爱因斯坦的上帝,刘慈欣的上帝

「上帝深奥难测,却绝无恶意。」(Raffiniert ist der Herrgott, aber boshaft ist Er nicht.) 此处的「上帝」并非基督教的耶和华,而是泛神论意义上的大自然1。爱因斯坦谈论的是自然研究者的某种普遍信仰,这一点在诺伯特·维纳(Norbert Wiener)的《人有人的用处》(The Human Use of Human Beings)里阐述得很清楚:摩尼教认为「恶」是某种人格化的力量,在永恒的涨落中处心积虑地妨碍人达致「善」;圣奥古斯丁(St.Augustine)则将「恶」定义为「善」的缺失,仅仅是一种暂时的、局部的现象,可以通过人的努力从图景中消除。科学家相信,他们所面对的「恶魔」——物质世界在表面上呈现出的无秩序状态——是奥古斯丁式的而非摩尼教式的。自然可能拒绝被轻易解读,但祂不会主动欺骗人类2

在《三体》中,刘慈欣设想了一个「自然欺骗人类」的场景。世界上的所有粒子加速器同时发生紊乱,对于同样条件下的实验,它们拒绝给出相同的结果。最终读者被告知,这确实是来自上帝的恶意,不过仅仅是来自「地球三体组织」3的「上帝」——三体星人。或许是因为担心对读者造成太过剧烈的冲击,刘慈欣并未跨过科幻小说的底线:他没有尝试肢解科学本身。然而对于自己笔下的人物,刘慈欣就吝于施舍同情了。《三体》中许多物理学家因为信仰粉碎而自杀,他们的生死仅悬于作者这位「上帝」的寥寥一笔。

我回忆起自己的高中时代。在一篇名为《落星》的小说里,我构想了一个因为宇宙秩序崩溃而陷入疯狂的巫觋。我很清楚这个隐喻的指向。小说仅仅是容器,它真正记录下的是一个陷入巨大激情的少年人,不惜乞灵于怀疑主义甚至虚无主义,挣扎着为自己去魅的努力。在几年后的今天看来,这不过是以较为矜持的方式表达了某种自恋,现实从来也不曾屈从于我的想象。如果一个人围绕某种信仰去构建他的人生,或许他的人生不可能比这种信仰本身更坚固。然而,如果你不曾那样活过,你很可能会低估那种信仰的强度。现在我可以有把握地说,科学家不会为了某个图景的崩坏而发疯,或者上吊。这不是因为他们不够虔诚,恰恰相反,是因为他们对爱因斯坦的上帝深信不疑。

这是否足以回应刘慈欣的非难呢?本质上,有两种构建小说的方式:沿着人物的个性漂流,而将种种境遇理解为小说世界的切面,抑或事先布置好舞台场景,再将人物抛掷到幻想的竞技场中。刘慈欣感兴趣的是极端状况下人的选择,他假定一个不可克服的世界,先就人的本性得出了自己的答案,之后才去考虑人作为小说中的角色将如何行动。对刘慈欣的拒绝也因此区分出不同的层面。

最为直接的否定是:刘慈欣构筑的世界并非不可克服。科学基础的崩坏或许将导致绝对的不可知论,但刘慈欣放弃了哲学意义上的探索。从「智子」正式登场的那一刻起,故事从超越的世界滑落现实,完全接受「科技锁死」而不作抵抗的失败主义从此成为所有人物不可反抗的「思想烙印」,在这个设定的帮助下作者才得以顺利地布置好舞台。为此他也付出了代价:牺牲了人物的真实,至少是人物的自由。我们希望——或者奢望——对人类社会的呈现是巴尔扎克式的,包括了每一类人的肖像。在刘慈欣的舞台上,始终只有经过他遴选的同一类人在起舞。

即使接受一个不可克服的世界,反对者依然可以争辩说这个世界不可能是真实的,甚至不是接近真实的:「不能脱离『人类历史』去谈『人类本质』,将人逼迫到悬崖边上拷问是施虐癖的体现,结果将是对人性的扭曲而非揭露。这令人产生情感上的不适,也不会带来满意的道德推论。」「这种假设没有意义。」

