Hodge理论 Ⅳ

关于Kähler流形上的Hodge理论,一部经典著作是

Weil  Introduction à l’étude des variétés kählériennes

复流形M上的Hermite度量h给出Riemann度量g=\mathrm{Re}\,h和2形式\omega=-\mathrm{Im}\,h。这允许我们定义一系列算子。

1)微分拓扑结构:de Rham复形(\Omega^*(M),d)和相伴的投影算子\Pi^k,Dolbeault复形(A^{p,*}(M),\bar{\partial})和相伴的投影算子\Pi^{p,q}

2)Riemann几何结构:g定义的实体积形式诱导Hodge星算子*,由此得到d的共轭算子d^*和Laplace-Beltrami算子\triangle_d

3)Hermite几何结构:h定义的复体积形式诱导Hodge星算子*_\mathbb{C},由此得到\bar{\partial}的共轭算子\bar{\partial}^*和Laplace-Beltrami算子\triangle_{\bar{\partial}}。对偶地,\partial\partial^*\triangle_\partial

4)殆辛几何结构:Lefschetz算子L:\mu \mapsto \mu \wedge \omega及其由*诱导的共轭算子L^*

现在我们要求M满足Kähler条件:d\omega=0。这可以导出一系列Kähler恒等式

(1)[L,\partial]=[L,\bar{\partial}]=0

(2)[L,\bar{\partial}^*]=-\sqrt{-1}\partial[L,\partial^*]=\sqrt{-1}\bar{\partial}

(3)[L,\triangle_d]=0

(4)\triangle_d=2\triangle_\partial=2\triangle_{\bar{\partial}}

(4)显示在紧Kähler流形M上实/复2种Hodge理论有很强的相互作用,这将给出丰富的结构。例如,由(4)知\triangle_d保持双分次结构:[\triangle_d,\Pi^{p,q}]=0,从而有

(Hodge分解)H^k(M,\mathbb{C})=\sum_{p+q=k}H^{p,q}

(Hodge共轭)H^{p,q}=\overline{H^{q,p}}

Hodge数h^{p,q}的一种常用的图像化是“Hodge钻石”(不妨将”diamond”理解成一种双关:既表示“菱形”又暗示了Hodge diamond在超越几何中的价值)。此时Hodge分解允许我们对每一行求和以读出Betti数,而Serre对偶、Lefschetz对偶和Hodge共轭分别对应Hodge钻石的中心对称性、上下对称性和左右对称性。一个简单的推论是:对于紧Kähler流形,Betti数b_{2m+1}是偶数。这可以用来检验复流形是否容许Kähler结构。

Hodge分解结合Lefschetz分解允许我们计算紧Kähler流形M^{2n}的号差:

(Hodge指标定理)\tau(M)=\sum_{p,q}(-1)^q h^{p,q}

证明可参见

Voison  Hodge theory and complex algebraic geometry Ⅰ

Hirzebruch利用Hodge指标定理和Hirzebruch号差定理2种方式来计算紧Kähler流形M^{2n}的号差,进而用Hodge数表出示性数,这在Hirzebruch-Riemann-Roch定理的原始证明中是关键的。一般地,我们可以问:是否可以用紧Kähler流形的Hodge数线性表出Chern数和Pontryagin数?这是我在MathOverFlow上提的第一个问题:新近的一个结果显示一般来说这是不可能的,换言之,Euler示性数、号差从某种角度上来说是“例外”不变量。一个3维的反例可以参见Sergey的回答

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Witten形变:从Hodge理论到Morse理论

在未来的历史学家看来,Witten发表于1982年的论文Supersymmetry and Morse theory或许标志着“量子数学”的开端。在这篇文章中,Witten

(1)给出了Hodge理论的物理解释:某种超对称量子力学模型;

(2)发展了Witten形变的技术,指出Morse理论应视为Hodge理论的强耦合极限,从而给出了Morse不等式的新证明;

(3)利用量子隧穿效应重新解释了Thom-Smale的Morse同调理论,其场论类比直接导向Floer同调;

