从Bott周期性谈起 Ⅲ


Bott周期性在K理论中起着中心作用,而从K理论的角度又可给出前者的“初等证明”。

Atiyah,Bott  On the periodicity theorem for complex vector bundles

我们将证明如下基本定理:

\pi_1:X \times S^2 \to X\pi_2: X \times S^2 \to S^2,则\mu(a \otimes b)=\pi_1^{*}(a)\pi_2^{*}(b)给出同构\mu:K(X) \otimes K(S^2) \to K(X \times S^2)

hS^2上的复线丛使得其c_1(h)=[S^2](若视S^2=\mathbb{C}P^1,则h为其重言丛)。取X=pt,基本定理推出h-1\tilde{K}(S^2)的生成元。对于约化K函子,基本定理中的同构化为\tilde{\mu}:\tilde{K}(X) \otimes \tilde{K}(S^2) \to \tilde{K}(S^2 \wedge X),进而有Bott同构

\beta:\tilde{K}(X) \to \tilde{K}(X) \otimes \tilde{K}(S^2) \to \tilde{K}(S^2 \wedge X)

特别地,\tilde{K}(S^n)=\pi_{n-1}(\mathrm{U})有周期2,此即Bott周期性定理。

P=X \times S^2\mu的同态性及单射性的验证只需“套套逻辑”。为证明\mu是映满的,我们给出直接的构造。注意到\pi:P\to X的每根纤维都可划分为上下2个半球,从而得到\pi_0:P_0 \to X\pi_\infty:P_\infty \to XP上任意向量丛均可由向量丛E \to X的2份拉回经由平凡单位圆丛S上的函数f \in \mathrm{ISO}(\pi^{*}(E))拼接而得:E=[E,f]=\pi_0^{*}(E)\bigcup_f \pi_\infty^{*}(E)

例如,赋予S以复坐标z,则P的重言丛H=[1,z]

E的同胚型仅取决于f的同伦型。Atiyah指出可对f进行一系列化简。

首先,可以用Fourier展开的部分和f_n=\sum^{n}_{-n}a_k z^ka_k \in \Gamma(\mathrm{End}(E))一致逼近f。为了确定f的同伦型,只需对充分大的n考察f_nf_n=z^{-n}pp为多项式,则我们有[E,f_n]=[E,z^{-n}p]=[E,p]\times H^{-n}

对于多项式p,我们有[E,p]+[nE,1]=[(n+1)E,l^n(p)]l^n(p)为某个线性函数。

对于线性函数l,我们有分解E=E_{+}+E_{-}使得[E,l]=[E_+,1]+[E_-,z]E_{+}E_{-}事实上对应某个线性算子的谱分解。我们建议读者阅读Atiyah,Bott的论文,to see ” it may be defined in two ways both of which are enlightening”.

综上所述,[E,f]=([(n+1)E_{+},1]+[(n+1)E_{-},z]-[nE,1])\times H^{-n}。至此验证[E,f] \in \mathrm{Im}(f)已不困难,从而证得\mu确实是映满的。

Bott周期性的上述“初等证明”是Atiyah在推广指标定理到带边流形上时得到的副产品——“a proof even MIT faculty could understand”。事实上Atiyah,Singer给出的指标定理的第2个证明正是基于类似的思想:通过形变逐步化简拟微分算子。

用同样的手法可以证明更一般的:

LX上的复线丛。作为K(X)代数,射影线丛P(L \oplus 1)(L的单点紧化)的K环由重言丛H生成,此处唯一的限制关系是(H-1)(LH-1)=0。基本定理对应L=1的特例。

上述结果足以推出K理论中的“Thom同构”,详见Atiyah的讲义。

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