然而刘慈欣可以坚持提问:「如果这个世界是真实的呢?」

在现实的层面上拒绝某个答案并不意味着取消了问题本身。允许幻想,就必须允许提问。当《约伯记》里的上帝在旋风中显现:「如果我坚持要试炼你呢?强辩的岂可与全能者争论么?」信仰爱因斯坦的上帝之人又将如何回答4

在我看来,这是文学最有趣的地方——文本会超越作者的意图,而映照出读者本身的形象。

我愿意提供我的答案。每个人本来就面临一种不可克服的命运:个体的消亡。在托尔斯泰的故事里,人类原本可以预知自己的死期,耶稣担心这会导致堕落,因而收回了这种能力。我不知道别人会怎么选择,但「我将在明天死去」「三体舰队将在四百年后到来」无法吓倒我。在有生的瞬间我将继续播种,并不指望看到收获。

在更大的时间尺度上,一切「意义」都是渺小的。在我所知的范围内,宇宙也有自己不可克服的命运:「热寂」(heat death)。将一切压缩到一个故事中,强迫读者直面太阳系的终结,并不能使之变得更加恐怖。我仍将有尊严地活下去,并坦然面对终点。

三体文明经历了一轮又一轮毁灭,西西弗的石头一次又一次滚落原地。即使在没有希望的世界里,绝望也不是绝对的。确实存在一种理智的悲观主义可以抗衡上帝的恶意:“We shall go down, but let it be in a manner to which we may look forward as worthy of our dignity.”5


  1. 由此看来,Raffiniert ist der Herrgott不妨译作「道心惟微」。 
  2. 一种down-to-earth的诠释是将其理解为科学方法论上的建议,再朴素一点,关于「如何聪明地做选择」,例如当实验结果不尽如人意的时候,坚持「自然不会出错,是我错了」,可以节省一半的时间。爱因斯坦喜欢在这个意义上谈论上帝,例如著名的“I, at any rate, am convinced that He is not playing at dice.”
    对此的批判性意见可以上溯到尼尔斯·玻尔(Niels Bohr): “Einstein, don’t tell God what to do.” 其核心论点是:对「微妙」与「恶意」的区分不可避免地带有人类先入为主的偏见。对爱因斯坦来说,基于概率诠释的量子理论是「恶意」的,一个宇称不守恒的世界大概也是,尽管绝大多数现代物理学家愿意将其作为自然的「微妙」加以接受。 
  3. 刘慈欣对「地球三体组织」的构想并非毫无依据:类似「地球解放阵线」(Earth Liberation Front)的组织是真实存在的。 
  4. 后现代的宇宙图景更加开放地拥抱各种可能性,当代的物理学家不惮于设想「上帝或许是促狭的」。下面将要谈到的「我的答案」同样基于某种后现代思想,即加缪(Camus)式的存在主义。两者的共同点在于背离了对世界的古典理解:「如果『上帝』不存在,或者不是善意的,秩序和道德依然是可能的。」即使因此我们必须放弃秩序和道德的必然性,或许还要牺牲演化稳定性。 
  5. Wiener, The Human Use of Human Beings: Cybernetics and Society 

Only human

因为个人原因,这个博客荒废了一段时间。接下来希望能恢复正常的更新节奏。
生活在只有数学结构的世界里,从某种意义上是很理想的。But we are only humans.
一个新近的例证是P.Deligne获得了今年的Abel奖。在T.Gowers宣布这一消息的博客文章里,一位化名sowa的数学家公开质疑

(1)Gowers是否有足够的专业知识连续3年撰写面向公众的获奖人介绍 (尤其是介绍J.Milnor和P.Deligne)?
(2)去年获奖的E. Szemerédi是否有资格与J.Milnor和P.Deligne并列?以及更为本质的,
(3)近年来Gowers和陶哲轩等人大力倡导的“组合数学”是否(像代数几何一样)重要,或者仅仅是Bourbaki意义下的“次等数学”?

