关于双曲流形分类的2个问题

回国前的最后一篇post. 打算记录一点新近了解到的有趣玩意。无意于完备,聊以备忘而已。材料是四处搜罗来的,但主要基于

Thurston  The geometry and topology of 3-manifolds

Gromov  Hyperbolic manifolds (according to Thurston and Jørgensen)

Casson, Bleiler  Automorphisms of Surfaces after Nielsen and Thurston

我们假定讨论的所有Riemann流形都是完备的。

熟知单连通的常曲率空间等距同构于S^n(K=1,椭圆),\Bbb R^n(K=0,抛物)或\Bbb H^n(K=-1,双曲,通过球极投影等距同构于Poincaré圆盘B^n)。

这些空间最初是作为非欧几何的模型被讨论的,而Poincaré职业生涯的第一个重要发现正是2维时这3种空间的Riemann流形结构与复结构相容,这给出了Riemann面的所有单值化——参见这个博客最早的几篇文章

绝大多数有趣的流形都是双曲的。我们对目下讨论的双曲流形加上另一条几何限制:要求其双曲体积有限。最基本的例子是亏格g \geq 2的紧Riemann面\Sigma_g

有限双曲流形M^n可以分解成一些“拓扑组件”:这是Thurston讨论几何的惯用观点。最简单的“拓扑闭组件”自然是k维单形S^k (此处要求它们是“刚硬”的:在Poincaré圆盘内对应欧氏单形)。Thurston的观察是:它们的双曲体积有一个自然上界。

上述观察允许我们回答以下2个问题:

(1)给定一个有限双曲流形(的微分同胚型),其上容许多少种互不等距同构的双曲几何结构?

熟知2维的解析同构即共形同构,在限定K=-1的情况下,经典的Teichmüller理论告诉我们\Sigma_g的双曲结构(复结构)构成一个实维数6g-6参模空间。相关课题已是代数曲线理论中发展得很完备的子分支。

我们可以进一步考虑\Sigma_g的微分拓扑:精确地说,考虑它的映射类群。此处我们有所谓的Nielsen-Thurston分类,参见Casson, Bleiler. 这条分类定理在3维双曲几何方面的应用可以参见之前的讨论

n \geq 3时,我们有另一条经典定理:

(Mostow刚性定理) 有限双曲流形的几何结构由基本群(从而由微分同胚型)唯一确定。

Mostow  Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of the hyperbolic space forms

Gromov对这条定理的证明可以在Thurston中找到。简而言之,他的证明基于“极大单形的同伦提升仍是极大单形”。

在我看来,此类在高维体现出刚性的现象是很“反常”的。希望知道其他例子的人有以教我。

(2)给定双曲体积,我们可以找到多少个双曲几何的“模型”(精确到微分同胚型)?

2维时Gauss-Bonnet公式给出双曲体积的天然限制:它们必须是2\pi的正整数倍。事实上,所有可能的微分同胚型都可以分解成“裤衩”(“拓扑闭组件”)和“尖点”(“拓扑开组件”)的组合,参见Gromov或Casson, Bleiler.

n \geq 4时,王宪钟证明了体积小于某一给定常数的双曲流形(精确到等距同构类)仅有有限个。特别的,这推出M \mapsto \mathrm{Vol}(M)的象集仍是离散的。

Wang  Topics on totally discontinuous groups 

n=3的情况(Thurston)特别有趣:一方面,M \mapsto \mathrm{Vol}(M)仍是“有限对一”的。另一方面,在Gromov-Hausdorff收敛诱导的拓扑下,所有有限双曲3-流形构成一个闭集。\mathrm{Vol}是这个闭集上的连续函数,故其象集也是一个闭集(Jørgensen)。它是非离散的,其聚点的原像是一些开流形:收敛到聚点的过程可以理解为一种“拓扑爆破”。

证明仍依赖于流形的组合分解:应用Kazhdan-Margulis定理可以证明3维的“拓扑开组件”仅有2种:(以环面为边缘的)“尖点”和“管子”,需要做的只是仔细地分析“爆破”。

Thurston的八正道 V

(c)G'_x=id。此时Lie群X=G'/G'_x是紧模型的理想候选。于是现在的任务是:考察所有连通且单连通的3维Lie群,找出包含离散且上紧子群者,最后检验是否给出新的标准几何。

由于具有相同万有覆叠的Lie群有相同的Lie代数,标准的手法是转而分类Lie代数。

(1)对于左不变向量场V\mathrm{div} \,V=\mathrm{tr}( \mathrm{ad} \, V)\mathrm{ad}为Lie代数的伴随表示

