Weil猜想漫谈 III:第二主题


通常在介绍Weil猜想时,「第二主题」的进入会被推迟到「末乐章」——即Deligne完成证明的最后一步。这不尽合乎历史发展的顺序,也破坏了Langlands所揭示的两个主题的对应结构。因此,我们决定在发展「第一主题」之前,让「第二主题」先行进入。具体地说,我们将暂时离开代数几何,而去考察起源于自守形式理论的另一大类L函数。

熟知模形式\displaystyle \Delta(z)=q\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)^{24}q=e^{2\pi\sqrt{-1}z}是(精确到常数意义上)唯一的权为12的尖点形式
(1) \displaystyle \Delta(\frac{az+b}{cz+d})=(cz+d)^{12}\Delta(z)
(2) Fourier展开\displaystyle \Delta(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n无常数项;
1916年,Ramanujan证明了:
(1) 对于素数p\tau(p) \equiv 1+p^{11}\mod 691
并提出了如下猜想:
(2) \tau满足递推式:
(2.1) \tau(mn)=\tau(m)\tau(n),若(m,n)=1
(2.2) \tau(p^{i+1})=\tau(p^{i})\tau(p)-p^{11}\tau(p^{i-1}),若p为素数;
或者等价的,
(2′) L函数\displaystyle L_\Delta=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)n^{-s}有Euler积表示\displaystyle \prod_p Q_p(p^{-s})^{-1},其中Q_p(T)=1-\tau(p)T+p^{11} T^2
(3, Ramanujan猜想) |\tau(p)|<2p^{11/2},即Q_p(X)无实根;
结合(2),我们可以将(3)改写成等价的(请读者证明)
(3′) |\tau(n)|<\sigma_0(n)n^{11/2}\displaystyle \sigma_0(n)=\sum_{d|n}1除数函数
(3”) |\tau(n)|=O(n^{11/2+\epsilon})\forall \epsilon>0
注意,对Fourier系数的初等估计已给出\tau(n)=O(n^6).

(1)的证明只需注意到:作为权12的模形式,E_6^2可以表成\displaystyle E_{12}+\frac{a}{691}\Deltaa \in \Bbb Z
691的出现是因为我们有Eisenstein级数展开:
\displaystyle E_{12}(z)=1+\frac{65520}{691}\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{11}(n)q^n\displaystyle \sigma_q(n)=\sum_{d|n}d^q
Mordell对(2)的证明发展为Hecke理论1
以下称模形式f是归一的,若f的Fourier系数\lambda_f(n)=O(n^C)C>0,且\lambda_f(1)=1.
在权为k的模形式空间M_k上可定义Hecke算子T_k(n): M_k \to M_k,满足T_k(m)T_k(n)=T_k(n)T_k(m).
若归一模形式f同时为所有Hecke算子T(n)的特征函数,则f有对应的Hecke L函数
\displaystyle L_f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_f(n)n^{-s}=\prod_p(1-\lambda_f(p)p^{-s}+p^{k-1-2s})^{-1}
(Hecke) \hat{L}_f(s)=(2\pi)^{-s}\Gamma(s)L_f(s)可解析延拓为:整函数,若f是尖点形式;仅在s=0s=k处有单极点的亚纯函数,若f非尖点形式。\hat{L}_f满足函数方程\hat{L}_f(k-s)=(-1)^{k/2}\hat{L}(s).
特别地,限制到尖点形式空间S_k上,Petersson内积使Hecke算子成为一族可互换的自共轭算子,从而给出S_k的一族正交单位基。对于归一Hecke特征形式f,我们可以将(3)推广为
(Ramanujan-Petersson猜想) |\lambda_f(p)|<2p^{(k-1)/2},或者等价的,|\lambda_f(n)|=O(n^{(k-1)/2+\epsilon})\forall \epsilon>0

