h-协边和高维Poincaré猜想 Ⅱ

有关h-协边定理的原始论文是

Smale  On the structure of manifolds

基本的想法来自Morse理论:给定M^n上的Morse函数f,指数为k的临界点pf(p)=Cf^{-1}[C-\epsilon,C+\epsilon]中不存在其他临界点。记M_{a}=f^{-1}[-\infty,a],则M_{C+\epsilon}微分同胚于M_{C-\epsilon}借助特征映射\phi:S^{k-1} \times D^{n-k} \to M_{C-\epsilon}粘贴上一个k-环柄h^k=D^k \times D^{n-k}。这给出M环柄分解

D^k \times 0称为k-环柄的核,\phi(S^{k-1} \times 0)称为粘贴球,0 \times S^{n-k}称为带状球。

Morse理论通常仅考虑同伦型 (k-环柄同伦于k维胞腔),这已足够提取同调群的信息。将胞腔同调平行地搬运过来:所有k-环柄记为C_k,边缘算子\partial_k: C_k \to C_{k-1}\partial_k(h^k_\alpha)=\sum <h^k_\alpha|h^{k-1}_\beta>h^{k-1}_\beta<h^k_\alpha|h^{k-1}_\beta>h^k_\alpha的粘贴球与h^{k-1}_\beta的带状球的相交指数。易见链复形\{C_k,\partial_k\}的同调同构于胞腔同调/奇异同调。

越简单的胞腔分解越便于应用,同理我们希望简化环柄分解。有3种主要手段:

(a)环柄重排:首先,任意环柄都可以在更高维的环柄上“滑动”,因此我们可以按维数粘贴环柄而不改变M的微分同胚型;其次,2个k-环柄间的“滑动”也是允许的,其代数效应相当于C_k的基底变换/\partial_k的初等变换。

(b)环柄消去:特定的k-环柄和(k-1)-环柄可以成对消去。具体地说,若h^k_\alpha的粘贴球与h^{k-1}_\beta的带状球横截相交于一点,则可以消去h^k_\alphah^{k-1}_\beta,这称为几何消去。

我们需要更强的代数消去:在\partial_k(h^k_\alpha)=\pm h^{k-1}_\beta的假设下消去h^k_\alphah^{k-1}_\beta。为了化归为几何消去,需在保持相交数不变的情况下消去异号的交点。当M^n单连通,n \geq 5k \geq 3n-k \geq 2时,Whitney技巧保证这总是可以做到的。

Whitney技巧是高维微分拓扑中最强有力的手段,但也导致了(根本性的)维数局限。

(c)环柄交易:

我们还需要处理0-,1-,(n-1)-和n-环柄。首先注意到环柄是对偶的:取Morse函数-f,则原本指数为k的临界点变为指数为n-k的临界点,k-环柄变为(n-k)-环柄,因而不妨仅考虑0-和1-环柄。连通性保证0-环柄可用1-环柄消去。当n \geq 5时,1-环柄界定一个嵌入圆盘。我们先生成可消去对(h^3_i,h^2_i),再用2-环柄消去1-环柄,留下便于处理的3-环柄,这称为一宗“环柄交易”。

将上述考虑应用于h-协边3元组(P^n,Q^n,R^{n+1})。h-协边有几种等价的表述:

(1)R同伦于平凡协边P \times [0,1]

(2)PR形变收缩核(类似的,Q);

(3)如果3者均单连通,(2)等价于H_{*}(R,P;\mathbb{Z})=0(类似的,Q);

显然,(3)是最合适我们目的的表述:应用上述3种操作可以将R的环柄分解化到最简,从而说明其微分同胚于平凡协边——h-协边定理得证。

Milnor系统总结了上述理论。他主要考虑Morse函数而非环柄。

Milnor  Lectures on the h-cobordism theorem

历史发展的顺序和我们介绍的相反:Smale提炼了他对高维Poincaré猜想的原始证明,得到h-协边定理。在Smale的原始证明中,他利用同调群的特征成对消去M中冗余的环柄,剩下一对0-环柄和n-环柄粘成S^n。最后的步骤相当于Reeb定理

