关于双曲流形分类的2个问题

回国前的最后一篇post. 打算记录一点新近了解到的有趣玩意。无意于完备,聊以备忘而已。材料是四处搜罗来的,但主要基于

Thurston  The geometry and topology of 3-manifolds

Gromov  Hyperbolic manifolds (according to Thurston and Jørgensen)

Casson, Bleiler  Automorphisms of Surfaces after Nielsen and Thurston

我们假定讨论的所有Riemann流形都是完备的。

熟知单连通的常曲率空间等距同构于S^n(K=1,椭圆),\Bbb R^n(K=0,抛物)或\Bbb H^n(K=-1,双曲,通过球极投影等距同构于Poincaré圆盘B^n)。

这些空间最初是作为非欧几何的模型被讨论的,而Poincaré职业生涯的第一个重要发现正是2维时这3种空间的Riemann流形结构与复结构相容,这给出了Riemann面的所有单值化——参见这个博客最早的几篇文章

绝大多数有趣的流形都是双曲的。我们对目下讨论的双曲流形加上另一条几何限制:要求其双曲体积有限。最基本的例子是亏格g \geq 2的紧Riemann面\Sigma_g

有限双曲流形M^n可以分解成一些“拓扑组件”:这是Thurston讨论几何的惯用观点。最简单的“拓扑闭组件”自然是k维单形S^k (此处要求它们是“刚硬”的:在Poincaré圆盘内对应欧氏单形)。Thurston的观察是:它们的双曲体积有一个自然上界。

上述观察允许我们回答以下2个问题:

(1)给定一个有限双曲流形(的微分同胚型),其上容许多少种互不等距同构的双曲几何结构?

熟知2维的解析同构即共形同构,在限定K=-1的情况下,经典的Teichmüller理论告诉我们\Sigma_g的双曲结构(复结构)构成一个实维数6g-6参模空间。相关课题已是代数曲线理论中发展得很完备的子分支。

我们可以进一步考虑\Sigma_g的微分拓扑:精确地说,考虑它的映射类群。此处我们有所谓的Nielsen-Thurston分类,参见Casson, Bleiler. 这条分类定理在3维双曲几何方面的应用可以参见之前的讨论

n \geq 3时,我们有另一条经典定理:

(Mostow刚性定理) 有限双曲流形的几何结构由基本群(从而由微分同胚型)唯一确定。

Mostow  Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of the hyperbolic space forms

Gromov对这条定理的证明可以在Thurston中找到。简而言之,他的证明基于“极大单形的同伦提升仍是极大单形”。

在我看来,此类在高维体现出刚性的现象是很“反常”的。希望知道其他例子的人有以教我。

(2)给定双曲体积,我们可以找到多少个双曲几何的“模型”(精确到微分同胚型)?

2维时Gauss-Bonnet公式给出双曲体积的天然限制:它们必须是2\pi的正整数倍。事实上,所有可能的微分同胚型都可以分解成“裤衩”(“拓扑闭组件”)和“尖点”(“拓扑开组件”)的组合,参见Gromov或Casson, Bleiler.

n \geq 4时,王宪钟证明了体积小于某一给定常数的双曲流形(精确到等距同构类)仅有有限个。特别的,这推出M \mapsto \mathrm{Vol}(M)的象集仍是离散的。

Wang  Topics on totally discontinuous groups 

n=3的情况(Thurston)特别有趣:一方面,M \mapsto \mathrm{Vol}(M)仍是“有限对一”的。另一方面,在Gromov-Hausdorff收敛诱导的拓扑下,所有有限双曲3-流形构成一个闭集。\mathrm{Vol}是这个闭集上的连续函数,故其象集也是一个闭集(Jørgensen)。它是非离散的,其聚点的原像是一些开流形:收敛到聚点的过程可以理解为一种“拓扑爆破”。

证明仍依赖于流形的组合分解:应用Kazhdan-Margulis定理可以证明3维的“拓扑开组件”仅有2种:(以环面为边缘的)“尖点”和“管子”,需要做的只是仔细地分析“爆破”。

