Dirac算子简介


设\pi:E \to M是Riemann流形上的向量丛，以下讨论Dirac算子的数学理论。

主符号为\xi^2的椭圆算子\triangle:\Gamma(M,E) \to \Gamma(M, (T^*M)^2 \otimes E)称为广义Laplace算子。能量算子H=p^2/2m+V(x)是一个最简单的例子。假定E有一个\mathbb{Z}_2分次结构，满足D^2=\triangle的算子D:\Gamma(M,E^\pm) \to \Gamma(M,E^\mp)称为Dirac算子。

下面这个例子是最基本的：E称为Clifford丛/Dirac丛，若\forall x \in M，纤维E_x有一个Clifford代数/左Clifford模的结构，前者记为Cl_n(X)。此时E是一个伴随O(n)丛，从而继承了与Clifford乘法相容的Levi-Civita联络：\nabla(ab)=(\nabla a)b+a(\nabla b)。定义Dirac算子D=e_k\nabla_k 。显然它与Clifford代数的自然\mathbb{Z}_2分次结构相一致。

若M是无边紧流形，则上述Dirac算子是一个自共轭椭圆算子。由椭圆算子的一般理论知\mathrm{ind}(D)=\mathrm{ind}(\triangle)有限。特别重要的是\mathrm{ind}(D)还有一个超对称解释：基于E的\mathbb{Z}_2分次结构，D=\begin{pmatrix} 0&D^- \\ D^+&0 \end{pmatrix}，D^-=(D^+)^*，从而\mathrm{ind}(D)等于超核\mathrm{dim}(\mathrm{ker}(D^+))-\mathrm{dim}(\mathrm{ker}(D^-))。

Dirac算子的数学重要性在于它是一系列经典算子的推广：

(1)“量子代数”Cl(V)同构于“经典代数”\Lambda(V)=Cl(V,0)。\mathbb{Z}_2分次丛\Omega^{*}(M)上有“经典”Dirac算子D=d+d^*，对应的广义Laplace算子为Laplace-Beltrami算子。由de Rham-Hodge理论，\mathrm{ind}(D)将给出流形的Euler示性数\chi(M)。

(2)现在假定M是4k维定向紧流形。定义复化丛\Omega^p(M) \otimes \mathbb{C}上的复化Hodge星算子为(-1)^{k+p(p-1)/2}*。这个算子的\pm 1特征空间给出\Omega^{*}(M)的另一个\mathbb{Z}_2分次。基于复化Hodge星算子诱导的内积，定义D=d+d^*。若p<2k，Poincaré对偶保证D的超核限制在H^p和H^{4k-p}上可成对消去，因而\mathrm{ind}(D)将给出流形的号差。

(3)对Kähler流形M上的全纯向量丛E，构造Clifford模\Lambda(T^{0,1}M)^*\otimes E，对应的Dirac算子为D=\sqrt{2}(\bar{\partial}+\bar{\partial}^*)。由Hodge–Kodaira理论，\mathrm{ind}(D)将给出流形的全纯Euler示性数\chi(M,E)。特别地，复射影簇是Kähler流形，上述讨论可应用于代数几何。

Atiyah-Singer证明了Dirac算子的指标定理，这是椭圆算子指标定理的最基本例子。在上述3种情况下，Dirac算子的指标定理将退化为(1)Gauss-Bonnet-Chern定理；(2)Hirzebruch号差定理；(3)(Kähler流形上的)Riemann-Roch-Hirzebruch定理。

此外一个很重要的例子是自旋流形上的Dirac算子(Atiyah-Singer算子)及其指标定理(\hat{A}亏格公式)。我们接下来将分别沿着Kähler几何和自旋几何这两个方向讨论Riemann-Roch-Hirzebruch定理和\hat{A}亏格公式。

研究Dirac算子的数学分支又被称为Clifford分析。它当然推广了复分析，也推广了(从未成功过的)四元数分析。从这个意义上说，它完成了Atiyah的Jugendtraum。

附注：量子场论中常用Feynman斜杠记号{\not}\partial来表示Dirac算子。Lawson和Michelsohn在Spin geometry一书中用类似符号表示Atiyah-Singer算子。我们认为这个记号在美学上不可忍受。今后将避免这个记号的使用。

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