十余位数学家和sowa展开了连篇累牍的辩论(包括上面提到的2位Fields奖得主Gowers和陶哲轩)。我花时间读完了全部的讨论,并再一次确认数学家也不过是普通人类,也像普通人类一样趋炎附势、自以为是、喜怒贪嗔。我自身的软弱动摇,归根结底也是人类弱点的一种,since we are only humans.

数论问题的价值

我以为判断一个数学问题的价值大致有2种途径:一是看它是否有趣,一是看它是否重要。

所谓“有趣”,大多与一个命题出乎意料的程度有关。一般来说,一个表述简单却难以证明或证否的问题通常是有趣的。如果这个问题最终得到证明,事情就更加有趣了:从一片混沌中诞生出简单的图景,提示我们必然有某种值得深入研究的机理存在。此时这个问题开始变得“重要”了:围绕着它,数学家们构筑起理论,试图把他们在解决这个问题的过程中所获得的经验推广到更多的问题上。新的数学产生了。

一个问题的重要性取决于它在我们对现象的理解(即“理论”)中占据何种位置。挡在通衢大道上的石头是谁都想搬开的,躺在路边的石头则不会有多少人注意。当然,如果路边的石头固执地抗拒一切推开它的努力,它将以另一种方式变得“重要”:这种重要性由种种失败中所产生的新数学的多少来衡量。

数论是数学中最特别的分支:我们对整数惊人的无知,几乎所有数论问题都在某种程度上是“有趣”的——正是凭借这一点数论吸引了人类最优秀的头脑。另一方面,除了少数几个经典问题外,似乎很难先验地知道哪些问题在整体图景中是“重要”的:此时我们只能转而求助第2种重要性的定义,希望从中产生尽可能多的数学。

下面是一个粗糙的分类。我们仅给出每一类中最具代表性(往往也最有价值)的例子,并不代表所有同类问题都具有同等价值。横向上看,通常(1)(3)中的问题都是值得珍视的(在数论中并不多见),(2)(4)的价值次之,充斥整个数论的(5)则不那么重要:

(1)第一类问题包括Riemann猜想Langlands纲领。它们在2种意义上都是重要的:既处在现代数论的核心,又催生了大量“好的数学”,是整个现代数论前进的定向标。

未解决的Hilbert问题中,第9问题第12问题(Kronecker’s Jugendtraum)都可以归入此类。除了本身的理论价值外,它们还是类域论复乘理论和Langlands纲领的渊薮。

(2)另一类问题有理论上的重要性,却因为太难或者太偏而没有产生太多主流数学,或者必须借助(1)中的问题才能得到迂回的理解:例子包括Gauss的类数猜想Artin的原根猜想,等等。如果有人能以“正确的方式”理解它们,则此类问题可能提升为(1)中的问题。

(3)Fermat大定理本身并不重要,但它在第二种意义上极端重要:例如,它催生了Kummer的理想理论,从而建立了代数数论和代数几何的基础。Wiles的证明则增进了对Langlands纲领的理解,由此产生的系列数学工具也极具威力(参见Richard Taylor的工作)。

目前看来,比Fermat大定理更强的abc猜想应该也属于此类。望月新一最近的工作能否像Wiles的工作那样推动整个领域的进步,我们拭目以待。

(4)同样,Goldbach猜想孪生素数猜想本身也没有太大的重要性(尽管它们是“有趣”的典型例子)。人们因此发展了加性数论(华罗庚的“堆垒数论”)。经典工具(例如筛法)的应用范围狭窄,和Fermat大定理衍生出的数学相比,眼下处在边缘位置。这解释了为什么某些数学家轻视这方面的工作。当然,(4)中的问题也有可能提升到(3):例如,加性数论最近接受了来自遍历理论的新想法,似有重新回归主流的趋势(参见陶哲轩的工作),而后者又依赖于从到van der Waerden定理Szemerédi定理的提升。