(4)用Witten形变考察了“广义Morse理论”(Poincaré-Hopf定理),并暗示了用类似手段可以证明指标定理;

E.Witten (1951-  )

Supersymmetry

最简单的超对称结构是超代数\Bbb Z_2分次代数A=A_0 \oplus A_1(分别对应Boson和Fermion)。等价地,也可以假定A上赋有对合自同构\theta\Bbb Z_2分次对应特征空间分解:\theta A_i=(-1)^i A_ix \in A_i称为A的齐次元素,其次数i记为|x|

超代数有一个Lie超代数的结构:[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx

A上的线性算子同样构成超代数:偶算子保持A_i(与\theta交换),奇算子对调A_i(与\theta反交换)。一个超对称量子模型指的是算子族(H,Q_i):(1)H代表系统的Hamilton量。它必须是偶算子:[\theta,H]=0(Fermion和Boson守恒);(2)奇算子Q_i代表Boson和Fermion间的超对称,要求[Q_i,Q_j]=0[H,Q_i]=0(超对称“守恒”)。

下面提供一个最简单的超对称量子力学模型:紧Riemann流形M上的所有L^2可积的复微分形式\Omega(M)在如下内积下构成Hilbert空间:\displaystyle <\alpha,\beta>=\int_{M}\alpha \wedge *\overline \beta \ dV_gp-形式可以理解为pFermi子的量子态,内乘\mathfrak{i}_\omega外乘\mathfrak{i}_\omega^*(作为伴随算子)表示Fermion\omega湮灭和产生。

现在将偶数个Fermion视为Boson\Omega(M)成为超代数。进一步取Q_1=d+d^*Q_2=i(d-d^*)H=Q_1^2=Q_2^2为Laplace-Beltrami算子\triangle。作为自共轭算子,它们的谱代表了可观测物理量的特征值。特别地,由Hodge定理p基态(量子真空)的能级简并度等于Betti数b_p——流形的拓扑自然地进入了超对称量子力学。

Witten deformation

给定M上的Morse函数h耦合常数c,定义Witten形变d_c=e^{-hc}de^{hc}\triangle_c=(d_c+d^*_c)^2(\triangle_c为Hermite算子要求h取实值)。共轭作用不改变算子的谱,故Witten形变保持\mathrm{dim}\, ker\,\triangle_c:调整耦合系数不改变量子真空态的简并度b_p

注意到ker\,\triangle_c=ker\,d_c \cap ker\, d_c^*d_c=d+c\mathfrak{i}_{dh}。Witten考察了强耦合极限下的ker\,\triangle_c:令c \to \infty\mathfrak{i}_{dh}成为绝对主项。在h的常点附近,“调和形式”趋于ker\, \mathfrak{i}_{dh} \cap ker\,\mathfrak{i}_{dh}^*,其“振幅”必须趋近于0;只有在临界点处,才能保持原有的“振幅”。

上述考察可以利用(局部)渐进分析严格化:在临界点x的小邻域中依Morse引理选取标准正交坐标系,\displaystyle \triangle_c=\sum_i(-\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}+c^2 x_i^2+c\lambda_i[\mathfrak{i}_{x_i}^*,\mathfrak{i}_{x_i}])+O(c^3)\lambda_i=\pm 1。我们以p记临界点x的指数:p=\#\{i:\lambda_i=-1\}

算子\displaystyle -\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}+c^2 x_i^2[\mathfrak{i}_{x_i}^*,\mathfrak{i}_{x_i}]对易。故能级的主项可以直接计算出来:

\displaystyle c\sum_i(1+2N_i+\lambda_i n_i)+O(1),N_i=0,1,2,\cdots,n_i=\pm 1

x处不发散的能级仅有1个:N_i=0\lambda_i n_i=-1。简谐振子的能级非简并,故这个不发散的能级对应1个本征态。展开[\mathfrak{i}_{x_i}^*,\mathfrak{i}_{x_i}],不难看出\# \{i: n_i=1\}=p意味着此本征态是p-形式。以m_p记指数为p的临界点个数,则m_p可以解释为在强耦合极限下保持能量(局部)有界的p粒子态空间X_p的维数。

