自旋，Pauli矩阵和Dirac方程


Schrödinger方程有2个先天“缺憾”：第一，非Lorentz不变；第二，不能描述自旋。

推广非相对论性的Schrödinger方程只能得到一个描述磁场的“半场论”。手法仍是量子化：利用Legendre变换将Maxwell理论的Lagrange描述切换到Hamilton描述后，形式地将Hamilton函数替换为能量算子。Uhlenbeck和Goudsmit发现这个“半场论”加上一个额外假设后可以很好地解释反常Zeeman效应：电子在3个正交的方向上各有一个“内蕴”的角动量，各对应2个特征态：“向上”或“向下”。令人印象深刻的是与(轨道)角动量不同，这个称为自旋的可观测量完全是量子的，它在经典理论中没有任何对应。

电子自旋的数学理论由Pauli完成。3个自旋算子S_k=\sigma_k/2，\sigma_k称为Pauli矩阵：

\sigma_1=\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}，\sigma_2=\begin{pmatrix} 0&-i \\ i&0 \end{pmatrix}，\sigma_3=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}

Pauli矩阵与四元数紧密相关：i\sigma_k是张成\mathfrak{su}(2)的一组基。这是Heisenberg图像的一个推论，事实上可以由这点反推出Pauli矩阵的形式。

总自旋算子S^2=\sum S_k^2对应量子数\frac{1}{2}，故电子有自旋\frac{1}{2}。Pauli证明了自旋-统计定理：有半整数自旋的粒子满足Fermi-Dirac统计，有整数自旋的粒子则满足Bose-Einstein统计，由此直接推出电子满足Pauli不相容原理。他因为这一系列工作获得1945年的Nobel物理学奖。

W.Pauli (1900-1958)

 “Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! ”

下一个伟大发现由Dirac做出。Schrödinger方程的2个缺陷是相关的：电子的自旋并非先验性质，它可以由相对论性的Schrödinger方程推出。这也是通往量子电动力学的第一步。

考虑最简单的自由粒子。直接对相对论关系E^2=p^2+m^2进行量子化，得到：

(Klein-Gordon方程)(\square+m^2)\psi=0，d’Alembert算子\displaystyle \square=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\triangle

给定波函数的初始条件即可确定其演化，这与Schrödinger方程是时间的一阶方程一致。然而Klein-Gordon方程却是时间的二阶方程，说明这个尝试不够成功。从场论的观点看，Klein-Gordon方程应该解释为某个标量场而非粒子的波函数，否则其概率流密度不能保持为正。

Dirac试图将d’Alembert算子表成某个算子的平方，从而将方程分解为一阶的：

(Dirac方程)(D\pm im)\psi=0，Dirac算子\displaystyle D=\gamma^k \frac{\partial}{\partial x_k}，D^2=\square。

\gamma_k没有复数解。Dirac提出的矩阵解是\gamma_0=\begin{pmatrix} 0&I \\ I&0 \end{pmatrix}，\gamma_k=\begin{pmatrix} 0&\sigma_k \\ -\sigma_k&0 \end{pmatrix}：描述自旋的Pauli矩阵自然而然地出现在Dirac方程中。

Dirac方程的另一深远推论是：由于正负Dirac算子均是\square的平方根，作为特征值的能量将允许取负值。Dirac设想电子浸没在(满足共轭方程的)正电子的Dirac海中，这预言了反粒子的存在。

因为对量子理论的决定性贡献，Dirac和Schrödinger分享了1933年的Nobel物理学奖。

P.Dirac (1902-1984)

Atiyah和Singer在研究指标定理时“重新发现”了Dirac算子。事实上\{i\gamma_0,\gamma_k\}是Clifford代数Cl_4=\mathbb{H}(2)的一组生成元。至此进一步推广Dirac算子的可能性已十分清楚。

附注：我在Dirac接受Oppenheim纪念奖的演说中读到，Schrödinger才是最早考虑Klein-Gordon方程的人，然而他也最先注意到这个方程与物理原理不相协调。经过几个月徒劳的努力，他才意识到非相对论性方程已对当时的实验数据有极强的解释力，从而(不情愿地)发表了后来大名鼎鼎的Schrödinger方程。

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