从Bott周期性谈起 Ⅳ

K理论起源于Grothendieck对Hirzebruch-Riemannn-Roch定理的推广。基于射影模和向量丛的类比,Atiyah转而考虑代数K理论的拓扑类比。这是一个异常简单而强有力的工具,许多相当困难的拓扑问题都可以籍此获得相对简单的解决,例如著名的Hopf不变量问题:

给定连续映射f:S^{2n-1} \to S^{n},可构造胞腔复形C_f=S^n \bigcup_f D^{2n}H^{2n}(C_f)H^n(C_f)为无限循环群,记生成元为\alpha\beta\beta^2=h(f)\alpha,(正)整数h(f)称为fHopf不变量。它是\pi_{2n-1}(S^n)\mathbb{Z}的同态。

Hopf纤维化\pi:S^3 \to S^2h(\pi)等于任意2条纤维(S^1)之间的环绕数:1。利用四元数和八元数可以构造Hopf映射S^7 \to S^4S^{15} \to S^8,它们均有Hopf不变量1。

(Adams)若连续映射f存在且h(f)=1,则n=1,2,4,8

Adams的原始论证相对繁复。下面这个简单优雅的证明依赖于K理论:

Adams, Atiyah  K-Theory and the Hopf Invariant

易见n为大于1的奇数时,\beta^2=0。以下我们假定n=2m

C_f的胞腔结构诱导正合列0 \to \tilde{K}(S^{4m})\to \tilde{K}(C_f) \to \tilde{K}(S^{2m}) \to 0。记\tilde{K}(S^{4m})的生成元的象为\alpha\tilde{K}(S^{2m})的生成元的原象(不依赖于具体选取)为\beta\beta^2的象是0,正合性推出\beta^2=h(f)\alpha,这就是Hopf不变量的K理论定义。

接下来引入K理论中的上同调运算。一个较为周延的介绍见Atiyah Chapter 3.

(1)外乘幂运算:简单地将向量空间的外乘幂运算“搬运”到向量丛上。

(2)Adams运算\psi^k(E)=N_k(\lambda^1(E),\cdots,\lambda^k(E))Newton多项式N_k将k次幂和用初等对称多项式表出。它是由Adams在Vector Fields on Spheres中引入的。

Adams运算有如下性质:(1)\psi^k \in \mathrm{End}(K(X));(2)\psi^k \psi^l=\psi^{kl},从而是交换的;(3)对素数p\psi^p(x) \equiv x^p (\mathrm{mod} p);(4)若u \in \tilde{K}(S^{2n}),则\psi^k(u)=k^n u

(4)推出\psi^k(\alpha)=k^{2m} \alpha\psi^k(\beta)=k^m \beta+\mu_k \alpha\mu_k \in \mathbb{Z}。再根据(2),\psi^2\psi^3(\beta)=\psi^3\psi^2(\beta),化简得3^m(3^m-1)\mu_2=2^m(2^m-1)\mu_3

考虑(3):在\mathbb{Z}_2h(f)\alpha=\beta^2=\psi^2(\beta)=\mu_2\alpha,即\mu_2是奇数,从而2^m必须整除3^m-1,这当且仅当m=1,2,4。Adams定理得证。

上述问题和球面的平行化紧密相关:设S^{n-1}是H空间,g:S^{n-1} \times S^{n-1} \to S^{n-1}S^{2n-1}=\partial D^n \times D^n \bigcup D^n \times \partial D^n,将S^n分为D^n_+D^n_-。定义:

\hat{g}_+:\partial D^n \bigcup D^n \to D^2_+(x,y) \mapsto |y|g(x,y/|y|)

\hat{g}_-:D^n \bigcup \partial D^n \to D^2_-(x,y) \mapsto |x|g(x/|x|,y)

以上述方式定义的\hat{g}:S^{2n-1} \to S^n是连续的,且在S^{n-1} \times S^{n-1}上与g重合。若n=2m,可以证明h(\hat{g})=1,于是Adams定理推出Bott-Milnor定理。