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4维流形的拓扑 Ⅱ:Freedman的工作

Freedman在80年代初期的系列工作极大地推进了对4维拓扑流形的认识,我们拟给出一个简要总结。这个领域的权威参考书无疑是

Freedman, Quinn  Topology of 4-manifolds

此外,还想推荐2本概观性的小书:

Kirby The topology of 4-manifolds

Freedman, Luo  Selected applications of geometry to low-dimensional topology

基本结果

任何有限展示群均可实现为紧4-流形的基本群。我们仅讨论最简单(相对意义下)的情况\pi_1(M)=0。这是一个很强的限制,它推出H_1(M)=0:对于微分流形M,这保证了w_1(M)=0/M可定向。

相交形式Q(M)决定了闭流形M的同伦型。另一个非常重要的(紧流形)不变量是Kirby-Siebenmann不变量\mathrm{ks}(M) \in \Bbb Z_2:它可定义为“M \times S^1不可光滑化”这一命题的真值函数。视为H_4(M,\partial M;\Bbb Z_2)中的元素时,KS不变量是M上光滑结构的障碍类:M有光滑结构的必要条件是\mathrm{ks}(M)=0(由Donaldson的结果我们知道这尚不充分)。

Kirby, Siebenmann   Foundational Essays on Topological Manifolds, Smoothings, and Triangulations

闭自旋4-流形的号差被16整除。稍加推广:已知闭自旋3-流形N一一对应于紧自旋4-流形M的边界,定义NRokhlin不变量r(N)=\tau(M) \mod 16:它取0或8。事实上,对于单连通的Mr(\partial M)=8\mathrm{ks}(M),故KS不变量及其消没定理可视为Rokhlin不变量和Rokhlin定理的推广。

一个自然的问题是:哪些整幺模对称双线型和\Bbb Z_2的组合可实现为单连通闭4-流形的相交形式和KS不变量?Freedman的工作给出了这个问题的回答:

(存在性)Q(M)为偶型但8\mathrm{ks}(M)\neq \tau(M) \mod 16的情况是禁止的。除此之外,所有整幺模对称双线型和\Bbb Z_2的组合均可通过某个单连通闭4-流形实现。

(唯一性)Q(M)\mathrm{ks}(M)决定了单连通闭4-流形M的同胚型。

Freedman  The topology of four-dimensional manifolds

在所有偶型中,0E_8是2个最为基本的例子:

(1)由分类定理和上一章的讨论,我们知道存在性定理可化归为如下事实:E_8可实现为某个拓扑流形(E_8流形)的相交形式。当然,它没有光滑结构。

(2)通过研究整幺模对称双线型的直和分解与流形的连通和分解的关系,Freedman将唯一性定理化归为Q=0的情况:此即4维Poincaré猜想。

基本工具

我们的主要兴趣在几何而非拓扑。以下勾勒Freedman工作的基本图景而略去所有技术细节。

几何拓扑中研究M^n的基本手段是考虑映射f: D^2 \to M^n。由Whitney嵌入定理我们知道f的“一般性质”以一种基本的方式依赖于维数nn=3时,D^2“通常”自交于某个1维子流形;n=4时,D^2“通常”自交于若干个孤立点;n\geq 5时,D^2“通常”可以嵌入M^n。正如我们将看到的,这在很大程度上导致了低维拓扑的困难。(几何上的类似现象可归结为Gauss曲率是一个2维对象,或者,Riemann曲率是一个4维对象。)

一般的,考虑M^n的子流形P^kQ^{n-k},并假定x,y是两个相交数相反的交点。n \geq 5时,上述讨论允许我们通过同痕形变消去这2个交点,从而化简PQ的相交:这称为Whitney技巧。它是h协边定理的基本部件,Smale对高维Poincaré猜想的证明即基于此。这部分的内容可参见我们之前的讨论

人们很早就已经知道Whitney技巧在4维失效(Kervaire, Milnor)。然而,Casson发现h协边定理的证明并不需要Whitney技巧的全部力量,他提出了一个“Casson纲领”以避开Kervaire-Milnor反例。在此过程中他引入了Casson环柄的概念。最关键的猜想是所有Casson环柄均微分同胚于标准环柄D^2 \times \Bbb R^2,这将导出4维的h协边定理。

