Clifford代数简介

200年来，许多人从不同方面研究过Clifford代数和自旋表示，但认识到它们处在整个数学/数学物理的核心则是晚近得多的事。下面是一份(不完备的)历史回顾。

超复数系：Hamilton, Grassmann, Clifford

表示论，Lie群，Bott周期性：E.Cartan, Weyl, Chevalley, Bott

Riemann几何：E. Cartan, Berger

Dirac算子，量子场论，超对称：Dirac, Atiyah, Singer, Witten

接下来我们希望从容地讨论每一个方面。

本文的主要参考文献是专著

Lawson, Michelsohn Spin Geometry

以及一篇非常重要的论文

Atiyah, Bott, Shapiro Clifford Modules

给定 $K$ -向量空间 $V$ ，张量代数 $T(V)$ 是由 $V$ 生成的自由结合代数。在 $V$ 上选取二次型 $q$ ，Clifford代数 $Cl(V,q)$ 定义为 $T(V)$ 模去 $v^2+q(v)1=0$ ， $v \in V$ 。由于线性空间之间保持二次型的线性映射可唯一扩张为相应Clifford代数之间的同态，上述定义给出 $(V,q)$ 到结合代数的Clifford函子。

以下假定 $\mathrm{char}(K) \neq 2$ 。此时有等价刻画 $uw+wu=-2q(v,w)$ ， $v,w \in V$ ，其中 $2q(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w)$ 为极化恒等式。

Clifford代数附带有(1)反射自同构 $\alpha$ ：线性映射 $\alpha(v)=-v$ 的扩张；(2)转置反自同构： $x \mapsto x^t$ ， $x_1 \otimes \cdots \otimes x_k \mapsto x_k \otimes \cdots \otimes x_1$ ；(3)共轭反自同构： $\bar{x}=\alpha(x^t)$ 。

下面是2个有深刻物理背景的性质：

(1)Clifford代数推广了外代数：后者对应 $q \equiv 0$ 。更一般的， $T(V)$ 在 $Cl(V,q)$ 上诱导一个滤过代数结构，外代数 $\Lambda(V)$ 作为其伴随分次代数同构于 $Cl(V,q)$ 。

Clifford代数是描述Fermi子的合适代数结构，就这个意义上来说它是外代数的“量子化”。Bose子由Weyl代数描述，它是对称代数的“量子化”。

(2)除滤过代数结构外， $T(V)$ 还在 $Cl(V,q)$ 上诱导一个 $\mathbb{Z}_2$ 分次代数结构。偶部分记为 $Cl^0(V,q)$ (它是一个Clifford子代数)，奇部分记为 $Cl^1(V,q)$ ，它们分别对应 $\alpha$ 的正负特征子空间。

Atiyah等人引入分次结构的初衷之一是观察到如下优美性质：设 $V=V_1 \oplus V_2$ 是基于 $q$ 的正交分解， $q_i=q|_{V_i}$ ，则有同构 $Cl(V,q) \cong Cl(V_1,q_1) \widehat{\otimes} Cl(V_2,q_2)$ ， $\widehat{\otimes}$ 为 $\mathbb{Z}_2$ 分次张量积。基于Witten等人的工作，现在熟知这个分次结构对应超对称。

接下来转向具体例子的考察。取 $n$ 维Minkowski空间 $\mathbb{R}^{r,s}$ ，相应的Clifford代数记为 $Cl_{r,s}$ 。记 $Cl_{n,0}=Cl_n$ ， $Cl_{0,n}=Cl_n^*$ ，不难决定 $Cl_1=\mathbb{C}$ ， $Cl_2=\mathbb{H}$ ， $Cl_1^*=\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}$ ， $Cl_2^*=\mathbb{R}(2)$ (所有 $2\times 2$ 实矩阵)。

为完全决定 $Cl_n$ 和 $Cl_n^*$ ，考虑 $Cl_n \otimes Cl_2^*\cong Cl_{n+2}^*$ ， $Cl_n^* \otimes Cl_2 \cong Cl_{n+2}$ 。由此推出Bott同构 $Cl_{n+8} \cong Cl_n \otimes Cl_8$ ， $Cl_{n+8}^* \cong Cl_n^* \otimes Cl_8^*$ 。

Bott同构最早是由E.Cartan发现的，它与正交群的Bott周期性紧密相关。

以 $\mathbb{C}l_n$ 记 $Cl_{r,s}$ 的复化， $q_\mathbb{C}(z)=\sum_1^n z_i^2$ ，复Clifford代数可以简单地通过作张量积 $\otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}$ 得到。此时有Bott同构 $\mathbb{C}l_{n+2} \cong \mathbb{C}l_n \otimes \mathbb{C}l_2$ ，对应酉群的Bott周期性。