Boltzmann方程，H定理和非平衡态统计力学

我一直觉得熵是一个极其神秘而有趣的概念(尽管对这方面的物理知识几近一无所知)。前些日子听了新晋Fields奖得主C.Villani关于Landau阻尼的讲座。他的法式夸张和他的法式口音同样典型，看来是一个很聪明(也很自恃)的人。无论如何，这个讲座重新激起了我对统计物理的兴趣。

Boltzmann方程是理解熵的基本模型之一。这篇文章是我的学习笔记。

Rezakhanlou, Villani Entropy Methods for the Boltzmann Equation

Ⅰ
大数目的同类分子群(例如稀薄气体)的分布将如何演化？换言之，给定2维/3维构型空间 $V$ ，我们希望考察在 $T^*V \times [0,+\infty)$ 上定义的概率密度函数 $f_t(x,p) \geq 0$ 的演化。

定义Liouville算子 $L=\partial_t+\{\cdot,H\}=\partial_t+v \cdot \nabla_x+F \cdot \nabla_p$ 。

分子间不存在碰撞：连续性方程给出Liouville方程 $Lf_t=0$ (概率密度局域守恒)。

分子间存在弹性碰撞：加入碰撞项 $C(f_t)$ ，我们得到Boltzmann方程 $Lf_t=C(f_t)$ 。

基于所谓的分子混沌假设，Boltzmann给出的碰撞项是 $C(f_t)=Q(f_t,f_t)$ ，其中

$\displaystyle Q(f_1,f_2)=\int_{S^2}\int_{\mathbb{R}^3}(f^{'}_1 f^{'}_2-f_1 f_2)B(p_1-p_2,\sigma)dp_2 d\sigma$

这个非线性项描述了动量为 $p_i$ 的2个分子在 $x$ 处相撞后动量改变为 $p_i^{'}$ 的过程( $i=1,2$ )。发生完全弹性碰撞时，动量和动能守恒， $(p_1,p_2)$ 可用单位向量 $\sigma \in S^2$ 参数化。碰撞核 $B$ 是非负Borel函数，取决于 $p_1-p_2$ 及其与 $\sigma$ 的交角 $\theta$ ，它描述了分子的“弹性”。

理论上经常考察Boltzmann方程的如下简化：

(1)齐性空间模型： $f_t(x,p)=f_t(p)$ 。特别地， $L$ 中的 $v \cdot \nabla_x$ 项消失。

(2)无附加力场： $F \equiv 0$ 。特别地， $L$ 中的 $F \cdot \nabla_p$ 项消失，且总动能守恒。

(3) $f_t$ 满足下列3种典型的边值条件之一：周期性条件 $V=T^3$ ，此时总动量守恒；回弹条件 $f_t(x,p)=f_t(x,-p)$ ， $x \in \partial V$ ；镜面反射条件 $f_t(x,p)=f_t(x,R_x p)$ ， $x \in \partial V$ ， $R_x p$ 是 $p$ 关于 $x$ 处法线的镜面反射象，此时总角动量守恒。

(4)假定 $B \sim |p_1-p_2|^{a}$ ，碰撞核 $B$ 可分为硬分子型( $a>0$ )，软分子型( $a<0$ )和Maxwell分子型( $B$ 与 $|p_1-p_2|$ 无关，仅取决于 $\cos \theta$ )。根据 $\theta \to 0$ 时的表现，碰撞核 $B$ 可分为截断核( $\int B d\sigma<+\infty$ )和非截断核( $\int B d\sigma \to +\infty$ )。

Ⅱ
以下讨论假定(2)成立，总动能守恒(且有限)。此时弱解的存在性是已知的(DiPerna, Lions)，全局唯一性和正则性则(像Navier-Stokes方程一样)仍是著名的开问题。
定义H泛函 $H(f)=\int_{T^*V} f \mathrm{log} f$ ，Boltzmann最杰出的工作是提出了H定理：
$\displaystyle \frac{d}{dt} H(f_t) \leq 0$ 。特别地，假定碰撞核 $B$ 几乎处处大于0，满足边值条件(3)且达到全局平衡态(泛函极小值)的 $f_t(x,p)$ 将形如 $M(p)$ ， $M(p)$ 是某个Maxwell分布。
$S(f)=-kH(f)$ 称为系统的Gibbs熵( $k$ 为Boltzmann常数)，它推广了Boltzmann熵 $S=k \mathrm{log} W$ 。在这个观点下H定理应视为热力学第二定律的一例。

L.Boltzmann (1844-1906)