Erdős是“趣味主义”的代言人,他提出的猜想大多属于(4)。概率数论(Erdős–Kac定理, etc.)和随机图(Erdős–Rényi模型, etc.)等工作是成功提升到(3)的例子,上面提到的陶哲轩的工作可能使Erdős猜想(若\sum 1/a_i发散,则整数序列\{a_i\}中包含任意长的算术级数)获得提升。Ramanujan在模函数方面的工作中,Ramanujan猜想已通过Weil猜想成功提升。古老的同余数问题并无重要性,但它通过与BSD猜想联系获得了重要性。另一个相对近代的例子是经由Vojta的工作,Roth定理成功融入了算术几何的理论框架。

(5)证否和反例不一定是不重要的(尤其在第二种意义上):例如,Littlewood证否了Gauss猜想\pi(n)<\mathrm{Li}(n),这增进了我们对\zeta函数的理解,值得划入(4)。在寻找Euler猜想反例的过程中,Elkies和Frye等人发现了椭圆曲线理论的一个意外应用,这有一定的算法价值 (更不要说类似的构造椭圆曲线的方法提供了从谷山-志村猜想推出Fermat大定理的途径)。

Guy的Unsolved Problems in Number Theory中收录的问题也不一定是不重要的。事实上,它们中相当大的一部分都有某种程度的重要性。我们已在(2)(4)中提到部分例子,尝鼎一脔,其余可知。

很遗憾,在我看来Guy, F26不属于上述两类,而属于最不重要(也最常见)的一类数论问题:既在整个理论中没有位置,也不太可能产生有意思的数学。反例并不巨大(这意味着问题并不是那么难),同时,由于找到反例的方式是完全初等的,其潜在的算法价值也相当有限——这还是在不考虑Fuller,Iraids等人已得到好得多的结果的情况下。

【注记】
本文写成之后,豆瓣上的魔术师同学提醒我Guy, F26和素数的Kolmogorov复杂度有关。这样看来,一个Littlewood式的证否原本可能将它提升到(4)。我同意他的看法:“这个解法把他降低到了(5)。……一个昭示如何构造反例,或者证明仅有穷多反例,或者无穷多反例才可算是好的回答。”

猜想,反例及随感

我大概算是后知后觉了。看了今天南都的报道,我才知道韶关学院的本科生王骁威解决了一个“数论难题”,将发表在明年的Journal of Number Theory上。

Venecia Wang   A counterexample to the prime conjecture of expressing numbers using just ones

之前围绕刘路证明Seetapun猜想并获聘为国内最年轻的正教授级研究员一事有很多争论。我没有参与,因为我不了解Ramsey问题,也不懂数理逻辑。不过,对于数论,我还有一点把握。王骁威解决的问题出自Guy的Unsolved Problems in Number Theory,我知道这本书(中学的时候翻过),也知道里面有大量零碎的小问题。略一检索,就找到了王骁威解决的F26:

(摘自《数论中未解决的问题》,张明尧译,科学出版社,2003)