完成这一纲领的是Freedman(我们再一次为无法讨论所有技术细节道歉)。他的主定理是:所有Casson环柄均同胚于标准环柄。由此得到

(Freedman拓扑h协边定理) 若单连通流形M^5是单连通可定向紧流形P^4Q^4之间的h-协边,则M同胚于P \times [0,1],且可保证此同胚在P上的限制是恒等映射。特别地,PQ同胚。

经由Donaldson的工作,现在我们知道光滑范畴的h协边定理在4维并不成立:拓扑同胚是可以期望的最佳结果。特别地,Casson的原始猜想是错误的:D^2 \times \Bbb R^2上确有怪异微分结构,经过更细致的分析,这将导出\Bbb R^4上的怪异微分结构。

证明了拓扑h协边定理后,4维Poincaré猜想的证明已是唾手可得,这与5维的情况并无二致:首先构造以M^4为边缘的可缩流形N^5(例如,M^4上的锥)。截去D^5后,我们对S^4M^4施以拓扑h协边定理。唯一的不同之处(仍然)是:我们丧失了有关微分结构的信息。

4维流形的拓扑 Ⅰ:80年代前的结果

为了理解“精致”的4维几何,首先考察较为“鲁棒”的拓扑是不可避免的。这方面已有大量细致的研究,本文总结了80年代前的主要结果——“革命前夜的群像”。

单连通闭4-流形的拓扑

以下考虑单连通的闭4-流形M

Hurewicz定理Poincaré对偶决定了M的同调群:H_0(M)=H_4(M)=\Bbb ZH_1(M)=H_3(M)=0。由万有系数定理H^2(M)无挠,此时相交形式Q(M)是自由\Bbb ZH_2(M)上的幺模对称双线型。它有2个基本的代数不变量:秩和号差。秩等于号差(的绝对值)当且仅当伴随二次型Q(x,y)是正定/负定的。

Q的模2约化定义了\Bbb F_2上的幺模对称双线型\bar{Q},此时有唯一的\bar{u} \in H_2(M,\Bbb F_2)(特征整格)使得\bar{Q}(\bar{u},\bar{x})=\bar{Q}(\bar{x},\bar{x})对任意\bar{x}成立。可以证明\bar{u}\Bbb Z上的拉回u(精确到2\Bbb Z)满足Q(u,u)\equiv \mathrm{sig}(Q) \mod 8

Q(x,x)恒为偶数时称Q为偶型,否则为奇型。Q为偶型等价于\bar{Q}(\bar{x},\bar{x}) \equiv 0/0是\bar{Q}的特征整格,故其号差被8整除。

Q(M)包含大量拓扑信息:事实上它决定了M的同伦型 (Whitehead, Milnor)。过渡到H_2(M;\Bbb R):线性代数给出自然分裂H_\pmQ(M) \otimes \Bbb R的秩和号差分别对应流形的第二Betti数b_2=b_++b_-和号差\tau=b_+-b_-

M可微时,Q(M)也决定了TM的示性类:

(1)Euler类e(M)=2+b_2,Pontryagin类p_1(M)=3\tau(Hirzebruch号差公式);

(2)由吴文俊公式,Stiefel-Whitney类w_2(M)正是\bar{Q}的特征整格。事实上我们可以忘掉切丛结构而直接取此为w_2(M)的定义。w_2(M)=0时,我们称M为(拓扑)自旋4-流形,这等价于要求Q(M)为偶型,此时\tau(M)被8整除。

(3)若M有一个殆复结构,则可定义TM的Chern类。c_2(M)即Euler类e(M)c_1(M)w_2(M)\Bbb Z上的拉回,c_1^2(M)=p_1(M)+2e(M),结合(1)(2)推知b_+为奇数:对于Kähler曲面,这是Hodge指标定理的推论。

相交形式的代数分类

\Bbb Z上幺模对称双线型的代数分类如下:

(1)对于不定型,我们有所谓的Hasse-Minkowski分类:(b_+,b_-)=(m,n)的奇型同构于m(1)\oplus n(-1),偶型同构于\displaystyle n\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\oplus \frac{m-n}{8}E_8(此处E_8是例外Lie代数E_8Cartan矩阵)。我们将上述标准型记为Im,n和IIm,n

