Sisyphus and the BSD conjecture


承蒙余成龙兄过问近况。此间废弃许久,他颇觉可惜。而我自己检点旧作,念及“向之所欣,俯仰之间,已为陈迹”,更有一番“种豆南山下,草盛豆苗稀”的感慨。
一年多来冷落了不少旧友新朋,是我自己疏于世故的脾性使然,却也暗自怀抱着“知我者谅我”的期待。我的孤僻任性是不可理喻的。关于这一点,我比世界上任何人都了解得更加清楚。
依然记得五年前窝在上海的某家小旅馆里捧读the Myth of Sisyphus的那些日子。此后那个隐没在神话迷雾中的背影就成为了我秘而不宣的精神图腾。
石头滚落下去了。现在我要重新将它抬回原点。
Sisyphus
Il n’est pas de destin qui ne se surmonte par le mépris.
——Albert Camus

一则消息,作为热身。
ICM 2014将于8月13日-8月21日在韩国首尔召开。关于Fields medal的得主,圈内已有不少流言。呼声最高的是Princeton的Manjul Bhargava——事实上,4年前他就已经是Fields medal的有力竞争者了。
Bhargava主攻数论。近几年来,椭圆曲线的算术理论(参见之前的讨论)得到了相当的发展,其中Bhargava亦有不少贡献。

(1)给定\Bbb Q上的椭圆曲线E,我们以r记其秩 (rank)。我们尚不知道r是否可以任意大,但2010年Bhargava与Shankar合作证明了:将\Bbb Q上所有椭圆曲线的同构类以高 (height) 排序,其平均秩有上界7/6。此前必须假定广义Riemann猜想和BSD猜想同时成立才能得到此类结果。
今后提到”\Bbb Q上所有椭圆曲线“时,我们默认其指代按高排序的同构类。

(2)统计上,人们相信50%的r=0,50%的r=1。Bhargava与Shankar同时能够证明:满足r=0E\Bbb Q上所有椭圆曲线中占有一个正的比例。更近一步,称Weil-Hasse函数L(s,E)s=1处的零点阶数r_aE的解析秩 (analytic rank)。借助算术几何中的一些最新成果,Bhargava与Shankar能够证明满足r_a=0E在所有满足r=0E中占有一个正的比例。这即是说:
满足BSD猜想的E\Bbb Q上所有椭圆曲线中占有一个正的比例。

(3)就在几天前,问题又有新的进展。Bhargava与Skinner以及张伟合作,证明了下面的结果:
(3.1) \Bbb Q上所有椭圆曲线中,至少有16.50%满足r=r_a=0,至少有20.68%满足r=r_a=1
(3.2) \Bbb Q上所有椭圆曲线中,至少有66.84%满足BSD猜想;

不妨与Riemann猜想做一比较。1942年Selberg证明了临界线上的非平凡零点比例高于0。目前最好的结果是证明了超过40%的非平凡零点落在临界线上(Conrey, 1989)。

(4)更一般地,对于椭圆曲线的算术不变量(秩,Selmer群Tate-Shafarevich群),Bhargava等人提出可以用随机矩阵模型来预测它们的统计性质。(2)(3)是已获证明的特例。

Bhargava, Kane, Lenstra, Poonen, Rains  Modeling the distribution of ranks, Selmer groups, and Shafarevich-Tate groups of elliptic curves

再次比照Riemann猜想。此处我们有Montgomery猜想:Riemann函数的零点分布与某个随机自共轭矩阵有关。

Bhargava的兴趣远较椭圆曲线的算术理论为广,希望以上介绍能起到尝鼎一脔的作用。他能否如愿在ICM 2014上摘得Fields medal,让我们拭目以待。

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