王骁威指出对于素数p=353942783f(p)=1+f(p-1)不成立。他找到反例的方法是简单的初等估计加上计算机辅助,在我看来这和数论关系不大。实话说,我甚至不觉得这个猜想本身有什么意思(f(n)称为n的复杂度,大概和某种二进制算法有关)。
有趣的事情出现了。经过简单的google搜索,我发现在收集各类数论事实的在线网站OEIS上,已有人借助计算机找到了上述猜想的前1000个反例 (Martin N. Fuller, Janis Iraids)——王骁威的结果和他们相比可以忽略不计,但2位程序员似乎没有正式发表这个结果的兴趣!
我愿意相信王骁威并不知道此事。但Journal of Number Theory的审稿人恐怕有失职之嫌。
几点零碎的想法:
1.我知道在论文和期刊的数量均呈指数级增长的今天,仔细地审查每一个结果是困难的(例如,同样在OEIS上,仍有人将p=353942783这个反例归功于Venecia Wang)。但正因如此,才体现出专业审稿人的重要性:他们往往是维持刊物质量的最终防线。可惜,这道防线并不那么稳固——Sokal事件发生时,有谁能够想到仅仅16年之后,刊物的审查水平将低落到甚至连软件生成的论文也能屡屡被各类工程、应用数学甚至纯数学期刊接受呢?王骁威的case并不是一个在国内被埋没却在国际上完成逆袭的例子,而是一个暴露了现今“国际标准”普遍无法得到有效执行的例子。
顺带一说,Elsevier旗下的刊物似乎特别容易出现审稿不严的问题。
2.“王骁威说动力源自2010年,中南大学年仅22岁的刘路破解了世界数学难题‘西塔潘猜想’,被该校破格聘为正教授级研究员,成为中国最年轻的教授”——羡慕他人的成功进而发奋向学,就结果来看也算是幸事,但学问无捷径,总想着从偏僻的角落找出一二问题来,籍此少年成名就不见得是好事了。在我相识的同龄人中有好几个踏踏实实想做点真学问的人,对于这类问题,他们不是不能为,而是不屑为。媒体的大量报道(几乎总是不专业的)片面地放大了刘路们的成绩,对耐得住寂寞的人不公平,对刘路们找准自己的位置也没有帮助。至于通过吹捧几个“少年天才”来含沙射影地攻击国内的体制,我觉得这没什么意思。
3.“据王骁威说,知名华裔数学家丘成桐曾与他就这篇论文进行过邮件交流,对他表示了肯定。”我当然不能肯定地说此事不确,我只能说基于我对丘成桐taste的信心(他甚至不太瞧得起Goldbach猜想),我不太相信这是真的。尤其是这个youtube视频,让我联想到网上常见的一类人,实在遗憾。
【补注1】
有人向我提及彭翕成的发现:早在2008年反例p=353942783已出现在某个俄罗斯论坛的讨论中。关键性的句子是Контр-пример  p=353942783 был недавно найден Мартином Фуллером (Counter-example p=353942783 was recently found by Martin Fuller),这和OEIS上的叙述一致。追踪Fuller是在何时以何种形式发表这一结果似乎是件有趣的事,特此记录,以俟能者。
【补注2】
经中国青年报证实,与王骁威邮件联系的是丘成栋(Stephen S.T.Yau). “王骁威后来告诉记者,这是他弄错了,包括给记者介绍情况时,他也没弄懂两人的差别。”

“代数课是必要的吗?”

上周日的纽约时报刊发了CUNY政治学教授Andrwe Hacker的一篇文章:“Is Algebra Necessary?“——代数课是必要的吗?

对,你没猜错,Hacker的回答是否定的。我个人觉得这篇文章的论证欠缺说服力,倒是网上看到的另外两篇驳论颇有可圈可点之处 (Timothy Burke, Daniel Willingham)。Anyway, 这都是一个老话题了,许多人曾经问过并在可见的未来还会有许多人问:数学教育的必要性是不证自明的吗?如果不是,那么除了“传统”之外,是否有其他更具说服力的原因驱使人们学习数学?如果当下的数学教育是不合时宜的,那么它又该如何自我改造才能与其在整个教育体系中无比显赫的地位相称?

有趣的是这个老话题似乎总能激起一些新讨论。印象中,最近一次讨论的导火索是木遥的文章《为什么没人喜欢学习高等数学》,在评论里可以看到各种不同观点的争鸣。

对这个久经讨论的话题,我基本没有什么新观点可以贡献。想到的大致是以下几点:

一位朋友留言说:“不学代数,统计能学得好么?”于是一辈子都用不到统计学的韩寒蒋方舟笑了。一方面,大家都意识到不同职业对数学的要求天差地别,另一方面,每一个人又都倾向于以自己的背景划定“必修的数学课”。政治学教授希望在中学课程中砍掉(大部分的)代数课,Bourbaki的徒子徒孙则希望每个中学生都知道“\Bbb R是一个带有全序关系的拓扑域”——这两派观点显然不可能调和,而任一派的得势在我看来都会是一场悲剧。少数人的“理想主义”绝不宜于强加给大多数人。

基于同样的理由,我不认为数学的实用价值能保证其绝对必要性,或者足以回答“为什么所有中学生都要学(同样多的)数学?” 或许这种绝对性的根基只能到形而上的领域中寻找,一个可能的答案是:所有人都应该学习代数或微积分,因为人类天性中就有探索规律的欲望,构筑理论的欲望,脱离一切功利目的纯粹在智力活动中获取审美愉悦的欲望,而数学几乎是这种天性的最高结晶。这种天性大概不是人性中最主要的部分,也无法强求每个人的此种天性都得到发展,但仅仅为发展这种天性保留一点可能,我认为就值得这么些年的“基础数学教育”。这种观点可以上溯到柏拉图对几何学的辩护。