(2)确定型的分类要复杂得多:它们可唯一分解为不可约型的直和(Eichler)。同阶的不可约类仅有有限多个,但这个数字增长极快,40阶的不可约确定偶型的个数已超过10^{51}

Milnor  Symmetric bilinear forms

单连通闭4-流形在连通和下构成一个交换半群,而整幺模对称双线型则在直和下构成一个交换半群。显然,M \mapsto Q(M)定义了一个半群同态,上述分类定理提示我们寻找基本的连通块。

4维微分流形 

常见的4-流形当然都是光滑的。早在Donaldson之前,人们就已意识到这限制了可能的相交形式:例如,由Rokhlin定理知闭(光滑)自旋4-流形的号差被16整除。特别地,m-n=8时,IIm,n无法实现为光滑闭4-流形的相交形式,这包括了E_8(II8,0)。

另一方面,复代数曲面提供了大量光滑闭4-流形的例子(由形变理论,单连通复曲面的微分同胚类中总有一个代数曲面)。例如,考虑由齐次方程z_0^d+z_1^d+z_2^d+z_3^d=0定义的射影曲面Z_d \subset \Bbb CP^3Z_1=\Bbb CP^2有相交形式(1)(I1,0),反转定向的-Z_1=\overline{\Bbb CP^2}有相交形式(-1)(I0,1),Z_2=\Bbb CP^1 \times \Bbb CP^1则有相交形式\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}(II1,1)。

不难决定Z_d的所有拓扑不变量(Betti数,号差,示性类)。与分类定理相结合,这允许我们完全决定Q(Z_d)d>1Q为不定型。d为奇数时,Q为奇型;d为偶数时,Q为偶型,此时Z_d是自旋流形(c_1为偶数)。

有理曲面Z_3=Z_1 \# 6\overline{Z_1}有相交形式I1,6K3曲面Z_4有相交形式II19,3,这是第一个带有E_8的例子。

在Donaldson理论中,\pm Z_1Z_2Z_4是构筑光滑闭4-流形的基本模块。一般地,我们希望知道哪些k\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\oplus 2l(E_8)可以作为光滑闭4-流形的相交形式(系数2l是Rokhlin定理的要求)。

k\geq 3l(换言之,b_2 \geq 11|\tau|/8)时这可以通过(k-3l)Z_2 \# lZ_4实现。人们相信这是k的最佳下界——此为著名的11/8猜想。结合Freedman的结果,这将推出上述4种代数曲面的连通和穷尽了单连通的光滑闭4-流形的同胚类。已知的最佳下界5|\tau|/4+2

h-协边和高维Poincaré猜想 Ⅱ

有关h-协边定理的原始论文是

Smale  On the structure of manifolds

基本的想法来自Morse理论:给定M^n上的Morse函数f,指数为k的临界点pf(p)=Cf^{-1}[C-\epsilon,C+\epsilon]中不存在其他临界点。记M_{a}=f^{-1}[-\infty,a],则M_{C+\epsilon}微分同胚于M_{C-\epsilon}借助特征映射\phi:S^{k-1} \times D^{n-k} \to M_{C-\epsilon}粘贴上一个k-环柄h^k=D^k \times D^{n-k}。这给出M环柄分解

D^k \times 0称为k-环柄的核,\phi(S^{k-1} \times 0)称为粘贴球,0 \times S^{n-k}称为带状球。

Morse理论通常仅考虑同伦型 (k-环柄同伦于k维胞腔),这已足够提取同调群的信息。将胞腔同调平行地搬运过来:所有k-环柄记为C_k,边缘算子\partial_k: C_k \to C_{k-1}\partial_k(h^k_\alpha)=\sum <h^k_\alpha|h^{k-1}_\beta>h^{k-1}_\beta<h^k_\alpha|h^{k-1}_\beta>h^k_\alpha的粘贴球与h^{k-1}_\beta的带状球的相交指数。易见链复形\{C_k,\partial_k\}的同调同构于胞腔同调/奇异同调。

越简单的胞腔分解越便于应用,同理我们希望简化环柄分解。有3种主要手段:

