Manjul Bhargava and his 290 theorem


ICM 2014今天在韩国首尔召开。正如之前所预测的那样,Manjul Bhargava获得了2014年的Fields Medal. 一同获奖的还有Artur Avila, Martin HairerMaryam Mirzakhani.

这份名单相当有趣:史上第一位女性获奖者1;4人广义上的“祖国”(印度、巴西、奥地利以及伊朗)此前均无Fields奖得主2;3人的研究工作和遍历理论紧密相关;2人有参加IMO的经历3;等等。

本文将介绍获奖者Manjul Bhargava的一项“初等”工作:简化了Conway-Schneeberger 15定理的证明,并进一步证明了Conway的290猜想。

1.
我们感兴趣的是在整格\Bbb Z^n上取整值的n元多项式f。若f是齐次的,这相当于要求f的系数为整数。对可表示集R_f:=f(\Bbb N^n) \subset \Bbb Z(约定0 \in \Bbb N)的研究贯穿了整个数论史:
(1.1)Fermat集中研究了用2元2次整系数多项式表示素数p的问题,并发现
f(x,y)=x^2+y^2,则p \in R_f当且仅当p形如4a+1
f(x,y)=x^2+2y^2,则p \in R_f当且仅当p形如8a+18a+3
f(x,y)=x^2-2y^2,则p \in R_f当且仅当p形如8a+18a+7
f(x,y)=x^2+3y^2,则p \in R_f当且仅当p形如3a+1
f(x,y)=x^2+5y^2,则p \in R_f当且仅当p形如20a+120a+9
此类现象是代数数论乃至类域论的渊薮。
(1.2)由Fermat二平方和定理开始,Euler等数学家获得了一系列经典结果。
(Fermat二平方和定理, 由Euler证明) 若f(x,y)=x^2+y^2,则自然数k \in R_f当且仅当k的奇素因子(若有)均形如4a+1
(Lagrange四平方和定理) 若f(x,y,z,w)=x^2+y^2+z^2+w^2,则R_f=\Bbb N
(Legendre三平方和定理) 若f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,则自然数k \in R_f当且仅当k不能写成2^{2a}(8b+7)的形式。
(1.3) 平方数有一类推广,即所谓的多边形数:填满正多边形内部的点的个数。
(Gauss三角数定理,“Eureka定理”)令\displaystyle f(x,y,z)=\frac{x(x+1)}{2}+\frac{y(y+1)}{2}+\frac{z(z+1)}{2},则R_f=\Bbb N
推广Gauss三角数定理和Lagrange四平方和定理,我们有如下结果:
(Fermat多边形数定理,由Cauchy证明) 任意自然数均可表示为不超过nn边形数之和。
(1.4)从Lagrange四平方和定理出发,我们也可以研究高次幂多项式的表示问题:
(Waring问题,由Hilbert解决) 给定k \geq 2f=\sum_{1 \leq i \leq g} x_i^k。对于充分大的gR_f=\Bbb N
关于g的下确界g(k)有许多研究:g(2)=4(Lagrange),g(3)=9(Wieferich, Kempner),g(4)=19(Balasubramanian),g(5)=37(陈景润,Conway),等等。已知g(k)=2^k-2+\lfloor 1.5^k\rfloork \leq 471600000成立,欠缺的只是一个证明。

对相应的数论史感兴趣的读者可以参考
Weil  Number theory: an approach through history from Hammurapi to Legendre
Edwards  Fermat’s last theorem: a genetic introduction to algebraic number theory

2.
在所有整系数多项式中,我们对整二次型的理解是最好的。荣耀归于Gauss:他在Disquisitiones Arithmeticae中建立了完备的整二元二次型理论,这是整个现代数论的起点。
首先我们区别整二次型的2种不同定义:(1)较强的Legendre定义要求二次型取整值(整系数);(2)较弱的Gauss定义要求二次型对应的对称双线型取整值(对应矩阵为整系数)。为避免混淆,我们称后者为整矩阵型。
本节讨论的整二次型默认为正定的。 这允许我们从几何的观点研究问题:这些整二次型可以视为整格上的“Riemann度量”,整格因之获得“Riemann空间”的结构。
满足R_f=\Bbb N的整二次型f(及其对应的整格)称为万有的(universal)。任意二元和三元整二次型都不可能是万有的。另一方面,Lagrange四平方和定理说明f(x,y,z,w)=x^2+y^2+z^2+w^2是万有的。
1916年,Ramanujan一口气给出了所有54个四元万有整对角型(Le style c’est l’ homme!),由此重燃了对这个领域的兴趣。研究者继而提出了
(万有性问题) 刻画所有万有整格的等价类。
1948年,Willerding在她的博士论文中分类了“所有”四元万有整矩阵型。四十多年间无人发现其中隐藏的重大疏漏。直到1993年,Conway重新考虑了这个问题,才给出万有整矩阵型的完满刻画(Conway-Schneeberger, 由Bhargava简化):
(15定理) 整矩阵型f是万有的当且仅当R_f包含以下9个关键值(critical value)
1,2,3,5,6,7,10,14,15.
Bhargava  On the Conway-Schneeberger Fifteen Theorem
由此可以决定四元万有矩阵型的所有204个等价类(参见上文附表)。
令人吃惊的是,若悬置等价性的判定,则Bhargava 的简化证明将是完全初等的——一个数学系新生完全能理解其过程并借助计算机验证结果。核心操作是整格的扩充(escalation):若其不能表示的最小正整数为m(称为“逃学生”,truant),则其扩充指的是加入一个模长为m的向量后生成的新整格。
从0维整格出发,不断进行扩充,我们得到一棵以整格为节点的。15定理的核心是如下事实:Bhargava树的高度有限(事实上,为5——这个幸运的“巧合”使得穷举不会复杂到无法处理的程度)。如果约化到等价类,则各层的节点数分别为1,1,2,9,207,1630。每个非叶节点都对应一个“逃学生”,15定理涉及的关键值是这些“逃学生”的集合。

