Weil猜想漫谈:幕间 VIII


d维光滑射影簇X上,Frobenius元素\pi自然作用于l-进上同调群H^i(\bar{X}_{et},\Bbb Q_l). 我们希望证明
W(X)\pi的所有特征值均为代数数,且有模q^{i/2}.
注意到这完全刻画了Z_X(T)的根,因而特征多项式P_i(T)\in \Bbb Q[T]l的选取无关。为简单起见,暂且将H^i(\bar{X}_{et},\Bbb Q_l)记成H^i(X).

在进入对Deligne I的讨论前,让我们「轻松」一下:假想现在是60年代而我们是(尚未提出标准猜想的)Grothendieck,让我们试着来证明W(X).

最自然的思路当然是对d作归纳。弱Lefschetz定理(「公理」7)立即派上了用场:与Poincaré对偶(「公理」4)相结合,并应用归纳假设,W(X)被简化为
W(X)^d\piH^d(X)上作用的所有特征值均为代数数,且有模q^{d/2}.

另一方面,假定W(X)W(Y)成立,由Künneth公式(「公理」5),Z_{X \times Y}(T)Z_{X}(T)Z_{Y}(T)的Rankin-Selberg张量积:记A(T)=\prod_i(1-a_i T)\prod_I(1-a_I T)^{-1}B(T)=\prod_j(1-b_j T)\prod_J(1-b_J T)^{-1},称C(T)=\prod_k(1-c_k T)\prod_K(1-c_K T)^{-1}A(T)B(T)的Rankin-Selberg张量积,若\{c_k\}=\{a_ib_j\}\{c_K\}=\{a_Ib_J\}.
于是W(X \times Y)成立。一个良好的开始!
我们提醒读者,我们曾在《漫谈 III:第二主题》考虑过Hecke L-函数的Rankin-Selberg张量积,并用Landau定理给出了|a_i|的上界,我们眼下的任务则是归纳估计|c_k||c_K|的模——两个主题之间有非常明显的平行性。这一平行性将最终允许我们证明Ramanujan-Petersson猜想。

基于这个简单的推理,Grothendieck曾做过非常「天真」的猜想(立即被Serre证否了1):任何射影簇都双有理等价于曲线乘积的商。问题在于,Künneth公式要求一个整体乘积结构,这个限制太强了。局部乘积结构要常见得多——大家都很熟悉拓扑中的纤维丛理论。Deligne选择的约化方式是:任何射影簇X都双有理等价于某个\tilde{X},使得存在Lefschetz纤维化\phi:\tilde{X} \to P^1. 在复代数几何中,这个纤维化可以经由名为「Lefschetz铅笔」的构造得到,由此发展出了所谓的Picard-Lefschetz理论。

那么,让我们先来考虑Picard-Lefschetz理论及其代数化。对每根纤维应用归纳假设,让我们看看,这将把我们带向何方。


  1. 详见Grothendieck-Serre Correspondence

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