The abc conjecture and its consequences


最近,日本数学家Shinichi Mochizuki(望月新一)宣称证明了著名的abc猜想——“the most important unsolved problem in diophantine analysis”(D.Goldfeld)。此君是Faltings的高足,专攻算术几何,因此普遍认为有必要严肃对待他的论文。

The Conjecture

和许多数论中的大猜想一样,abc猜想(Oesterlé–Masser, 1985)有一个极具欺骗性的“简单陈述”。具体地说,定义算术函数R(n)n的所有不同素因子的单乘积(“根”),abc三元组为满足a+b=c(a,b)=1a,b,c \in \Bbb N。数值计算显示,大多数abc三元组满足c <R(abc)abc猜想将这一观察精确化:

(Ⅰ)\forall \epsilon>0,仅有有限多组(a,b,c)使得c>R(abc)^{1+\epsilon};或者等价地,

(Ⅱ)\forall \epsilon>0,存在常数K_\epsilon>0,使得对任意abc三元组,c < K_\epsilon R(abc)^{1+\epsilon}。有效地决定K_\epsilon是重要的:例如人们相信(Ⅲ) c \leq R(abc)^2

\epsilon是必须的:有无穷多组(a,b,c)满足c>R(abc),例如,(1,2^{6n}-1,2^{6n})

已知的最好结果是指数级的:c < K_\epsilon \exp(R(abc)^{1/3+\epsilon})

abc猜想在数域上的推广当然更加难以证明。另一方面,已知其函数域类比成立。

The Consequences

我们先列举几个众所周知的例子。

(1)Roth定理(1955):给定非有理数的代数数\alpha\epsilon>0,存在常数K_{\alpha,\epsilon}>0使得对任意有理数\displaystyle \frac{p}{q}\displaystyle |\alpha-\frac{p}{q}| > \frac{K_{\alpha,\epsilon}}{q^{2+\epsilon}}。从Vojta的观点看,这是Diophantine几何中最基本的结果(相当于Nevanlinna第二主定理)。

(2)Mordell猜想(1983):由Roth定理可以推出Siegel定理:定义在\Bbb Q上的亏格大于0的代数曲线上仅有有限多个整点。对于高亏格曲线,更深远的结果是Mordell猜想(仅有有限多个有理点)。下面这篇文章介绍了如何从(Ⅱ)推出Roth定理(Bombieri)和Mordell猜想(Elkies):

Frankenhuysen  The abc conjecture implies Roth’s theorem and Mordell’s conjecture

(3)Fermat大定理(1994,1995):(Ⅲ)能够推出对n>6x^n+y^n=z^n没有正整数解。“仅有有限个正整数解”的部分是Mordell猜想的推论。

提出abc猜想的最初目的就是为了证明Fermat大定理。

(4)Tijdeman定理(1976):考虑Catalan方程y^m=x^n+1。对于固定的m,n>1,解的有限性是Siegel定理的推论。Tijdeman证明了更强的:Catalan方程仅有有限多组正整数解(x,y,m,n)。2002年,Mihăilescu最终证明了Catalan猜想:上述方程的唯一非平凡解是3^2=2^3+1

(Ⅲ)能够推出Tijdeman定理的如下推广:y^m=x^n+k仅有有限多组满足m,n>1的正整数解(迄今仍是开问题)。此外,将(3)与(4)结合,我们有极其一般的Fermat-Catalan猜想x^m+y^n=z^k仅有有限多组满足\displaystyle \frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1的正整数解——这个远较Mordell定理为强的猜想同样是abc猜想的推论。

在Vojta研究算术几何的纲领中,Vojta高度猜想(囊括了上述例子)处于中心地位。已知代数簇上的高度猜想推出abc猜想,而abc猜想又能推出代数曲线上的高度猜想。一个合理的设想是:abc猜想等价于代数曲线上的Vojta高度猜想。

The Work of Szpiro

上一个宣称“证明”了abc猜想的知名数学家是Szpiro(2007)。他的出发点是Szpiro猜想:若\Bbb Q上的椭圆曲线E有极小Weierstrass方程y^2=x^3-c_4x/48-c_6/864\mathrm{Cd}(E)为其导子,则\forall \epsilon>0,存在常数K_\epsilon>0使得\max\{|c_4|,|c_6|\}<K_\epsilon \mathrm{Cd}(E)^{6+\epsilon}

已知abc猜想、Szpiro猜想和强Hall猜想(\forall \epsilon>0,存在常数K_\epsilon>0使得Hall方程x^3-y^2=z的本原解满足|x|<K_\epsilon R(z)^{2+\epsilon}|y|<K_\epsilon R(z)^{3+\epsilon})两两等价。

Bombieri, Gubler  Heights in Diophantine Geometry

The Work of Mochizuki

现阶段我们无法对望月的工作给出一个(哪怕是概览性的)描述。但我们愿意提供一些背景资料。80年代初,Grothendieck在Esquisse d’un Programme中描述了anabelian geometry,一个中心猜想是有限生成域上的光滑且不可约的双曲曲线(允许移除有限个点)由其代数基本群唯一决定。望月最知名的早期工作(1996)是完全证明了此猜想:

Mochizuki  The profinite Grothendieck conjecture for hyperbolic curves over number fields

在此基础上,望月开始着手建立他的inter-universal geometry(望月本人将inter-universal翻译为“宇宙际”)。今年夏天,望月自信他已将所谓的inter-universal Teichmüller theory发展得足够完备。在一系列论文(IIIIIIIV)的最后一篇中,他宣称他已经能够证明abc猜想以及双曲曲线上的Vojta高度猜想。这里我想引用专家Jordan Ellenberg早些时候的评论

I hope it’s true:  my sense is that there’s a lot of very beautiful, very hard math going on in Shin’s work which almost no one in the community has really engaged with, and the resolution of a major conjecture would obviously create such engagement very quickly.

Resources on the internet

Mazur的文章是abc猜想的一篇“低姿态”科普。关于abc猜想的数值证据和文献追踪,Nitaj的主题站点上有大量参考资料。

希望进一步了解望月及其工作的人可以访问他在京都大学的英文主页

这一个月间出现了不少讨论abc猜想和望月工作的博客文章。个人认为以下讨论特别值得注意(更新中):

对定理1.10正确性的质疑,以及望月本人的回应

百科页面 The Polymath Wiki on the ABC conjecture

MathOverflow上的主题贴 Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture

基于概率论的考虑,abc猜想为何“应当成立”

abc猜想与密码学的可能联系(当然,这仍是一个非常模糊的想法,与技术性相比更具哲学性)

P.S. For a general problem list, see here.

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