存在紧模型:熟知在紧Lie群上存在左右不变的Haar测度,换言之,紧Lie群都是幺模的,故对v \in \mathfrak{g},相应的左不变相流保持体积,\mathrm{tr}( \mathrm{ad} \, V)=0

(2)伴随表示与Lie括号的关系是:(\mathrm{ad} \, v)(w)=[v,w]v,w \in \mathfrak{g}

Lie括号可视为\wedge^2 \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}。给定内积和定向,3维空间上有同构V\wedge W \to V \times W,故Lie括号诱导线性映射L:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}。简单的计算显示,\mathrm{tr}( \mathrm{ad} \, V)=0等价于L是自共轭映射。取恰当的正交基使L对应对角矩阵,从而可以由参数\{c_i\}_{i=1,2,3}唯一刻画。进一步,可要求c_i=0,\pm 1

(0,0,0)对应G=\mathbb{R}^3

(1,1,1)对应G=S^3

(1,0,-1)对应\mathbb{E}^2的等距同构群的万有覆叠;

(1,1,-1)对应G=\widetilde{SL}(2,\mathbb{R})

(1,0,0)对应Heisenberg群;

唯有(1,1,0)给出新的标准几何:可解几何。

G是由形如(x,y,t) \mapsto (e^c x+a, e^{-c}y+b,z+c)的变换构成的可解群,a,b,c \in \mathbb{R}。对所有Anosov映射f,环面丛T^2_f都是可解几何的紧模型。

至此,我们已完整阐明了Thurston的八正道。

【Sharing Session】

旅途终了,略作总结。

作为对几何化猜想的初步导引,我们的讨论无疑是粗糙的。例如,仔细考察离散子群\Gamma \in G,可以获得完备得多的判断流程图(点击图片可放大):

取自Thurston  Three-dimensional geometry and topology

然而,在我看来这一程的主要乐趣在于利用非常初等的工具考察多姿多彩的对象。与不断发展更抽象的理论相比,这显然更为有趣,也更有意义——如果相信如此精巧的数学的存在必然有某种意义的话。

Thurston的八正道 Ⅳ

(b2)曲率不为0。承接(b1)最后的讨论,H定义了某个接触结构。在纤维方向上伸缩尺度并调整纤维和底空间的定向,不妨假设曲率为1。由于N单连通,这已唯一决定了可能的几何。

另一方面,可以构造典型的紧模型:给定带有Riemann度量的曲面N,若N的Gauss曲率严格正或严格负,则单位切丛(视为SO(2)-主丛)上的Levi-Civita联络定义了某个接触结构。取单位切丛为紧模型,其万有覆叠给出M。于是得到下述2种情况:

(1) N=S^2。此时单位切丛是SO(3),其万有覆叠M=S^3。此时G是保持Hopf纤维化的等距群,因而不是极大的(参见(a)中的讨论)。

(2)N=\mathbb{H}^2。此时单位切丛是PSL(2,\mathbb{R}),作为其万有覆叠,M=\widetilde{SL}(2,\mathbb{R})G_x=O(2)G有2个连通分支。所有紧双曲曲面的单位切丛都是此种几何的紧模型。

第3种标准几何需要更多说明:

(3) N=\mathbb{E}^2,我们得到幂零几何。先来看一看这种几何的图像:

取自Thurston  Three-dimensional geometry and topology 

接触结构由(1,0,0)(0,1,x)张成。此时测地线称为Legendre曲线(请读者想象)。

(提升性质)对xy-平面中的\gamma和投映到\gamma(0)p,存在唯一的Legendre曲线\tilde{\gamma}使得\tilde{\gamma}(0)=p

G保持接触结构,且投映到xy-平面上给出\mathbb{E}^2的等距同构。一个典型的例子是

(x,y,z) \mapsto (x+a,y+b,z+ay+c)v=(a,b,c) \in \mathbb{R}^3

不难验证这样的等距同构所成的群同构于Heisenberg群H_3(\mathbb{R})。在所有连通且单连通的3维Lie群中,Heisenberg群是唯一的非交换幂零群,这解释了“幂零几何”这一命名。

注记1

下一章将给出连通且单连通的3维Lie群分类。

h_{v1}h_{v2}H_3(\mathbb{R})中的2个元素。若v1v2线性无关,则生成的子群是离散且上紧的(cocompact)。例如,取v1v2为单位坐标向量,则得到整Heisenberg群H_3(\mathbb{Z})

