Weierstrass定理:从局部到整体 Ⅰ


这个系列是Drei Sätze von Hilbert的姊妹篇,我们从代数几何转向对多复变函数论与解析几何的讨论。基本的参考书是

Gunning, Rossi  Analytic Functions of Several Complex Variables

Griffiths, Harris  Principles of Algebraic Geometry

原始文献方面,冈洁的10篇文章奠定了整个领域的现代基础:

Oka  Collected Papers

多复变函数的局部理论在很大程度上平行于单复变函数。

给定开集U \subset \mathbb{C}^n上的复函数f \in C^\infty(U),(1)称f为全纯函数,若f满足Cauchy-Riemann方程组\bar{\partial} f=0; (2)称f为解析函数,若\forall w \in Ufw附近有级数展开f(z)=\sum a_{v_1 \cdots v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\cdots(z_n-w_n)^{v_n}

关于光滑性条件。由椭圆算子理论知(1)中f的光滑性条件可以大大放宽,例如,放宽到f \in L^2(U):这推广了经典的Goursat定理。与(2)相关的是Hartog定理:若f对每个变元z_i都是解析的,则f \in C(U)。进一步由Osgood引理知fU中解析。

(1)(2)等价:解析函数显然是全纯的;另一方面,单变元全纯函数是解析的,利用Hartog定理和Osgood引理不难过渡到多变元的情形。记U上的全纯/解析函数层为\mathcal{O}_U

“全纯”和“解析”是研究函数论的2种主要观点:代表人物分别是Cauchy和Weierstrass。“全纯”观点应用了许多强力的超越工具,因而与\mathbb{C}不可分离,而“解析”观点则基本上是代数的:同样的工具往往自动适用于形式幂级数f \in K[[z_1,\cdots,z_n]]

属于“全纯”范畴的工具包括(1)Cauchy积分公式:

\displaystyle \partial^{k_1,\cdots,k_n}f(z)=\frac{(k_1!)\cdots(k_n!)}{(2\pi i)^n}\int_{|w_j-\zeta_j|=r_j}\frac{f(\zeta)d\zeta_1\cdots d\zeta_n}{(\zeta_1-z_1)^{k_1+1}\cdots(\zeta_n-z_n)^{k_n+1}}

(2)调和函数:最大模原理,局部刚性以及Schwarz引理。

(3)泛函分析:在紧致开拓扑下,\mathcal{O}_U\mathcal{C}_U的闭子环;对于E \subset \mathbb{C}^n\bar{E}紧致,限制映射r_{ED}:\mathcal{O}_D \to \mathcal{O}_E是紧映射。

下面我们建立2个属于“解析”范畴的工具。以\mathcal{O}_nn变元解析函数层在原点处的芽层。称f \in \mathcal{O}_n对于z_nk阶正则,若视fz_n的单变元函数时其在原点处有k阶零点。我们称\mathcal{O}_{n-1}[z_n]中的首一多项式为Weierstrass多项式。

(Weierstrass预备定理)若f \in \mathcal{O}_n对于z_nk阶正则,则有且仅有一个k次Weierstrass多项式h \in \mathcal{O}_{n-1}[z_n]使得f=ghg\mathcal{O}_n中的单位元。

(Weierstrass除法定理)给定k次Weierstrass多项式h \in \mathcal{O}_{n-1}[z_n]f \in \mathcal{O}_n可唯一表示为f=gh+rg \in \mathcal{O}_nr \in \mathcal{O}_{n-1}[z_n]的次数小于k

变奏1:这2条定理在形式幂级数范畴下的类比当然成立。

变奏2:这2条定理在光滑函数范畴下的类比称为Malgrange预备定理和Mather除法定理。从解析范畴到光滑范畴的过渡是标准的:借助Fourier变换。

Hörmander  The analysis of linear partial differential operators I

One thought on “Weierstrass定理:从局部到整体 Ⅰ

  1. 你对Gunning, Rossi的多复变书怎么评价?是不是相当不错?谢谢
    我正准备学习多复变,到处搜括教材,还不清楚应该从哪本开始

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