Bochner公式、平行定理与消没定理


考虑Dirac丛E \to MM紧致且完备。E上有2类Laplace算子:由Dirac算子D定义的D^2通过Hodge理论/指标定理和E的拓扑相联系,而由联络\nabla定义的\nabla^*\nabla则是微分几何的研究对象,并通过Chern-Weil理论和E的示性类相联系。最广意义上的Bochner公式是一类公式的总称:用\nabla^*\nabla加上曲率的信息表示D^2。在一定的曲率假设下,此类公式有强有力的拓扑推论。

具体地说,在Riemann流形上,考虑Dirac复形(\Omega^*(M),d+d^*),得到

(Weitzenböck公式)\triangle_d=\nabla^*\nabla+\mathrm{R}

\mathrm{R}=\frac{1}{2}\sum c(e_j)c(e_k)R(e_j,e_k)称为曲率张量的Clifford收缩。

特别重要的是限定于\Omega^1(M)上时\mathrm{R}给出Ricci张量:\triangle_d=\nabla^*\nabla+\mathrm{Ric}

在Kähler流形上,考虑Dirac复形(A^{0,*}(E),\sqrt{2}(\bar{\partial}+\bar{\partial}^*)),得到

(Bochner-Kodaira公式)\triangle_{\bar{\partial}}=\nabla^*\nabla+F

FE \otimes \Omega^*(M)上扭曲率(twisting curvature)的Clifford收缩,详见

Berline, Getzler, Vergne  Heat Kernels and Dirac Operators

在自旋流形上,考虑Dirac复形(S(M),D),得到

(Lichnerowicz公式)D^2=\nabla^*\nabla+k/4k为标量曲率。

Lichnerowicz  spineurs harmoniques

由于(t,\nabla^*\nabla t)=\parallel \nabla t \parallel^2 \geq 0,Bochner公式可应用于证明各种平行定理和消没定理:

(1)曲率非负:推出对t\in \mathrm{ker}D\nabla t=0,即“调和”张量场t是平行的。

(2)曲率拟正——处处非负且至少在某一点处为正:推出\mathrm{ker} D=0,从而由Hodge理论/指标定理得到某些拓扑量的消没。

最早在Riemann流形上考虑此类技巧的正是Bochner本人:

(Bochner定理)对于紧Riemann流形M,非负的Ricci曲率要求所有调和向量场都是平行向量场,拟正的Ricci曲率要求H^1(M,\mathbb{R})=0

经典的Bonnet-Myers定理指出严格正的Ricci曲率要求基本群有限。由Cheeger-Gromoll分离定理,事实上可以将对Ricci曲率的要求减弱为拟正性,从而推出Bochner消没定理。如果进一步要求更强的截面曲率非负/拟正,则将导向2人的灵魂定理和灵魂猜想

Cheeger, Gromoll  The splitting theorem for manifolds of nonnegative Ricci curvature

在Kähler流形上,小平对全纯线丛L应用BK公式,结合Hodge理论得到

(Kodaira消没定理)若L是负线丛,则H^i(M,L)=0i<0

由于在紧Kähler流形M上Levi-Civita联络\nabla与Chern联络\nabla_c重合,严格正的Ricci曲率有2方面后果:其一是上面提到的\pi_1(M)有限,其二是H^{p,0}(M)(p>1)的消没。由Serre对偶,我们得到\chi(M,\mathcal{O})=1。由于M的万有覆叠\tilde{M}也是紧Kähler流形,基于同样的推理\chi(\tilde{M},\mathcal{O})=1。故由Hirzebruch-Riemann-Roch定理和示性类的函子性,\tilde{M} \to M是单叶覆叠,从而得到

(Kobayashi) Ricci曲率为正的紧Kähler流形是单连通的。

Hitchin发现在自旋流形上不存在Hodge理论。然而此时我们仍有Atiyah-Singer指标定理\mathrm{ind}(D)=\hat{A}[M]可资利用:

(Lichnerowicz定理)对于紧自旋流形M,非负的标量曲率要求所有调和旋量场平行,拟正的标量曲率要求流形的\hat{A}亏格为0。

Gromov和Lawson对自旋流形的研究基本搞清了容许正标量曲率的流形的拓扑结构,形成了称为自旋几何的领域。对此的一个综述参见Lawson, Michelsohn最后一章。

几何分析方面,Bochner技巧在调和映射理论中同样是基本的。对此的一个报告见

Wu  The Bochner Technique in Differential Geometry

注意到曲率的拟正性仅给出最简单的不等式,这自然引发了在更一般的估计下控制流形拓扑的尝试。这方面工作的一个报告见

Bérard  From Vanishing Theorems to Estimating Theorems: the Bochner Technique revisited

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