(a)环柄重排:首先,任意环柄都可以在更高维的环柄上“滑动”,因此我们可以按维数粘贴环柄而不改变M的微分同胚型;其次,2个k-环柄间的“滑动”也是允许的,其代数效应相当于C_k的基底变换/\partial_k的初等变换。

(b)环柄消去:特定的k-环柄和(k-1)-环柄可以成对消去。具体地说,若h^k_\alpha的粘贴球与h^{k-1}_\beta的带状球横截相交于一点,则可以消去h^k_\alphah^{k-1}_\beta,这称为几何消去。

我们需要更强的代数消去:在\partial_k(h^k_\alpha)=\pm h^{k-1}_\beta的假设下消去h^k_\alphah^{k-1}_\beta。为了化归为几何消去,需在保持相交数不变的情况下消去异号的交点。当M^n单连通,n \geq 5k \geq 3n-k \geq 2时,Whitney技巧保证这总是可以做到的。

Whitney技巧是高维微分拓扑中最强有力的手段,但也导致了(根本性的)维数局限。

(c)环柄交易:

我们还需要处理0-,1-,(n-1)-和n-环柄。首先注意到环柄是对偶的:取Morse函数-f,则原本指数为k的临界点变为指数为n-k的临界点,k-环柄变为(n-k)-环柄,因而不妨仅考虑0-和1-环柄。连通性保证0-环柄可用1-环柄消去。当n \geq 5时,1-环柄界定一个嵌入圆盘。我们先生成可消去对(h^3_i,h^2_i),再用2-环柄消去1-环柄,留下便于处理的3-环柄,这称为一宗“环柄交易”。

将上述考虑应用于h-协边3元组(P^n,Q^n,R^{n+1})。h-协边有几种等价的表述:

(1)R同伦于平凡协边P \times [0,1]

(2)PR形变收缩核(类似的,Q);

(3)如果3者均单连通,(2)等价于H_{*}(R,P;\mathbb{Z})=0(类似的,Q);

显然,(3)是最合适我们目的的表述:应用上述3种操作可以将R的环柄分解化到最简,从而说明其微分同胚于平凡协边——h-协边定理得证。

Milnor系统总结了上述理论。他主要考虑Morse函数而非环柄。

Milnor  Lectures on the h-cobordism theorem

历史发展的顺序和我们介绍的相反:Smale提炼了他对高维Poincaré猜想的原始证明,得到h-协边定理。在Smale的原始证明中,他利用同调群的特征成对消去M中冗余的环柄,剩下一对0-环柄和n-环柄粘成S^n。最后的步骤相当于Reeb定理

注记

Poincaré猜想通常和“球定理”相关。n \geq 4的情况与Reeb定理相关。n=3的情况则受到Riemann几何中球定理的启发(证明也基于Reeb定理):截面曲率落在(\frac{1}{4},1]中的单连通Riemann流形同胚于球面。于是想到可以引入Ricci流将曲率“均匀化”来控制拓扑。

Morgan, Tian  Ricci flow and the Poincaré conjecture

Brendle和Schoen改进了Ricci流,证明“同胚”可加强为“微分同胚”(赋予球面标准微分结构)。

Brendle, Schoen   Manifolds with 1/4-pinched curvature are space forms

h-协边和高维Poincaré猜想 Ⅰ

共有3枚Fields奖章为Poincaré猜想颁出:Smale,1966,n\geq 5;Freedman,1986,n=4;Perelman,2006,n=3。承接关于几何化猜想的讨论,我们来介绍Smale的h-协边定理及他对高维Poincaré猜想的证明。

Smale  Generalized Poincaré’s conjecture in dimensions greater than four

我们假定读者对Morse理论协边理论有最基本的了解。例如,可以参考

Milnor  Morse theory  Chapter 1

Milnor  Topology from the differentiable viewpoint  Chapter 7

1.(Poincaré猜想)若光滑闭流形M^n单连通且与S^n有相同的整同调群(或者简单地说具有S^n的同伦型),则M^n同胚于S^n

n=3时由Poincaré对偶Hurewicz定理知基本群完全控制同调群,故可去掉同调群相同的要求,这就是Poincaré本人的原始猜想;n \geq 5时此猜想称为高维 Poincaré猜想。

n=5,6时,猜想中的“同胚”可加强为“微分同胚”;n \geq 7时这一加强不成立(由于Milnor怪球的存在);n=3时,由Moise对主猜测的证明,“同胚”意味着“微分同胚”;最后,n=4时的光滑Poincaré猜想仍是开问题(尚不知道S^4上是否有怪异微分结构)。

