瞬子的几何 Ⅱ


关于本节的内容,一个初等而富有启发性(针对物理学家)的叙述见

Atiyah  Geometry of Yang-Mills Fields

\Bbb R^4上的BPST瞬子(G=SU(2)k=1)是瞬子的第一个例子:

Belavin, Polyakov, Schwartz, Tyupkin  Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations

由于星算子共形不变,可以将\Bbb R^4球极投影到紧致的S^4中研究。由Uhlenbeck的结果,能量有界的规范场总可以光滑延拓到S^4上。为了找到\Bbb R^4上的所有瞬子,只需完全分类S^4上的瞬子。这项工作由Atiyah, Hitchin和Drinfeld, Manin两组数学家独立完成。

以下将讨论S^4上的ASD瞬子。此时拓扑量子数k(第二Chern数)给出SU(2)丛(精确到同伦等价类的)分类。对于给定的k,所有ASD瞬子构成一个8k-3维模空间。

ADHM构造利用了从微分几何到代数几何的“迁移”。关键的部件是Penrose的扭量理论

直观性介绍:Penrose, Hadrovich  Twistor Theory

技术性介绍:Hadrovich  Twistor Primer

\Bbb H^2中的单位球在模去Sp(1)的作用后给出\Bbb HP^1=S^4,从而给出Hopf纤维化S^3 \hookrightarrow S^7 \twoheadrightarrow S^4(1)。基于另一个Hopf纤维化S^1 \hookrightarrow S^3 \twoheadrightarrow S^2(2),(1)可以进一步“分解”为S^1 \hookrightarrow S^7 \twoheadrightarrow \Bbb CP^3(3)和S^2\hookrightarrow\Bbb CP^3\twoheadrightarrow S^4(4)。

(4)是扭量理论的简单例子,它是紧化时空S^4上局部复结构的参数化。

上述构造可以一般化。在Lie代数的层面,\Omega^2作为斜共轭矩阵作用在\Omega^1上。在Lie群的层面,我们可以定义复旋子丛V=S(\Omega^1_\Bbb C)及其分次V=V_++V_-。通过Clifford乘法,\Omega^1 \subset \Omega^1_\Bbb C=\mathrm{Hom}(V_+,V_-)V_+上定义了一个殆复结构,局部殆复结构可以用射影空间(PV_+)_x来参数化。纤维化\pi:PV_+ \to M推广了\pi:\Bbb CP^3 \to S^4

回到S^4。我们有2个(局部)分解:\Omega^2=\Omega^{2,0}+\Omega^{1,1}+\Omega^{0,2}\Omega^2=\Omega^++\Omega^-。不难证明\Omega^- \subset \Omega^{1,1}。给定SU(2)E \to S^4,我们考虑其在\Bbb CP^3上的拉回\pi^{*}:(E,\omega) \to (\tilde E,\tilde \omega)。若\omega为ASD形式则\tilde \omega(1,1)形式,利用Newlander-Nirenberg定理可以在\tilde E上定义唯一的与曲率形式\tilde \omega相容的全纯向量丛结构。

Griffiths  The extension problem in complex analysis Ⅱ: embeddings with positive normal bundle

事实上由GAGA原理,可进一步取\tilde E为代数丛(即取拼接函数为有理函数)。

我们称复代数簇V上的反线性对合映射实结构,这是实代数几何中的标准术语。除了标准实结构(复共轭)外,P\Bbb C^3还有另一个实结构j:视\Bbb C^4=\Bbb H^2并考虑j的左作用。这个实结构与纤维化\pi相容:在\Bbb HP^1上平凡并保持纤维\Bbb CP^1。事实上j在每根纤维上的限制给出对跖映射。我们进而将j提升为\tilde E上的辛结构\tilde j\tilde{j}^2=-1

现在我们可以叙述最重要的结果:

(Penrose变换/Ward对应)带有ASD形式\omegaSU(2)E \to S^4一一对应于带有辛结构\tilde{j}的全纯向量丛\tilde E \to \Bbb CP^3。显然,这一对应保持量子数k=c_2

Atiyah, Ward  Instantons and algebraic geometry

如上所述,对ASD形式的研究现已转化为一个复代数几何问题。接下来我们讨论如何构造\Bbb CP^3上满足上述条件的全纯向量丛。

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