to H^{n+k}_{dR}(M)是同构,这推广了Poincaré对偶。

算子L给出的信息不止于此。k \leq n时,L作用在H^k_{dR}(M)上是单射,我们得到不等式b_{k-2}\leq b_k,这从拓扑上刻画了Kähler流形。

定义本原de Rham上同调P_{dR}^k(M)=(\ker L^*)\cap H_{dR}^k(M),精细分解对应

(Lefschetz分解)H_{dR}^k(M)=\oplus_{l \geq 0} L^l P_{dR}^{k-2l}(M)

Lefschetz对L的理解是几何的。考虑代数流形M \subset P^N,Fubini-Study度量的Kähler形式是超平面H的Poincaré对偶,其在M上的限制\omega则是W=M \cap H \subset M的Poincaré对偶。原始版本的Lefschetz对偶可叙述为:相交操作\cap W^{N-k}诱导同调群的同构H_{n+k}(M) \to H_{n-k}(M)

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