关于当下的数学教育。所有人都或多或少地认为应该改革,但或许只有科班出身的人才能体会到具体操作中的困难。难以就改革的方向和内容达成共识是一方面,而常为人所忽略的困难在于:数学家也是凡人,他们也有自己偏好的理解数学的方式,脱离了这种范式他们同样无法思考。他们当然能以公理化的方式教授数学,但社会却希望他们同时也能教授生物学家、经济学家甚至历史学家、哲学家的数学——在一个高度专业化的时代,这是否可能?而放弃这种比较优势,又是否值得?无论如何,让数学系独力承担这个任务的确有强人所难的嫌疑,而更困难的则是理解他们“女王式的骄傲”:“There is no such thing as ‘American English’. There is the English language and there are mistakes.”

John Pardon、3维流形的拓扑和网络时代的数学

这两天在病中,读书全无力气,倒是有时间胡思乱想。潦草地整理了一下思绪,权作抛砖之用。

前段时间,中南大学本科生刘路证明Seetapun猜想并获聘为国内最年轻的正教授级研究员一事引发了不少讨论。我对Ramsey理论和数理逻辑仅有一点皮毛的了解,无法估量这项工作的分量。唯一想说的是:无论拔擢是否过当,能做出原创性的贡献总是好的。同为本科生,在这一点上我便自愧不如。反之,说几句无关痛痒的风凉话是谁都能做的,又何妨少说以至于不说。

谈论刘路的同时,我所想到的(也是不少“圈中人”所想到的)是另一位同龄人John Pardon. 此君在Princeton读本科时已解决了Gromov提出的一个扭结问题,发表在数学界最高刊物Annals上。几个月前,Stanford研究生院一年级在读的Pardon又有新突破:利用极小曲面的技巧他证明Hilbert-Smith猜想的3维情形。如此惊人的早慧,大概只有50年代Priceton的“双星”John Nash和John Milnor才差可比拟。我无意做任何预言,但如果此君在将来的某日摘得Fields奖,我也毫不惊讶。

关于此君的“周边”,例如他的父亲也是数学家,他擅长中文辩论和大提琴演奏等等,可以参见Princeton大学官网上的介绍

09年在清华的时候,我曾在高研院听过孔良研究员的讲座。他提到3维拓扑学的没落:大意是说Poincaré猜想解决后,Thurston的几何化纲领也大致告竣,这个领域里已没有什么值得做的问题。从某种角度上说,的确如此。但近两年的“收官”实在也称得上风生水起。仅在这几个月间,我们已见证了Agol对拟Haken猜想——“3维拓扑里的最后一个大问题”的证明,Kuperberg对“判断绳结是否平凡是NP问题”的证明,以及诸如上面提到的3维Hilbert-Smith猜想等进展。话说回来,或许这种丰收不完全是一件好事:经过这一轮收割,3维拓扑学家可能真的该考虑今后何去何从的问题了。

与一二学术新星的爆发,某些前沿学科的成熟(以及随之而来的、不可避免的“落伍”)相比,更让我感兴趣的是Kuhn所谓的范式转变:互联网的惊人发展已经越来越深刻地影响到数学家研究数学的方式。最引人注目的是预印本网站,数学博客和数学论坛的兴起。

arXiv是现下最著名的预印本网站。此类网站的出现事实上将之前局限于专家之间的交流公开化了,从而降低了前沿研究的准入门槛。公平地说,传统媒介(如图书馆)仍能提供充分的基础训练(毕竟40多年前仍是高中生的Faltings就可以通读EGA了),但预印本网站的确更便于研究者追踪前沿。一个很好的例子是John Pardon,他从高中时代起就开始在网上大量阅读数学论文以了解最新的研究成果。此外,预印本网站也彻底解决了优先权归属问题:所有上传都有案可查。最后,在最近进行得如火如荼的杯葛Elsevier行动中,预印本网站已成为数学家们的“撒手锏”,有理由相信这些开源、免费的网络共享平台最终会成为撬动传统期刊地位的最有力杠杆。