作为千禧七难题之一,Clay数学研究所对Poincaré猜想的官方叙述参见

Milnor  The Poincaré conjecture

迄今为止,7个难题中唯有Poincaré猜想得到解决。

2.PQ之间的协边R称为h-协边,若R同伦于平凡协边P \times [0,1]

(h-协边定理)假定单连通流形R^{n+1}是单连通可定向紧流形P^nQ^n之间的h-协边。若n \geq 5,则R微分同胚于P \times [0,1],且可保证此微分同胚在P上的限制是恒等映射。特别地,PQ微分同胚。

证明留待后叙。

我们将看到,由于对Whitney技巧的依赖,n \geq 5的要求是本质的。n=4时Whitney技巧失效(Kervaire, Milnor),但以“同胚”代替所有“微分同胚”后,h协边定理却仍然正确,这已足以推出4维Poincaré猜想(Freedman)。n=3时,定理成立与否取决于S^4上是否存在怪异微分结构(?);n=2时定理等价于3维Poincaré猜想(Perelman)。

3.高维Poincaré猜想是h-协边定理的简单推论:

首先假定n \geq 6。从M^n上截下2个圆盘D_1^nD_2^n。余下的M /D_1 \cup D_2是2片S^{n-1}间的h-协边(用到M^nS^n有相同同伦型的假设),因而由h-协边定理,微分同胚于S^{n-1}\times [0,1]。不妨假定此微分同胚限制在\partial D_1上是恒等映射。

接下来将切除的圆盘“光滑地”粘回去即得到S^n。粘回D_1不成问题。至于D_2,粘贴过程中一般无法保证微分同胚延拓到圆盘的边界,因而最后只能得到较弱的同胚于S^n

n=5的情况要难一些。首先要构造可缩流形N^6M^5为边缘(Milnor,Kervaire)。从N上截去圆盘D^6,余下的部分是从M^5S^5的h-协边。再次应用h-协边定理,即得到所需要的(微分)同胚。我们顺带证明了S^5有唯一的微分结构。

S.Smale(1930-  )

Smale先后致力于微分拓扑学,动力系统,数理经济学,计算理论和神经科学的研究,思考的深度和广度都极为罕见。鲜为人知的是他还是世界级的矿石收藏家。我有幸在清华听过他的讲座,时年80岁的数学家兴致勃勃地谈起人脑识别图像的能力——“telling cats from dogs”.

Thurston的八正道 V

(c)G'_x=id。此时Lie群X=G'/G'_x是紧模型的理想候选。于是现在的任务是:考察所有连通且单连通的3维Lie群,找出包含离散且上紧子群者,最后检验是否给出新的标准几何。

由于具有相同万有覆叠的Lie群有相同的Lie代数,标准的手法是转而分类Lie代数。

(1)对于左不变向量场V\mathrm{div} \,V=\mathrm{tr}( \mathrm{ad} \, V)\mathrm{ad}为Lie代数的伴随表示

存在紧模型:熟知在紧Lie群上存在左右不变的Haar测度,换言之,紧Lie群都是幺模的,故对v \in \mathfrak{g},相应的左不变相流保持体积,\mathrm{tr}( \mathrm{ad} \, V)=0

(2)伴随表示与Lie括号的关系是:(\mathrm{ad} \, v)(w)=[v,w]v,w \in \mathfrak{g}

Lie括号可视为\wedge^2 \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}。给定内积和定向,3维空间上有同构V\wedge W \to V \times W,故Lie括号诱导线性映射L:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}。简单的计算显示,\mathrm{tr}( \mathrm{ad} \, V)=0等价于L是自共轭映射。取恰当的正交基使L对应对角矩阵,从而可以由参数\{c_i\}_{i=1,2,3}唯一刻画。进一步,可要求c_i=0,\pm 1