沿着证明15定理的思路,Bhargava又得到了如下“副产品”:
(33定理) 给定整矩阵型fR_f包含所有奇数当且仅当R_f包含以下8个关键值
1,3,5,7,11,13,15,33.
(73定理) 给定整矩阵型fR_f包含所有素数当且仅当R_f包含以下17个关键值
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,67,73.

和整矩阵型相比,整二次型的万有性问题远为复杂。2005年,Bhargava和Hanke宣布他们证明了Conway的290猜想:
(290定理) 整二次型f是万有的当且仅当R_f包含以下29个关键值
1,2,3,5,6,7,10,13,14,15,
17,19,21,22,23,26,29,30,31,34,
35,37,42,58,93,110,145,203,290.
由于证明牵涉到大规模计算,二人迄今尚未正式发表这个结果。他们的证明思路以预印本的形式流布:
Bhargava, Hanke Universal quadratic forms and the 290-Theorem
对于整二次型,Bhargava树的前5层分别有1,1,3,34,6560个节点。在6560个节点中,6402个为叶节点,153个节点至多有3代子孙,剩下的5个节点可以用两人发明的“10-14技巧”处理。

3.
迄今为止的讨论尚有一处留白:整二次型的等价分类。这是一个经典问题,此处只能略述大概。我们推荐读者查阅:
Conway, Sloane  Sphere packings, lattices and groups, Chapter 15

Gauss完全解决了整二元二次型的分类问题,在Conway, Sloane中可以找到他的等价判定算法(Gauss约化)以及判别式d较小时整二元二次型等价类的全表。
多元的情况相对复杂。我们先考虑一些较粗糙的等价关系,再逐步将其精细化。
(3.1)有理二次型的\Bbb Q-等价判定由如下经典结果给出:
(Hasse-Minkowski定理) fg整体域\Bbb Q上等价当且仅当它们在所有局部域\Bbb Q_p(约定\Bbb R=\Bbb Q_\infty)上等价。
因而f的等价类由其在\Bbb Q_p上的不变量完全刻画:判别式d,号差\sigma,以及由Hilbert符号给出的Hasse-Minkowski不变量\epsilon_p
Serre  A course in arithmetics
(3.2)稍精细一点,我们可以考虑二次型的\Bbb Z_p等价,其等价类即Gauss研究过的(genus)。
此处有许多深刻的数论结果,例如在Weil著名的Acta论文中,二次型的属分类通过自守形式与酉表示论相联系,由此得到的Weil-Siegel公式推广了经典的Smith-Minkowski-Siegel质量公式。我们希望在今后讨论酉表示论时更深入地介绍这方面的结果。
(3.3)属可以划分为更加精细的旋子属(spinor genus),此时有一个自旋算子群可迁地作用在旋子属上。
(Eichler) n \geq 3时,旋子属与n元不定整二次型的等价类一一对应。
读者可以在Conway, Sloane以其所引述的文献中找到详细的叙述和证明。
至此我们完整分类了不定整二次型。
(3.4)正定整二次型的分类要困难得多。以上讨论过的不变量依然可以用于分类(尤其在低维),但不再对应唯一的等价类。即使限制到幺模整格(二次型的d=1),随着维数的上升,等价类的数目也将迅速趋于天文数字:例如,Smith-Minkowski-Siegel质量公式指出32维欧氏空间中有超过8 \times 10^{16}个幺模整格的等价类!
推广Gauss约化,我们有称为Minkowski约化的算法。遗憾的是n>7时,Minkowski算法的复杂度急剧上升。此时所谓的Kneser粘贴方法(gluing method)可以进行一些有益的补充。

n>25时,正定整二次型的任何较完备的分类在目前都是不可想象的。然而从某种意义上说,24或许已经足够了:在24维我们有著名的Leech整格,7个“第二代”散在单群(sporadic group)作用于其上,包括3个Conway群Higman-Sims群铃木群Janko群J_2。Leech整格可用于构造Griess代数(作为某个共形场论顶点算子代数),后者的自同构群给出最大的散在单群:魔群(monster group,此群的阶数约为8 \times 10^{53},中文翻译似未能传达monster所隐含的“巨大”之意)——至矣,大矣,蔑以加矣!
无论从何处出发,我的兴趣总是将我引向同一个目的地。从数论开始,最终抵达魔群的所在地——这条路恰恰是Conway本人所走过的。在这里,他发现了散在单群与模形式的神秘联系,量子物理和数论以不可分割的方式结合在一起。Conway和Norton的魔群月光猜想描述了这些现象。
conway

John H.Conway (1937- )

16年前,Conway的学生Borcherds正是凭借对魔群月光猜想的证明获得了另一枚Fields奖章。


  1. 或许是为了赶在美国第一位女总统之前? 
  2. 何其政治正确!当然这也反映了现今欧美基础学科研究人员的“去欧美化”趋势。 
  3. 有此经历的Fields奖得主越来越多,当然,其中并没有华人的身影——丘成桐或许会愿意就数学研究和奥林匹克数学的关系作进一步的评论。 

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