4维流形的拓扑 Ⅱ:Freedman的工作

Freedman在80年代初期的系列工作极大地推进了对4维拓扑流形的认识,我们拟给出一个简要总结。这个领域的权威参考书无疑是

Freedman, Quinn  Topology of 4-manifolds

此外,还想推荐2本概观性的小书:

Kirby The topology of 4-manifolds

Freedman, Luo  Selected applications of geometry to low-dimensional topology

基本结果

任何有限展示群均可实现为紧4-流形的基本群。我们仅讨论最简单(相对意义下)的情况\pi_1(M)=0。这是一个很强的限制,它推出H_1(M)=0:对于微分流形M,这保证了w_1(M)=0/M可定向。

相交形式Q(M)决定了闭流形M的同伦型。另一个非常重要的(紧流形)不变量是Kirby-Siebenmann不变量\mathrm{ks}(M) \in \Bbb Z_2:它可定义为“M \times S^1不可光滑化”这一命题的真值函数。视为H_4(M,\partial M;\Bbb Z_2)中的元素时,KS不变量是M上光滑结构的障碍类:M有光滑结构的必要条件是\mathrm{ks}(M)=0(由Donaldson的结果我们知道这尚不充分)。

Kirby, Siebenmann   Foundational Essays on Topological Manifolds, Smoothings, and Triangulations

闭自旋4-流形的号差被16整除。稍加推广:已知闭自旋3-流形N一一对应于紧自旋4-流形M的边界,定义NRokhlin不变量r(N)=\tau(M) \mod 16:它取0或8。事实上,对于单连通的Mr(\partial M)=8\mathrm{ks}(M),故KS不变量及其消没定理可视为Rokhlin不变量和Rokhlin定理的推广。

一个自然的问题是:哪些整幺模对称双线型和\Bbb Z_2的组合可实现为单连通闭4-流形的相交形式和KS不变量?Freedman的工作给出了这个问题的回答:

(存在性)Q(M)为偶型但8\mathrm{ks}(M)\neq \tau(M) \mod 16的情况是禁止的。除此之外,所有整幺模对称双线型和\Bbb Z_2的组合均可通过某个单连通闭4-流形实现。

(唯一性)Q(M)\mathrm{ks}(M)决定了单连通闭4-流形M的同胚型。

Freedman  The topology of four-dimensional manifolds

在所有偶型中,0E_8是2个最为基本的例子:

(1)由分类定理和上一章的讨论,我们知道存在性定理可化归为如下事实:E_8可实现为某个拓扑流形(E_8流形)的相交形式。当然,它没有光滑结构。

(2)通过研究整幺模对称双线型的直和分解与流形的连通和分解的关系,Freedman将唯一性定理化归为Q=0的情况:此即4维Poincaré猜想。

基本工具

我们的主要兴趣在几何而非拓扑。以下勾勒Freedman工作的基本图景而略去所有技术细节。

几何拓扑中研究M^n的基本手段是考虑映射f: D^2 \to M^n。由Whitney嵌入定理我们知道f的“一般性质”以一种基本的方式依赖于维数nn=3时,D^2“通常”自交于某个1维子流形;n=4时,D^2“通常”自交于若干个孤立点;n\geq 5时,D^2“通常”可以嵌入M^n。正如我们将看到的,这在很大程度上导致了低维拓扑的困难。(几何上的类似现象可归结为Gauss曲率是一个2维对象,或者,Riemann曲率是一个4维对象。)

一般的,考虑M^n的子流形P^kQ^{n-k},并假定x,y是两个相交数相反的交点。n \geq 5时,上述讨论允许我们通过同痕形变消去这2个交点,从而化简PQ的相交:这称为Whitney技巧。它是h协边定理的基本部件,Smale对高维Poincaré猜想的证明即基于此。这部分的内容可参见我们之前的讨论

人们很早就已经知道Whitney技巧在4维失效(Kervaire, Milnor)。然而,Casson发现h协边定理的证明并不需要Whitney技巧的全部力量,他提出了一个“Casson纲领”以避开Kervaire-Milnor反例。在此过程中他引入了Casson环柄的概念。最关键的猜想是所有Casson环柄均微分同胚于标准环柄D^2 \times \Bbb R^2,这将导出4维的h协边定理。

完成这一纲领的是Freedman(我们再一次为无法讨论所有技术细节道歉)。他的主定理是:所有Casson环柄均同胚于标准环柄。由此得到

(Freedman拓扑h协边定理) 若单连通流形M^5是单连通可定向紧流形P^4Q^4之间的h-协边,则M同胚于P \times [0,1],且可保证此同胚在P上的限制是恒等映射。特别地,PQ同胚。

经由Donaldson的工作,现在我们知道光滑范畴的h协边定理在4维并不成立:拓扑同胚是可以期望的最佳结果。特别地,Casson的原始猜想是错误的:D^2 \times \Bbb R^2上确有怪异微分结构,经过更细致的分析,这将导出\Bbb R^4上的怪异微分结构。

证明了拓扑h协边定理后,4维Poincaré猜想的证明已是唾手可得,这与5维的情况并无二致:首先构造以M^4为边缘的可缩流形N^5(例如,M^4上的锥)。截去D^5后,我们对S^4M^4施以拓扑h协边定理。唯一的不同之处(仍然)是:我们丧失了有关微分结构的信息。