(0,0,0)对应G=\mathbb{R}^3

(1,1,1)对应G=S^3

(1,0,-1)对应\mathbb{E}^2的等距同构群的万有覆叠;

(1,1,-1)对应G=\widetilde{SL}(2,\mathbb{R})

(1,0,0)对应Heisenberg群;

唯有(1,1,0)给出新的标准几何:可解几何。

G是由形如(x,y,t) \mapsto (e^c x+a, e^{-c}y+b,z+c)的变换构成的可解群,a,b,c \in \mathbb{R}。对所有Anosov映射f,环面丛T^2_f都是可解几何的紧模型。

至此,我们已完整阐明了Thurston的八正道。

【Sharing Session】

旅途终了,略作总结。

作为对几何化猜想的初步导引,我们的讨论无疑是粗糙的。例如,仔细考察离散子群\Gamma \in G,可以获得完备得多的判断流程图(点击图片可放大):

取自Thurston  Three-dimensional geometry and topology

然而,在我看来这一程的主要乐趣在于利用非常初等的工具考察多姿多彩的对象。与不断发展更抽象的理论相比,这显然更为有趣,也更有意义——如果相信如此精巧的数学的存在必然有某种意义的话。

Thurston的八正道 Ⅳ

(b2)曲率不为0。承接(b1)最后的讨论,H定义了某个接触结构。在纤维方向上伸缩尺度并调整纤维和底空间的定向,不妨假设曲率为1。由于N单连通,这已唯一决定了可能的几何。

另一方面,可以构造典型的紧模型:给定带有Riemann度量的曲面N,若N的Gauss曲率严格正或严格负,则单位切丛(视为SO(2)-主丛)上的Levi-Civita联络定义了某个接触结构。取单位切丛为紧模型,其万有覆叠给出M。于是得到下述2种情况:

(1) N=S^2。此时单位切丛是SO(3),其万有覆叠M=S^3。此时G是保持Hopf纤维化的等距群,因而不是极大的(参见(a)中的讨论)。

(2)N=\mathbb{H}^2。此时单位切丛是PSL(2,\mathbb{R}),作为其万有覆叠,M=\widetilde{SL}(2,\mathbb{R})G_x=O(2)G有2个连通分支。所有紧双曲曲面的单位切丛都是此种几何的紧模型。

第3种标准几何需要更多说明:

(3) N=\mathbb{E}^2,我们得到幂零几何。先来看一看这种几何的图像:

取自Thurston  Three-dimensional geometry and topology 

接触结构由(1,0,0)(0,1,x)张成。此时测地线称为Legendre曲线(请读者想象)。

(提升性质)对xy-平面中的\gamma和投映到\gamma(0)p,存在唯一的Legendre曲线\tilde{\gamma}使得\tilde{\gamma}(0)=p

G保持接触结构,且投映到xy-平面上给出\mathbb{E}^2的等距同构。一个典型的例子是

(x,y,z) \mapsto (x+a,y+b,z+ay+c)v=(a,b,c) \in \mathbb{R}^3

不难验证这样的等距同构所成的群同构于Heisenberg群H_3(\mathbb{R})。在所有连通且单连通的3维Lie群中,Heisenberg群是唯一的非交换幂零群,这解释了“幂零几何”这一命名。

注记1

下一章将给出连通且单连通的3维Lie群分类。

h_{v1}h_{v2}H_3(\mathbb{R})中的2个元素。若v1v2线性无关,则生成的子群是离散且上紧的(cocompact)。例如,取v1v2为单位坐标向量,则得到整Heisenberg群H_3(\mathbb{Z})

注意上述讨论提供了(以商群为纤维)构造幂零几何的紧模型的方法。此外,除T^3外的所有T^2上的定向圆丛都拥有幂零几何的结构;当fDehn扭转的幂时,环面丛T^2_f拥有幂零几何的结构。

注记2

Heisenberg群源于量子力学的矩阵形式。介绍其物理意义及在数学上的发展需要较大的篇幅,我们仅举出2个相关的概念供感兴趣的读者参考:Stone-von Neumann定理及(推广后的)Mackey理论

Mackey  The theory of unitary group representations