数学博客的最好例子是陶哲轩的What’s new:我想它无疑也是世界上点击率最高的数学博客。每年陶哲轩都将自己的博文整理成实体书出版。随着这部分著作在他全部著作中的比例越来越高,以写博客的方式传播数学(不仅面向数学界,也面向更广义的科学界)已成为他工作的重要方式(如果不是主要方式的话)。任何一个读过Poincaré’s legacies, An epsilon of room的人都会发现它们与传统数学著作的不同:更松散的体例,更平易的语体,等等。但网络的不可替代性在于:唯有通过博客才能实现作者与读者的互动和思想交流。即使对于陶哲轩这样的天才,这也是一个双向受益的过程。而对他人来说,知识上的增长倒在其次,由此产生的激励效应或许才是最重要的:从阅读EGA到有资格与Grothendieck通信花去了Faltings十来年的时间!

为说明这个新范式的确促进了数学的进步,或许再次引用John Pardon的例子是合适的:陶哲轩今年探讨的主题是Hilbert第5问题,他对Hilbert-Smith猜想的讨论直接影响了Pardon.

事实上,我也是通过博客了解到才上面提到的种种进展:3维拓扑学,见Low Dimensional Topology;关于Hilbert-Smith猜想和John Pardon的工作,见What’s new和Area 777

最后,诸如MathOverflow之类的数学论坛提供给数学工作者一个自由交流的空间,它恢复了Academy这个名词的本源意义:一个通过探讨辩论来达致真知的“学园”。Thurston, Gowers以及陶哲轩等一流学者的积极参与,在某种意义上也消解了数学界的“阶级分化”。促进交流的效果是明显的。Pardon对Hilbert-Smith猜想的证明中,涉及到构造某个不可压缩曲面,这基于他与Agol在MathOverflow上的讨论。近日的另一场讨论似乎见证了某种新的构造扭结多项式的方法的诞生。

我特别在意的一点是,国内许多论坛在初建时能保持较高的水准,但结局不外乎两种:要么局限于小众讨论最后趋于萎缩消亡,要么人气高企招来大量民科“迁入”甚至最终被“占领”。但MathOverflow却能在持续繁荣的同时保持自净能力:过分初等或者民科的帖子会在极短时间内收到许多”-1″并被锁贴,这并非是一二管理员的特权,而是基于整个群体的认知和自我约束。从博弈论的角度说,这样的一个社区是进化稳定的。我想根本的问题仍在于国内数学研究者太少,并且水准堪忧,“劣币驱逐良币”即使在网络空间中也是时刻上演,实在令人感叹。

以上是对现状的一点简单观察和浮泛思考。预言网络时代的数学将以何种方式发展远远超出了我的能力,但我愿意将自己所坚信的一个信念与诸君共享:无论技术工具的进步提供给“好学者”多大的便利,最终能做出贡献并推动数学进步的仍是像John Pardon这样传统的“深思者”。

我们需要怎样的数学教育

本文是Matrix67同学同名文章的读后感。我简单说说我的想法。

不同的人,学习数学的目的很不一样。数学的应用价值当然广泛,不过这个世界上也确实有不少韩寒:对他们来说,初二水平的数学就够用了。经常听到的论调是,数学是理性的最高表现形式,因而无论志在何种职业,都应该学一点数学,得到一点思维上的训练。我觉得这个观点似是而非。如果学习数学是为了训练理性思维,那么全民必修的该是一门逻辑课。数学理论当然是逻辑训练的好材料,然而,高深的数学理论并不带来更多逻辑上的挑战——代数几何和平面几何都只用到最基本的三段论而已;另一方面,数学训练的必要性也不等同于充分性。我的朋友中就颇有几个精于数理而迂于世情的——对数学之外的事情,他们比一般人更糊涂。我依然认为他们是芸芸众生中最“聪明”的,但这种“聪明”似乎不是大众学习数学的初衷。事实上,大众对这些“聪明人”采取敬而远之的态度。