注意上述讨论提供了(以商群为纤维)构造幂零几何的紧模型的方法。此外,除T^3外的所有T^2上的定向圆丛都拥有幂零几何的结构;当fDehn扭转的幂时,环面丛T^2_f拥有幂零几何的结构。

注记2

Heisenberg群源于量子力学的矩阵形式。介绍其物理意义及在数学上的发展需要较大的篇幅,我们仅举出2个相关的概念供感兴趣的读者参考:Stone-von Neumann定理及(推广后的)Mackey理论

Mackey  The theory of unitary group representations

Thurston的八正道 Ⅲ

我们开始(b)的证明。

G_x^*=\mathrm{SO}(2),因而在每点处可以找到一根“转轴”,在M上诱导一个处处非零的、G^*-不变的单位向量场V,等价的,1维叶状结构\mathfrak{F}及相流\phi_t\mathfrak{F}中的叶显然是不自交且互不相交的,由1维连通流形的分类定理,它们是S^1\mathbb{R}M中的嵌入。综上得知N=M/\mathfrak{F}是良定义的2维流形,连通且单连通,\pi:M \to N是以S^1\mathbb{R}为纤维的主丛。

接下来确定N。选定一张叶Fx \in Fg_t\phi_t(x)映回xd(g_t \circ \phi_t)固定转轴并与所有旋转交换,因此是位似变换。然而,考虑某个紧模型,熟知(与Riemann度量相容的)g_t及相流\phi_t保持体积形式(Liouville定理),因而d(g_t \circ \phi_t)是旋转变换,推出VKilling向量场。于是NM处继承了自然的Riemann流形结构。G_*的作用约化到N上是可递的,由2维标准几何的分类定理N=\mathbb{E}^2S^2\mathbb{H}^2

现在来研究主丛\pi:M \to N的几何。与V正交的2维分布H可视为M上的Ehresmann联络。由于群作用是可递的,H的曲率是常数。

(b1)曲率为0,即MN上的平坦丛。

注意到N是单连通的,故M有平凡和乐群,从而是平凡丛。以S^1为纤维的平凡丛的万有覆叠是以\mathbb{R}为纤维的平凡丛,故仅有3种可能:

(1)M=\mathbb{E}^2 \times \mathbb{E}^1。此时G不是极大的(参见(a)中的讨论)。

(2)M=S^2 \times \mathbb{E}^1G_x=O(2) \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}G=O(3) \times \mathbb{R} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}有4个连通分支。S^2 \times S^1是显然的紧模型。S^2 \times S^1即映射环面S^2_{\mathrm{id}}。记S^2对蹠映射为A,则不难验证S^2_A是另一个紧模型。Hopf的一条定理指出S^2到自身的映射同伦类由唯一的整数不变量(映射度)刻画。对于同胚映射,1与-1已穷尽了所有可能。换言之,S^2映射类群(用复几何的语言,Teichmüller模群)为\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

注记1

素流形的概念容易推广到n维:不可分解为2个非平凡n维流形连通和的流形。

称一个n维流形是不可约的,如果任意嵌入的S^{n-1}都是某个嵌入的B^n的边界。

所有不可约流形都是素的,但其逆不真。上述2个紧模型的有趣之处在于它们是3维仅有的2个反例。

(3)M=\mathbb{H}^2 \times \mathbb{E}^1G_x=O(2) \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}G=O^+(1,2) \times \mathbb{R} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}有4个连通分支。给定\mathbb{H}^2的刚体群PSL(2,\mathbb{R})中的元素g,我们希望映射环面\mathbb{H}^2_g给出这种标准几何的紧模型。此处与S^2形成鲜明对比的是双曲曲面的映射类群非常复杂。

(Nielsen-Thurston分类定理)对于同胚f:\Sigma \to \Sigma,可在其映射类中找到g满足下述3者之一:

(1)g是周期的(g^n同伦于id);

(2)g是可约的(在g的作用下\Sigma有1维不变闭子流形);

(3) g伪Anosov的;

f可以同时满足(1)(2),但无论(1)或(2)都与(3)不相容。

关于这条定理的证明,有一本小书可供推荐:

Casson, Bleiler  Automorphisms of Surfaces after Nielsen and Thurston

对于我们的目的,可以证明(1)的确给出我们需要的紧模型,而(3)将给出\Bbb H^3几何。

注记2

已知如下(类比逆Galois问题而提出的)结果成立:任何有限群均可实现为某个紧致双曲3-流形的映射类群。

(b1)对应H定义某个叶状结构的情况:Cartan结构方程指出,对X, Y \in \Gamma(H)\Omega(X,Y)=-\frac{1}{2}\omega([X,Y]),其中\omega联络形式\Omega曲率形式。因而曲率处处为0是分布定义叶状结构的充分必要条件,即曲率是完全可积性的“障碍”。