注记

Poincaré猜想通常和“球定理”相关。n \geq 4的情况与Reeb定理相关。n=3的情况则受到Riemann几何中球定理的启发(证明也基于Reeb定理):截面曲率落在(\frac{1}{4},1]中的单连通Riemann流形同胚于球面。于是想到可以引入Ricci流将曲率“均匀化”来控制拓扑。

Morgan, Tian  Ricci flow and the Poincaré conjecture

Brendle和Schoen改进了Ricci流,证明“同胚”可加强为“微分同胚”(赋予球面标准微分结构)。

Brendle, Schoen   Manifolds with 1/4-pinched curvature are space forms

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h-协边和高维Poincaré猜想 Ⅰ

共有3枚Fields奖章为Poincaré猜想颁出:Smale,1966,n\geq 5;Freedman,1986,n=4;Perelman,2006,n=3。承接关于几何化猜想的讨论,我们来介绍Smale的h-协边定理及他对高维Poincaré猜想的证明。

Smale  Generalized Poincaré’s conjecture in dimensions greater than four

我们假定读者对Morse理论协边理论有最基本的了解。例如,可以参考

Milnor  Morse theory  Chapter 1

Milnor  Topology from the differentiable viewpoint  Chapter 7

1.(Poincaré猜想)若光滑闭流形M^n单连通且与S^n有相同的整同调群(或者简单地说具有S^n的同伦型),则M^n同胚于S^n

n=3时由Poincaré对偶Hurewicz定理知基本群完全控制同调群,故可去掉同调群相同的要求,这就是Poincaré本人的原始猜想;n \geq 5时此猜想称为高维 Poincaré猜想。

n=5,6时,猜想中的“同胚”可加强为“微分同胚”;n \geq 7时这一加强不成立(由于Milnor怪球的存在);n=3时,由Moise对主猜测的证明,“同胚”意味着“微分同胚”;最后,n=4时的光滑Poincaré猜想仍是开问题(尚不知道S^4上是否有怪异微分结构)。

作为千禧七难题之一,Clay数学研究所对Poincaré猜想的官方叙述参见

Milnor  The Poincaré conjecture

迄今为止,7个难题中唯有Poincaré猜想得到解决。

2.PQ之间的协边R称为h-协边,若R同伦于平凡协边P \times [0,1]

(h-协边定理)假定单连通流形R^{n+1}是单连通可定向紧流形P^nQ^n之间的h-协边。若n \geq 5,则R微分同胚于P \times [0,1],且可保证此微分同胚在P上的限制是恒等映射。特别地,PQ微分同胚。

证明留待后叙。

我们将看到,由于对Whitney技巧的依赖,n \geq 5的要求是本质的。n=4时Whitney技巧失效(Kervaire, Milnor),但以“同胚”代替所有“微分同胚”后,h协边定理却仍然正确,这已足以推出4维Poincaré猜想(Freedman)。n=3时,定理成立与否取决于S^4上是否存在怪异微分结构(?);n=2时定理等价于3维Poincaré猜想(Perelman)。

3.高维Poincaré猜想是h-协边定理的简单推论:

首先假定n \geq 6。从M^n上截下2个圆盘D_1^nD_2^n。余下的M /D_1 \cup D_2是2片S^{n-1}间的h-协边(用到M^nS^n有相同同伦型的假设),因而由h-协边定理,微分同胚于S^{n-1}\times [0,1]。不妨假定此微分同胚限制在\partial D_1上是恒等映射。

接下来将切除的圆盘“光滑地”粘回去即得到S^n。粘回D_1不成问题。至于D_2,粘贴过程中一般无法保证微分同胚延拓到圆盘的边界,因而最后只能得到较弱的同胚于S^n

n=5的情况要难一些。首先要构造可缩流形N^6M^5为边缘(Milnor,Kervaire)。从N上截去圆盘D^6,余下的部分是从M^5S^5的h-协边。再次应用h-协边定理,即得到所需要的(微分)同胚。我们顺带证明了S^5有唯一的微分结构。

S.Smale(1930-  )

Smale先后致力于微分拓扑学,动力系统,数理经济学,计算理论和神经科学的研究,思考的深度和广度都极为罕见。鲜为人知的是他还是世界级的矿石收藏家。我有幸在清华听过他的讲座,时年80岁的数学家兴致勃勃地谈起人脑识别图像的能力——“telling cats from dogs”.