4维流形的拓扑 Ⅰ:80年代前的结果

为了理解“精致”的4维几何,首先考察较为“鲁棒”的拓扑是不可避免的。这方面已有大量细致的研究,本文总结了80年代前的主要结果——“革命前夜的群像”。

单连通闭4-流形的拓扑

以下考虑单连通的闭4-流形M

Hurewicz定理Poincaré对偶决定了M的同调群:H_0(M)=H_4(M)=\Bbb ZH_1(M)=H_3(M)=0。由万有系数定理H^2(M)无挠,此时相交形式Q(M)是自由\Bbb ZH_2(M)上的幺模对称双线型。它有2个基本的代数不变量:秩和号差。秩等于号差(的绝对值)当且仅当伴随二次型Q(x,y)是正定/负定的。

Q的模2约化定义了\Bbb F_2上的幺模对称双线型\bar{Q},此时有唯一的\bar{u} \in H_2(M,\Bbb F_2)(特征整格)使得\bar{Q}(\bar{u},\bar{x})=\bar{Q}(\bar{x},\bar{x})对任意\bar{x}成立。可以证明\bar{u}\Bbb Z上的拉回u(精确到2\Bbb Z)满足Q(u,u)\equiv \mathrm{sig}(Q) \mod 8

Q(x,x)恒为偶数时称Q为偶型,否则为奇型。Q为偶型等价于\bar{Q}(\bar{x},\bar{x}) \equiv 0/0是\bar{Q}的特征整格,故其号差被8整除。

Q(M)包含大量拓扑信息:事实上它决定了M的同伦型 (Whitehead, Milnor)。过渡到H_2(M;\Bbb R):线性代数给出自然分裂H_\pmQ(M) \otimes \Bbb R的秩和号差分别对应流形的第二Betti数b_2=b_++b_-和号差\tau=b_+-b_-

M可微时,Q(M)也决定了TM的示性类:

(1)Euler类e(M)=2+b_2,Pontryagin类p_1(M)=3\tau(Hirzebruch号差公式);

(2)由吴文俊公式,Stiefel-Whitney类w_2(M)正是\bar{Q}的特征整格。事实上我们可以忘掉切丛结构而直接取此为w_2(M)的定义。w_2(M)=0时,我们称M为(拓扑)自旋4-流形,这等价于要求Q(M)为偶型,此时\tau(M)被8整除。

(3)若M有一个殆复结构,则可定义TM的Chern类。c_2(M)即Euler类e(M)c_1(M)w_2(M)\Bbb Z上的拉回,c_1^2(M)=p_1(M)+2e(M),结合(1)(2)推知b_+为奇数:对于Kähler曲面,这是Hodge指标定理的推论。

相交形式的代数分类

\Bbb Z上幺模对称双线型的代数分类如下:

(1)对于不定型,我们有所谓的Hasse-Minkowski分类:(b_+,b_-)=(m,n)的奇型同构于m(1)\oplus n(-1),偶型同构于\displaystyle n\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\oplus \frac{m-n}{8}E_8(此处E_8是例外Lie代数E_8Cartan矩阵)。我们将上述标准型记为Im,n和IIm,n

(2)确定型的分类要复杂得多:它们可唯一分解为不可约型的直和(Eichler)。同阶的不可约类仅有有限多个,但这个数字增长极快,40阶的不可约确定偶型的个数已超过10^{51}

Milnor  Symmetric bilinear forms

单连通闭4-流形在连通和下构成一个交换半群,而整幺模对称双线型则在直和下构成一个交换半群。显然,M \mapsto Q(M)定义了一个半群同态,上述分类定理提示我们寻找基本的连通块。

4维微分流形 

常见的4-流形当然都是光滑的。早在Donaldson之前,人们就已意识到这限制了可能的相交形式:例如,由Rokhlin定理知闭(光滑)自旋4-流形的号差被16整除。特别地,m-n=8时,IIm,n无法实现为光滑闭4-流形的相交形式,这包括了E_8(II8,0)。

另一方面,复代数曲面提供了大量光滑闭4-流形的例子(由形变理论,单连通复曲面的微分同胚类中总有一个代数曲面)。例如,考虑由齐次方程z_0^d+z_1^d+z_2^d+z_3^d=0定义的射影曲面Z_d \subset \Bbb CP^3Z_1=\Bbb CP^2有相交形式(1)(I1,0),反转定向的-Z_1=\overline{\Bbb CP^2}有相交形式(-1)(I0,1),Z_2=\Bbb CP^1 \times \Bbb CP^1则有相交形式\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}(II1,1)。

不难决定Z_d的所有拓扑不变量(Betti数,号差,示性类)。与分类定理相结合,这允许我们完全决定Q(Z_d)d>1Q为不定型。d为奇数时,Q为奇型;d为偶数时,Q为偶型,此时Z_d是自旋流形(c_1为偶数)。

有理曲面Z_3=Z_1 \# 6\overline{Z_1}有相交形式I1,6K3曲面Z_4有相交形式II19,3,这是第一个带有E_8的例子。

在Donaldson理论中,\pm Z_1Z_2Z_4是构筑光滑闭4-流形的基本模块。一般地,我们希望知道哪些k\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\oplus 2l(E_8)可以作为光滑闭4-流形的相交形式(系数2l是Rokhlin定理的要求)。

k\geq 3l(换言之,b_2 \geq 11|\tau|/8)时这可以通过(k-3l)Z_2 \# lZ_4实现。人们相信这是k的最佳下界——此为著名的11/8猜想。结合Freedman的结果,这将推出上述4种代数曲面的连通和穷尽了单连通的光滑闭4-流形的同胚类。已知的最佳下界5|\tau|/4+2