瞬子的几何 Ⅲ


我们转向问题的代数几何层面,即研究满足如下条件的2阶全纯向量丛E \to \Bbb CP^3

(1)c_1[E]=0(SU(2)丛的拉回),拓扑量子数k=c_2[E]>0

(2)\Bbb CP^3上有实结构j。我们要求E在每条实直线(\pi^{-1}(pt)=\Bbb CP^1)上的限制是平凡的(作为纤维化\pi的拉回),且j可提升为E上的辛结构\tilde j\tilde j^2=-1

先讨论属于全纯范畴的(1)。满足(1)的向量丛俯拾皆是,一个常用的化简是将c_2[E]>0替换为更强的H^0(E)=0,这样的E称为稳定向量丛(这一概念有诸多等价定义,例如,从几何不变量理论看,稳定向量丛到自身的满同态是平凡的,等等。我们仅取对当下讨论最方便的一种特殊情况)。(2)中的平凡性条件保证由瞬子解拉回得到的E是稳定的。丸山正树(Masaki Maruyama)证明了具有给定c_1c_2的稳定向量丛的参模空间是拟代数簇的并。这可以视为Atiyah等人的瞬子参模定理的特例。我们不再深入相关的结果,而是推荐一篇综述:

Hartshorne  Stable vector bundles and instantons

下面看属于实代数几何/微分几何范畴的(2)。此处我们有经典的Horrocks构造。具体地说,\pi:\Bbb CP^3 \to S^4可以理解为\Bbb R^8的2种射影约化:视为\Bbb C^4\Bbb H^2。考虑平凡丛W=\Bbb R^8 \times \Bbb C^kV=\Bbb R^8 \times \Bbb H^{k+1}及满秩丛同态A: W \to V。左乘j赋予V以辛结构,我们进一步要求(1)纤维U_x=A(W_x)迷向(U_x \subset (U_x)^0)且A对于x是线性的:此时(U_x)^0/U_x是一个2维辛空间,相应的2阶向量丛可投射为\Bbb CP^3上的SL(\Bbb C,2)丛。

E在实直线上的平凡性需要稍细致一点的分析。一个经典结果(例如,Grothendieck, 1957)指出\Bbb CP^1上的2阶全纯向量丛有形式L^{k_1} \oplus L^{k_2}L典范线丛。因而E由第一Chern数的组合(k_1,k_2)完全确定。此外,我们知道k_1+k_2=0。然而,(k_1,k_2)仅仅是x下半连续函数E在某条射影直线上的平凡性不能延拓到整个代数簇,而只能延拓到“一般位置”。(k_1,k_2) \neq (0,0)的例外射影直线称为跃变直线(jumping line),我们需要保证所有实直线都是非跃变的。这可以通过要求(2)j(A(x)w)=A(jx)\bar{w}来实现。

上述Horrocks构造在物理中的对应称为’t Hooft Ansatz. 它极其简单(只涉及线性代数)且优雅(规范变换由上述构造中VW的坐标变换给出)。Barth发现Horrocks构造依赖于8k-3个参数,与Atiyah等人的结果相比较,自然会猜想它是否已完备描述了模空间\mathcal{M}(S^4)。在仔细研究过上述构造后他证明了:所有满足(2)且进一步满足(3)H^1(\Bbb CP^3, E \otimes L^{-2})=0的2阶全纯向量丛E均由Horrocks构造给出。

Barth, Hulek  Monads and moduli of vector bundles

另一方面,Penrose利用Bochner技巧证明了上述消没条件(3)对于所有由瞬子解拉回而得的E成立:H^1(E(-2))对应S^4上Laplace方程(\triangle+R/6)f=0的解空间。

Penrose  Zero rest-mass fields including gravitation: asymptotic behaviour

结合上述两个方面,Atiyah, Drinfeld, Hitchin以及Manin得以证明Horrocks构造(代数几何范畴)在S^4上的对应:ADHM构造(微分几何范畴)的确给出了S^4上精确到规范等价类的所有瞬子。换言之,\mathcal{M}(S^4)有一个纯线性代数构造。

Atiyah, Drinfeld, Hitchin, Manin  Constructions of instantons

上述构造可以推广到SU(n)乃至一般的典型群。此处不赘。

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