Villani在讲座中提到了他拜访Boltzmann墓的情景。此君最喜欢的公式正是刻在墓上的 $S=k \mathrm{log} W$

在信息论中，一个直接的类比是概率分布 $f$ 的Shannon熵 $S(f)=-\int f \mathrm{log} f dx$ 。Shannon注意到可以用 $S$ 来衡量“信息量”。例如不等式 $S((f,g)) \leq S(f)+S(g)$ 相当于“独立事件包含的信息量大于相关事件”。
熵为研究偏微分方程提供了一个强力的工具，而信息论又为熵的研究注入了新的洞见。

Ⅲ
以下讨论假定(2)(3)成立。技术上我们要求若 $V \subset \mathbb{R}^3$ 则 $V$ 必须是严格凸的。
非平衡态统计力学的一个基本问题是：系统是否最终会收敛到全局平衡态？就当前的情形，我们要问 $\displaystyle \lim_{t \to \infty} f_t \to M$ 是否对Boltzmann方程的任意解成立？如若成立，其收敛速度如何？
对第1个问题的回答是：若 $f_t$ 满足一定的先验估计，我们可以保证 $L^1$ 意义下的弱收敛。第2个问题启发了许多工作(甚至形成了一个子领域)，下面仅介绍一个特出的结果。
在信息论中，常用Kullback-Lerbler距离(相对熵)来衡量2个概率分布 $f$ 与 $g$ 的差异大小： $\displaystyle D(f|g)=H_g(\frac{df}{dg})=\int \mathrm{log}(\frac{df}{dg})df$ 。 $D(f|g) \to 0$ 当且仅当 $f$ 几乎处处趋于 $g$ ，这给出 $L^1$ 意义下的弱收敛。
下面是一个较新的结果(2005)，也是Villani获2010年Fields奖的主要工作之一：
(Desvillettes, Villani)假定 $f_t$ 满足某些(自然的)先验估计，则 $D(f_t |M)=O(t^{-\infty})$ 。
Desvillettes, Villani On the trend to global equilibrium for spatially inhomogeneous kinetic systems: the Boltzmann Equation
上述结果以其一般性取胜：对远离平衡态的 $f_t$ 给出这样的一致估计要克服许多技术困难。
对特定的碰撞核 $B$ (例如硬分子模型)，收敛速度可能是指数级的：这方面的研究仍在进行中。

附记
Villani的讲义参考了一篇由Carlen与卢旭光合作的文章：假定(1)(2)成立，他们针对(4)中的Maxwell型截断核构造了一个极其缓慢的收敛模型。这在某种程度上补充了上述Villani的结果。
09年在清华的时候，卢老师是我分析课的任课老师。他极其敬业(令我印象很深的是他曾自费打印Tao谈数学的文章分发给全班)，对我个人也很关照。那时我隐约知道他是做统计物理学的。10年Fields奖颁出时我已南下赴港，没能听到他对Villani工作的评论。另一方面，港大的Mok恰好是这届Fields奖的评委之一，不过他也没有公开评论获奖者的工作。

9 thoughts on “Boltzmann方程，H定理和非平衡态统计力学”

Luqing Ye says:

你的东西我一个字也看不懂.我只是有一个建议：有没有觉得你的博客里那些公式突出来显得太难看了？

04/01/2012 at 10:36
- zx31415 says:
  
  去你的空间看了看，回头看看自己的，似乎的确很丑：）可否告知你嵌入公式的方法？
  
  (我用的是$latex $)
  
  04/01/2012 at 11:09
- Luqing Ye says:
  
  我跟你一样，也是使用$latex $.我认为是你的模板不好，你那个模板里数学公式显示出来感觉很凸，还是换一个吧。
  
  04/01/2012 at 17:34
- zx31415 says:
  
  原来如此。这个模板已经用了很久，就不换了吧。不过还是谢谢你：）
  
  04/02/2012 at 02:42
廖千里 says:

潇神最近有看这个东西啊。除了这篇还能基本跟上，别的文章我好像都看不懂。现在你在UCSD吗？不知道你学数学的什么方向，我基本上也算是正在学概率与统计的方向，因为我研究方向是neural network computing,computer vision还有machine learning。然后我最近就在看Restricted Boltzmann Machine（是近几年神经计算领域研究比较多的一个模型）。给我个电话有空交流一下？还想请教你数学问题呢。

04/12/2012 at 10:43
- zx31415 says:
  
  啊，术业有专攻而已，不要说的这么客气。一般来说，搞应用的家伙“请教”的问题都会让我无所适从难以思考(特地wiki了一下你提到的几个名词，不怕羞的说，觉得很是fancy，“已然神级”，哈哈)。我在加州的电话：858-333-1461。
  
  04/13/2012 at 01:17
廖千里 says:

看你数学已然神级了。

04/12/2012 at 10:44
sevenkplus says:

“客服”应为“克服”。

08/02/2014 at 13:21
- zx31415 says:
  
  已更正，多谢！
  
  08/02/2014 at 16:15