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从Bott周期性谈起 Ⅲ

Bott周期性在K理论中起着中心作用,而从K理论的角度又可给出前者的“初等证明”。

Atiyah,Bott  On the periodicity theorem for complex vector bundles

我们将证明如下基本定理:

\pi_1:X \times S^2 \to X\pi_2: X \times S^2 \to S^2,则\mu(a \otimes b)=\pi_1^{*}(a)\pi_2^{*}(b)给出同构\mu:K(X) \otimes K(S^2) \to K(X \times S^2)

hS^2上的复线丛使得其c_1(h)=[S^2](若视S^2=\mathbb{C}P^1,则h为其重言丛)。取X=pt,基本定理推出h-1\tilde{K}(S^2)的生成元。对于约化K函子,基本定理中的同构化为\tilde{\mu}:\tilde{K}(X) \otimes \tilde{K}(S^2) \to \tilde{K}(S^2 \wedge X),进而有Bott同构

\beta:\tilde{K}(X) \to \tilde{K}(X) \otimes \tilde{K}(S^2) \to \tilde{K}(S^2 \wedge X)

特别地,\tilde{K}(S^n)=\pi_{n-1}(\mathrm{U})有周期2,此即Bott周期性定理。

P=X \times S^2\mu的同态性及单射性的验证只需“套套逻辑”。为证明\mu是映满的,我们给出直接的构造。注意到\pi:P\to X的每根纤维都可划分为上下2个半球,从而得到\pi_0:P_0 \to X\pi_\infty:P_\infty \to XP上任意向量丛均可由向量丛E \to X的2份拉回经由平凡单位圆丛S上的函数f \in \mathrm{ISO}(\pi^{*}(E))拼接而得:E=[E,f]=\pi_0^{*}(E)\bigcup_f \pi_\infty^{*}(E)

例如,赋予S以复坐标z,则P的重言丛H=[1,z]

E的同胚型仅取决于f的同伦型。Atiyah指出可对f进行一系列化简。

首先,可以用Fourier展开的部分和f_n=\sum^{n}_{-n}a_k z^ka_k \in \Gamma(\mathrm{End}(E))一致逼近f。为了确定f的同伦型,只需对充分大的n考察f_nf_n=z^{-n}pp为多项式,则我们有[E,f_n]=[E,z^{-n}p]=[E,p]\times H^{-n}

对于多项式p,我们有[E,p]+[nE,1]=[(n+1)E,l^n(p)]l^n(p)为某个线性函数。

对于线性函数l,我们有分解E=E_{+}+E_{-}使得[E,l]=[E_+,1]+[E_-,z]E_{+}E_{-}事实上对应某个线性算子的谱分解。我们建议读者阅读Atiyah,Bott的论文,to see ” it may be defined in two ways both of which are enlightening”.

综上所述,[E,f]=([(n+1)E_{+},1]+[(n+1)E_{-},z]-[nE,1])\times H^{-n}。至此验证[E,f] \in \mathrm{Im}(f)已不困难,从而证得\mu确实是映满的。

Bott周期性的上述“初等证明”是Atiyah在推广指标定理到带边流形上时得到的副产品——“a proof even MIT faculty could understand”。事实上Atiyah,Singer给出的指标定理的第2个证明正是基于类似的思想:通过形变逐步化简拟微分算子。

用同样的手法可以证明更一般的:

LX上的复线丛。作为K(X)代数,射影线丛P(L \oplus 1)(L的单点紧化)的K环由重言丛H生成,此处唯一的限制关系是(H-1)(LH-1)=0。基本定理对应L=1的特例。

上述结果足以推出K理论中的“Thom同构”,详见Atiyah的讲义。

从Bott周期性谈起 Ⅱ

典型群\mathrm{C}(n)的分类空间B\mathrm{C}(n),万有丛E\mathrm{C}(n)和万有Thom空间T\mathrm{C}(n)包含了大量拓扑信息:例如,示性类理论实际上是B\mathrm{C}(n)的同调论,而协边理论T\mathrm{C}(n)的同伦论。由于Thom同构,T\mathrm{C}(n)的同调论并不包含新的信息。另一方面,Bott周期性刻画了B\mathrm{C}/\mathrm{C}的同伦群,它导向拓扑K理论。我们的参考文献来自拓扑K理论的2位创造者:

Atiyah  K-theory

Atiyah, Hirzebruch  Vector bundles and homogeneous spaces

记号:为简单起见,我们用通常的加法和乘法表示向量丛的直和与张量积,k阶平凡丛直接记为k。在这样的约定下,平凡丛的“算术”和自然数的算术一致。

\mathrm{Vect}(X)记紧Hausdorff空间X上的向量丛的等价类。通常来说决定\mathrm{Vect}(X)是不可能的。(\mathrm{Vect}(X),+)是一个交换半群,我们可以满足于更粗糙的分类,但希望有更好的代数结构。拓扑K理论提供的方案是将\mathrm{Vect}(X)“万有提升”为交换群K(X)

\mathrm{Vect}(X)^2上引入如下等价关系:(E_1,E_1^{'}) \sim (E_2,E_2^{'})当且仅当存在E使得E_1+E_2^{'}+E=E_2+E_1^{'}+E,定义Grothendieck群K(X)为相应的等价类。事实上,在张量积下K(X)有自然的交换环结构。这个构造模仿了从\mathbb{N}\mathbb{Z}的过程。

K是紧Hausdorff空间(精确到同伦型)到交换环的反变函子。特别地,K(x_0)=\mathbb{Z}。 考虑定点标记i:x_0 \to X诱导的嵌入i^{*}:K(X) \to K(x_0),约化K函子\tilde{K}定义为\tilde{K}(X_{i(x  _0)})=\mathrm{ker}\ i^{*}。移去标记不改变流形的拓扑,故\tilde{K}(X_{i(x_o)})常简记为\tilde{K}(X),例如K(X)=\tilde{K}(X) \oplus \mathbb{Z}。另一种常用的刻画是:若E_1+m=E_2+n,则称E_1E_2稳定等价(注意我们的定义与Atiyah不同)。\tilde{K}(X)是稳定等价关系的等价类。

定义K^0(X,Y)=K(X,Y)=\tilde{K}(X/Y)K^{-n}(X,Y)=\tilde{K}(S^n(X/Y))\tilde{K}函子对应Y=x_0。Atiyah和Hirzebruch发现由此可将K-理论表述为一个广义上同调论,而此中关键正是Bott周期性。以下仍先考虑复向量丛,我们有:

\tilde{K}(X)=[X_{i(x_0)},B\mathrm{U}],于是\tilde{K}(S^n)=\pi_n(B\mathrm{U})=\pi_{n-1}(\mathrm{U})

更一般地,K^{-n}(X,Y)=[S^n(X/Y),B\mathrm{U}]=[X,Y;\Omega^{n}(\mathbb{Z} \times B\mathrm{U}),pt]

=[X,Y;\Omega^{n-1}\mathrm{U},pt],Bott周期性给出K^{-n}(X,Y)=K^{-(n+2)}(X,Y)

现在可以对n \in \mathbb{Z}定义K^n:按n的奇偶性化归为K^0K^{-1}即可。接下来只需逐条验证Eilenberg-Steenrod公理K的函子性,同伦公理以及切除公理都是平凡的,维数公理则显然不成立。边缘同态\partial的定义和正合公理的验证参见Atiyah。

为方便计,不妨定义函子K^{*}=K^{0}\oplus K^{1}及(相应的)\tilde{K}^{*}。作为同伦不变量,这2个函子在某些情况下足以代替同调群来区分拓扑空间。下面牛刀小试,以Hirsch定理的证明为例:由同伦公理,\tilde{K}^{*}(D^n)=0,但由Bott周期性知\tilde{K}^{*}(S^{n-1}) \neq 0,故S^{n-1}不是D^n的收缩核。由此我们又一次得到Brouwer不动点定理。

上述证明和Hirsch定理的同调论证明非常类似。事实上,两者确有关联:

Chern特征给出同态ch:K(X) \to H^{2*}(X;\mathbb{Q})ch:\tilde{K}(X) \to \tilde{H}^{2*}(X;\mathbb{Q})\tilde{H}^{*}(X;\mathbb{Q}) \cong \tilde{H}^{*+n}(S^n(X);\mathbb{Q})进一步说明ch:K^{*}(X,Y) \to H^{*}(X,Y;\mathbb{Q})是定义好的函子。

有趣的是Bott周期性将给出超对称的自然框架:

ch:K^{0}(X,Y) \to H^{2*}(X,Y;\mathbb{Q})ch:K^{1}(X,Y) \to H^{2*+1}(X,Y;\mathbb{Q})

从Bott周期性谈起 Ⅰ

本系列拟以Bott周期性定理为切入点讨论几个紧密相关的话题。

\mathrm{C}(n)n典型群。定义稳定典型群\mathrm{C}为如下包含序列的直接极限

\displaystyle \mathrm{C}:=\mathrm{colim}\ \mathrm{C}(n)=\bigcup_{n=1}^{\infty}\mathrm{C}(n) \leftarrow \cdots \leftarrow \mathrm{C}(2) \leftarrow \mathrm{C}(1)

C是无限CW复形。但对于给定k,同伦正合列的计算显示当n充分大时,\mathrm{C}(n)k维同伦群彼此同构,故\pi_k(\mathrm{C})总是有限定义的对象。所谓Bott周期性指的是:

\pi_k(\mathrm{U})=\pi_{k+2}(\mathrm{U})                                                       (1)

\pi_k(\mathrm{O})=\pi_{k+4}(\mathrm{Sp})\pi_k(\mathrm{Sp})=\pi_{k+4}(\mathrm{O})                (2)

Bott利用Morse理论给出的原始证明参见

Bott  The stable homotopy of the classical groups

Milnor  Morse theory

暂时先处理较简单的(1)。由于参考文献中的叙述已极为清晰,我们仅勾勒证明的大意。

首先是同伦论中的标准结果:

纤维化S\mathrm{U}(n) \to \mathrm{U}(n) \to S^1给出\pi_i(S\mathrm{U}(n))=\pi_i(\mathrm{U}(n))i>1

纤维化\mathrm{U}(n) \to V_n(\mathbb{C}^{2n}) \to G_n(\mathbb{C}^{2n})给出\pi_i(G_n(\mathbb{C}^{2n}))=\pi_{i-1}(\mathrm{U}(n))i \leq 2n,此处V_n(\mathbb{C}^{2n})为复Stiefel流形

考虑完备Riemann流形Mp,q \in M沿任何测地线不共轭,距离\rho(p,q)=\sqrt{d}。以\Omega记从pq的全道路空间,\Omega^d \subset \Omega记所有从pq的极小测地线。Morse理论中有如下定理:若\Omega^d是拓扑流形,从pq的非极小测地线的指数\geq \lambda,则相对同伦群\pi_i(\Omega,\Omega^d)=00 \leq i <\lambda。于是有同构\pi_i(\Omega^d)=\pi_i(\Omega)=\pi_{i-1}(M)i \leq \lambda-2

\Omega^{d}(S\mathrm{U}(2n);I,-I)=G_n(\mathbb{C}^{2n})。此时\lambda=2n+2,应用上述结果,得到\pi_i(G_n(\mathbb{C}^{2n}))=\pi_{i+1}(S\mathrm{U}(n))i \leq 2n。于是(1)得证,且不难确定\pi_0(\mathrm{U})=0\pi_1(\mathrm{U})=\mathbb{Z}

上述分析可以精细化。事实上,以B\mathrm{U}\mathrm{U}的分类空间,我们有:

\Omega^2 \mathrm{U} \simeq \mathrm{U},或等价地,\Omega^2 B\mathrm{U} \simeq \mathbb{Z} \times B\mathrm{U},此处\simeq表示同伦等价。

这个结果参见

Bott  The space of loops on a Lie group

Bott从工程师转行研究数学,是大器晚成,老而弥坚的典范。我们推荐下面这篇回忆性的短文

Atiyah  Working with Raoul Bott: From Geometry to Physics

R.Bott (1923-2005)