1939年Rankin迈出了朝Ramanujan-Petersson猜想推进的第一步。这是著名的Rankin-Selberg方法的一个应用。
给定权为k的归一模形式\displaystyle f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a(n)q^n\displaystyle g(z)=\sum_{n=1}^{\infty}b(n)q^n,考虑对应的Hecke L函数\displaystyle L_f(s)=\prod_p[(1-\alpha_1(p)p^{-s})(1-\alpha_2(p)p^{-s})]^{-1}\displaystyle L_g(s)=\prod_p[(1-\beta_1(p)p^{-s})(1-\beta_2(p)p^{-s})]^{-1}
此时我们可以定义张量积\displaystyle L_{f\otimes g}(s)=\prod_p[(1-\alpha_1\beta_1(p)p^{-s})(1-\alpha_1\beta_2(p)p^{-s})(1-\alpha_2\beta_1(p)p^{-s})(1-\alpha_2\beta_2(p)p^{-s})]^{-1}
不难证明\displaystyle L_{f\otimes g}(s)=\zeta(2s-2k+2)\sum_{n=1}^{\infty}a(n)b(n)n^{-s}.
(Rankin-Selberg)\displaystyle \hat{L}_{f\otimes g}(s)=(2\pi)^{-2s}\Gamma(s)\Gamma(s-k+1)L_{f\otimes g}(s)可以延拓为全平面上的亚纯函数,至多在s=ks=k-1处有单极点,并满足函数方程\displaystyle \hat{L}_{f\otimes g}(s)=\hat{L}_{f\otimes g}(2k-1-s).
例1\displaystyle g=-\frac{B_k}{2k}E_k\displaystyle L_{f \otimes g}(s)=L_f(s)L_f(s-k+1). 注意到此式给出了又一种解析延拓L_f(s)的方式。
例2 L_{f \otimes f}(s)s=ks=k-1处有单极点,由此知Dirichlet级数\displaystyle D(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_f(n)^2 n^{-s}的所有可能极点中,s=k的实部最大。
另一方面,给定\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}c_nn^{-s}c_n\in \Bbb R_{+},我们有经典的
(Landau) 若该Dirichlet级数在某个半平面\Re{s}>l内绝对收敛,l_0=\inf \{l\} >-\infty,则级数在s=l_0处有奇点。
特别的,D(s)\Re{s}>k内绝对收敛。若将D(s)在绝对收敛区域内写成Euler积形式\displaystyle D(s)=\prod_p \frac{1}{(1-a_{p,1}p^{-s})\cdots(1-a_{p,m}p^{-s})},则|a_{p,i}|\leq p^k\forall p,i.
通过仔细分析这些a_{p,i},可以改进初等估计|\lambda_f(n)|=O(n^{k/2})
(Rankin) |\lambda_f(n)|=O(n^{k/2-1/5})

我们对模形式理论的讨论暂告一段落。从经典的观点看,Ramanujan \tau函数似乎与Weil猜想了无关联。Weil的确注意到Euler因子Q_p(T)=1-\tau(p)T+p^{11} T^2与局部\zeta函数的Euler因子Z_C(T)存在某种相似性,并提出或许可以通过研究(假想的)「Ramanujan簇」证明\tau函数满足的其他同余关系2。然而真正在两者之间建立起坚实的联系却是60年代后期的事情:此时l进上同调,l进表示,乃至由Eichler-志村等人肇始、以谷山-志村猜想的形式出现,又由Langlands极大推广的「动机L函数-自守L函数」对应等一系列思想都臻于成熟。
当我们的「第二主题」以表示论的形式再次响起时,读者将会较清楚地看到上述思想的互相关联。再往后就是乐曲的高潮:Deligne综合了所有这些发展,得到了一个伟大的「交互证明」,即借助(经Langlands推广后的)Rankin技巧证明了Weil猜想,又利用Weil猜想给出了Ramanujan-Petersson猜想的证明。


  1. 对于实解析的Maass形式也可以发展完全类似的理论,参见我们之前的讨论。这种情况下的Ramanujan-Petersson猜想仍是开问题。另一方面,可以利用表示论的观点对Hecke理论进行重述和推广,参见Bump, Automorphic Forms and Representations
  2. 参见他在1960年写给Serre的私人信件。Milne, The Riemann Hypothesis over Finite Fiels: From Weil to the Present Day收录了此信的影印件,并附有英文翻译。 

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