我们转向问题的代数几何层面,即研究满足如下条件的2阶全纯向量丛:
(1)(丛的拉回),拓扑量子数;
(2)上有实结构。我们要求在每条实直线()上的限制是平凡的(作为纤维化的拉回),且可提升为上的辛结构:;
先讨论属于全纯范畴的(1)。满足(1)的向量丛俯拾皆是,一个常用的化简是将替换为更强的,这样的称为稳定向量丛(这一概念有诸多等价定义,例如,从几何不变量理论看,稳定向量丛到自身的满同态是平凡的,等等。我们仅取对当下讨论最方便的一种特殊情况)。(2)中的平凡性条件保证由瞬子解拉回得到的是稳定的。丸山正树(Masaki Maruyama)证明了具有给定和的稳定向量丛的参模空间是拟代数簇的并。这可以视为Atiyah等人的瞬子参模定理的特例。我们不再深入相关的结果,而是推荐一篇综述:
Hartshorne Stable vector bundles and instantons
下面看属于实代数几何/微分几何范畴的(2)。此处我们有经典的Horrocks构造。具体地说,可以理解为的2种射影约化:视为或。考虑平凡丛和及满秩丛同态。左乘赋予以辛结构,我们进一步要求(1)纤维迷向()且对于是线性的:此时是一个2维辛空间,相应的2阶向量丛可投射为上的丛。
在实直线上的平凡性需要稍细致一点的分析。一个经典结果(例如,Grothendieck, 1957)指出上的2阶全纯向量丛有形式,为典范线丛。因而由第一Chern数的组合完全确定。此外,我们知道。然而,仅仅是的下半连续函数,在某条射影直线上的平凡性不能延拓到整个代数簇,而只能延拓到“一般位置”。的例外射影直线称为跃变直线(jumping line),我们需要保证所有实直线都是非跃变的。这可以通过要求(2)来实现。
上述Horrocks构造在物理中的对应称为’t Hooft Ansatz. 它极其简单(只涉及线性代数)且优雅(规范变换由上述构造中和的坐标变换给出)。Barth发现Horrocks构造依赖于个参数,与Atiyah等人的结果相比较,自然会猜想它是否已完备描述了模空间。在仔细研究过上述构造后他证明了:所有满足(2)且进一步满足(3)的2阶全纯向量丛均由Horrocks构造给出。
Barth, Hulek Monads and moduli of vector bundles
另一方面,Penrose利用Bochner技巧证明了上述消没条件(3)对于所有由瞬子解拉回而得的成立:对应上Laplace方程的解空间。
Penrose Zero rest-mass fields including gravitation: asymptotic behaviour
结合上述两个方面,Atiyah, Drinfeld, Hitchin以及Manin得以证明Horrocks构造(代数几何范畴)在上的对应:ADHM构造(微分几何范畴)的确给出了上精确到规范等价类的所有瞬子。换言之,有一个纯线性代数构造。
Atiyah, Drinfeld, Hitchin, Manin Constructions of instantons
上述构造可以推广到乃至一般的典型群。此处不赘。