Thurston的八正道 Ⅱ

我们已经完成了3维标准几何分类定理(a)的证明:满足齐性和各向同性的3维单连通空间仅有\mathbb{H}^3\mathbb{E}^3S^3。各种观测数据都支持空间的齐性和各向同性假设,故这3者可作为空间的理想模型,并对应宇宙演化的3种可能结局

现在不妨稍一驻足,对这3种几何做一些初步的考察。

欧氏几何M=\mathbb{E}^3:这是我们最熟悉的例子。G_x=\mathrm{O}(3)G=\mathbb{R}^3 \rtimes \mathrm{O}(3)有2个连通分支。T^3是欧氏几何的紧模型。

给定拓扑空间X和同胚映射f:X \to X映射环面X_f定义为X \times [0,1]模去等价关系(x,0) \sim (f(x),1)X_f是以S^1为底空间,X为纤维的丛。3维闭流形T^2_f称为环面丛。例如,环面丛T^2_\mathrm{id}=T^3

一般地,若f是有限阶同胚映射,即存在n使得f^n=\mathrm{id},则T^2_f是欧氏几何的紧模型。这一点可以从T^2_{f^n}覆叠T^2_{f}看出。

球面几何M=S^3G_x=\mathrm{O}(3)G=\mathrm{O}(4)有2个连通分支。以S^3为万有覆叠的所有流形都是紧致的。基于Perelman的重大突破,现在可以完全决定这些紧模型:一方面,这些流形的基本群显然是有限的。另一方面,Poincaré-Perelman定理指出S^3是仅有的单连通3维闭流形,故所有基本群有限的3维闭流形都以S^3为万有覆叠(这个命题又称为Thurston椭圆化猜想)。2个经典的例子是Poincaré同调球(基本群为双二十面体群)和透镜空间L(p;q)(基本群为\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})。

注记2

Poincaré同调球与Poincaré猜想有关。事实上,Poincaré最初的猜想是有平凡第一同调群的3维闭流形同胚于S^3,而Poincaré同调球是他自己找出的反例。这个例子兼有拓扑和代数两方面的趣味,下面用现代的观点做一讲解。

正十二面体/正二十面体的存在事实上是说\mathrm{SO}(3)有一个60阶的离散子群G(二十面体群)。熟知G同构于A_5。定义Poincaré同调球S=\mathrm{SO}(3)/G。注意到S^3\mathrm{SO}(3)的双层覆叠,故S=S^3/\tilde{G},其中\tilde{G}是双二十面体群。于是S不同胚于S^3。另一方面,由Hurewicz定理H_1(S)\pi_1(S)=\tilde{G}的Abel化,而A_5是不可解群,故H_1(S)是平凡的。由Poincaré对偶不难看出SS^3的所有同调群都相同,这解释了“同调球”这一名词的由来。

注记3

2003年,基于WMAP(Wilkinson微波各项异性探测器)的观测数据,4位宇宙学家与低维拓扑学家Weeks合作,提出宇宙的整体拓扑结构可能是Poincaré同调球。

双曲几何M=\mathbb{H}^3G_x=\mathrm{O}(3),借助Lorentz模型不难看出G=\mathrm{O}^{+}(1,3),有2个连通分支。这是数学上最复杂而物理上最有趣的情形,紧模型包括某些高度非平凡的对象如Seifert-Weber空间Weeks流形等。这些紧模型的非平凡性解释了为什么“负曲率对应开宇宙”(Myer定理的“反命题”)这一错误观点在宇宙学家中广泛流传。

注记4

可利用正十二面体构造Poincaré同调球和Seifert-Weber空间。将正十二面体的6组对面一一顺时针旋转\frac{1}{10}周后粘合,所得的拓扑空间即为Poincaré同调球。此时20个顶点被分为5个等价类,每个顶点角需要“膨胀”一点才能无缝粘合,这对应正曲率的情形;若将正十二面体的6组对面一一顺时针旋转\frac{3}{10}周后粘合,便得到Seifert-Weber空间。此时20个顶点互相等价,每个顶点角需要“收缩”一点才能无缝粘合,这对应负曲率的情形。

上述构造可推广到更一般的情形,尤其是在2维。我们推荐Weeks妙趣横生的著作

Weeks  The shape of space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds

如上所述,我们对带有双曲结构的3维闭流形的认识还未臻完备。但在这个方向上已积累了不少正面结果。例如,Thurston证明了若X是亏格大于1的闭曲面,则X_f有双曲结构当且仅当f伪Anosov映射