很多人废寝忘食地背下了大量公式来应付数学考试,很快忘得一干二净之后又安慰自己说好歹算是训练了逻辑思维——这是毫无含金量的廉价安慰。对大部分人来说,初二水平的数学真的够用了。如果他们愿意学得更多,或者对数学史抱有考古的兴趣,那是个人自由。剥除有限的实用价值,精巧的理论反而是一种不必要的折磨。数学当然有独立于实用价值之外的美,但是强迫每个人都去欣赏,那是大规模犯罪。

不少人还是要用到高等数学的。这里需要澄清的是,所谓“高等数学”,实在是很初等的数学。对于工科学生来说,微积分和线性代数当然是必要的课程。物理系学的更多一些:微分方程,特殊函数,群论外加一些泛函分析。在理论物理的前沿,他们会遇到纤维丛,辛几何和共形场论。然而这仍然只是数学的一部分。我想除了数学家之外,不会有人对类域论感兴趣,更不要说Langlands纲领。这种冷漠是可以理解的。他们大可以理直气壮地问数学家,如果散在的有限单群不是26个而是62个,太阳难道会从西边升起来吗?不能排除这样的可能性,不过,必须承认,单群与星体运行之间的关系,即使存在,也远超出我们的想象力。

工科数学教育最显著的问题似乎是“形式化”。这大概是工具理性的一种表现:为了“短平快”地掌握所需的数学,工科学生学习数学的速度往往是数学系学生的数倍。所以他们几乎从来没有机会弄懂他们所学的究竟是些什么玩意。如果你让他们解释dx是什么,他们给出的回答与其说是数学,不如说是玄学。“以其昏昏使人昭昭”是不可能的,于是这在工科院系成了代代相传的顽疾。唯一的安慰是这不妨碍他们做微积分,做得比数学系的学生还要好。我对这个问题抱宽容的态度:毕竟,Newton也说不清dx是什么。在我看来,真正的症结在于除了公式和计算,工科数学教育所余无几。真正应该强调的是视觉化,讨论大量应用的实例,在实践当中掌握理论。证明是相对次要的事情:如果你对你在做什么有充分的感觉,知道各种事实是如何恰当地组织起来的,写出证明只是一种形式。反之,我不认为“记住”诸如行秩等于列秩的证明有什么用处——即使记住了也很快会忘记,更何况如果你动手解过几个线性方程组,就能“理解”这个显然的结论。

Matrix67同学力陈美感的重要性。然而在我看来,对以数学为志业的人来说,数学必然是“丑”的。这好比游客登山,只看到大道平坦,景致优美,而开荆辟棘的艰辛只有开山者自己能够体会。数学工作者说数学是“美”的,是流尽血汗后终于登顶看到绝美风景的震撼与欣然,这种美和欣赏数学之美的“美”很不一样。多数人以学习数学理论来求得一点审美的愉悦为苦,和真正的数学工作者相比,这不过是“十指不沾泥,鳞鳞居大厦”。另一些人把“数学之美”作为一种广告词。恕我直言,这些人本身大多只是“观光客”,物以类聚,所招徕到的也只能是一群“观光客”。

如何培养未来的数学工作者是一个很大的问题,我不够资格来谈。但至少有一点我是有把握的:应该少谈一点形而上的玩意,多锻炼真功夫。这并不是说要放弃整体的观点。恰恰相反,这意味着在“专”的基础上“博”:仅仅知道Riemann猜想是远远不够的,要知道它如何和整个数学相互作用,在整体图景中处在一个什么位置。那些仅仅将Riemann猜想作为谈资的人,我是不太佩服的。

Matrix67君指责高数课本“荒唐”。宽容一点,我们应该允许工科数学甚至文科“数学”有自己的逻辑和教学方式。严厉地说,则M君只能算是“登堂”,离真正“入室”尚有不小的距离。以他的观点来教育未来的数学工作者,我以为不妥当。

M君的文章,只适用于像他那样的“数学爱好者”。