Thurston  On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces

已知的最好结果是由几何化猜想推出的:3维闭流形M有双曲结构当且仅当M不可约的非环状的(atoroidal),并有无限基本群。

Thurston的八正道 Ⅰ

八正道(the Eightfold Way)是佛家语。粒子物理学中有利用\mathrm{SU}(3)的8维自伴随表示描述介子和自旋\frac{1}{2}的重子的理论,称为Gell-mann的八正道。在3维流形理论中也有8种标准几何(model geometry),我仿照成例,称之为Thurston的八正道。

这个系列介绍与Thurston八正道相关的一些结果。主要参考文献是

Thurston  Three-dimensional geometry and topology

Thurston  Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry

W.Thurston(1946-  )

Thurston意义下的标准几何指的是流形M与作用在M上的微分同胚Lie群G,满足

(1)M连通且单连通;

(2)G的作用是可递的,且\forall x \in M的稳定子群是紧致的;

(3)G在所有满足(2)的群中是极大的;

(4)存在紧致的M'M为万有覆叠,M'称为此种几何的紧模型;

注意到(2)允许我们赋予M一个G-不变的完备Riemann度量使之成为齐性空间

注记1

2维标准几何是容易分类的。此时流形的Gauss曲率是常数,通过尺度放缩,不妨设为-1,0,1。另一方面,熟知仅有的带有常截面曲率-1,0,1(换言之,满足物理上各向同性要求)的单连通完备Riemann流形为\mathbb{H}^n\mathbb{E}^nS^n,对应双曲几何,欧氏几何和球面几何。

为分类3维标准几何,考虑G的单位元所在的连通子群G^*x的稳定子G_xM的单连通性保证了G^*_x=G^* \cap G_x是连通的,因而是\mathrm{SO}(3)的连通闭子群。此处只有3种可能:G^*_x=\mathrm{SO}(3)\mathrm{SO}(2)\{\mathrm{id}\}

Thurston证明了3维标准几何仅有如下8种:

(a)G^*_x=\mathrm{SO}(3)M\mathbb{H}^3\mathbb{E}^3S^3

这是注记1中所提到的结论的简单推论;

(b)G^*_x=\mathrm{SO}(2):此时M是以某个2维标准几何为底空间的纤维丛。与纤维正交的联络有曲率0或1,进一步的分类给出

(b1)曲率为0:M=S^2 \times \mathbb{E}^1\mathbb{H}^2 \times \mathbb{E}^1

(b2)曲率为1:幂零几何(\mathbb{E}^2为底)或\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})几何(\mathbb{H}^2为底);

(c)G^*_x=\{\mathrm{id}\}:可解几何;

(b)和(c)的证明及所涉及的几何的具体特性留待之后讨论。

回到拓扑的层面。以M^3记3维闭流形。注意,3维时拓扑流形,分片线性流形和微分流形这3个范畴是一致的。

M^3称为素流形,如果除平凡分解M^3=M^3 \# S^3M^3无法分解成3维流形的连通和。任意3维闭流形都可以(在同胚意义下)唯一分解为素流形的连通和。

Milnor  A unique factorization theorem for 3-manifolds

注记2

对2维的情况,熟知有更强的分类定理:所有闭曲面的同胚类是由T^2\mathbb{R}P^2\#下生成的交换半群,S^2是单位元。

素分解对应的几何操作是沿着S^2切开流形。进一步,可以沿环面将流形切得更“均匀”。

(Thurston几何化猜想) 任何可定向的闭的3维素流形都可以沿环面切开,使得每块切片带有上述8种标准几何结构之一。

Thurston对Haken流形证明了几何化猜想(但从未发表过完整的证明)。这个结果被称为双曲化定理,是他获得1982年Fields奖的原因之一。这一工作体现了惊人的几何直觉,以至于被戏称为Thurston怪兽定理。

Thurston  Hyperbolic structures on 3-manifolds Ⅰ:Deformation on acylindrical manifolds

注记3

我们曾讨论过简单得多的2维流形的几何化:无需切开流形,单值化定理直接保证了3种标准几何结构之一的存在。这是引导Thurston提出几何化猜想的主要线索之一。

注记1,2,3是互相联系的:2维流形唯一的拓扑不变量,即Euler示性数,通过Gauss-Bonnet定理控制了所有可能的几何。正如Thurston所说,3维流形研究的难点(同时也是有趣之处)是缺少这样有力的不变量。