显然,X_p包含所有(整体)量子真空态,故m_p \geq b_p(弱Morse不等式)。

Morse homology

我们进行稍精细一些的考量:给定上链复形(X_p, D)并以m_pX_p的秩,弱Morse不等式和强Morse不等式都可以从极简单的同调代数得到。问题在于,拓扑和几何中的复形常以无穷维向量空间的形式出现(例如de Rham复形),m_p甚至不是良定义的。Witten形变提供了将这些复形“局部化”为有限维复形的技巧:例如,将\Omega^p局部化为除在h的指数为p的临界点外在整个流形上均消没的“p形式”。

D当然是d_c的强耦合极限,但D也可以具体构造出来:注意到临界点对应势能c^{2}(dh)^2的极小值(势阱),Witten考虑了“相邻”势阱间的量子隧穿。此处“相邻”意味着指数相差1。具体地说,从临界点xy的隧穿轨道(瞬子)\gamma是场dh中的最速降线。对每条\gamma赋予n_\gamma=\pm 1,并定义n(x,y)=\sum_\gamma n_\gammaD\psi_x=\sum_y n(x,y)\psi_y:利用Witten形变,Witten重新发现了Thom-Smale的Morse(上)同调理论。

事实上,将n(x,y)解释为特定的相交指数,上述讨论也可视为某个Lefschetz型不动点定理。详情参见Witten的文章,以及

Atiyah, Bott   A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes: II. Applications

(4)取代恰当形式dh,Witten用完全类似的想法对一般的闭形式\omega考虑了系统的强耦合极限,这导致Poincaré-Hopf定理的证明。Witten指出这应该视为简化版的指标定理

事实上,Morse理论、Lefschetz不动点定理和Poincaré-Hopf定理的联系在经典框架下是已知的。Witten的贡献在于提供了一个全新的观点:Witten形变。

注记

这里举出几个后续的发展,也为我自己提供一份相关文献的备忘录。

追随Witten的想法,Floer利用量子隧穿/瞬子对3维流形的路径空间定义了以他命名的同调类。

Floer  An instanton invariant for 3-manifolds

Atiyah的文章讨论了Floer工作(以及Donaldson在4维流形方面工作),其物理解释则由Witten给出:

Atiyah  New invariants for 3 and 4 dimensional manifolds

Witten  Topological quantum field theory

利用Witten形变的技术,Witten从Donaldson不变量导出Seiberg-Witten不变量

Witten  Monopoles and four-manifolds

我们曾提到过,Arnold猜想可以视为Morse不等式/Lefschetz不动点定理在辛几何中的类比。辛流形的Floer同调理论参见

Floer  Morse theory for Lagrangian intersection

Witten  Topological sigma models

Hodge理论 Ⅲ

本章讨论复流形上的Hodge定理。这与第1章完全平行,对比阅读将是有趣的。另一方面,第1章的结果可以用更加几何化的方法(例如Morse理论)得到,而已知的拓扑手段对复流形尚无能为力,此时Hodge定理“不可代替”。

关于Hermite流形上的Hodge定理,经典的参考书是

Griffiths, Harris    Principles of algebraic geometry

Serre对偶在代数几何中的应用,参看

Serre    Un Théorème de duality    Comm.Math.Helv.29(1955)

考虑带有Hermite度量的复维数为n的紧复流形M。记\Omega的复化为A,在坐标变换(x_i,y_i) \to (z_i,\bar{z_i})下,每个1-形式可分解为a_{i,0}dz^i+a_{0,i}d\bar{z_i}。以A^{p,0}dz_i在外积下生成的p次外代数,A^{0,q}d\bar{z_i}在外积下生成的q次外代数。Cauchy-Riemann方程保证A^{p,0}A^{0,q}的定义不依赖于坐标的选取,故有自然投影映射\pi_{p,q}:A^r \to A^{p,q}p+q=r

我们考察4个算子:

1.星算子\star:A^{p,q} \to A^{n-p,n-q}将微分形式映到其Hodge对偶。\star\star=(-1)^{p+q}\star允许我们在A^{p,q}上定义Hermite内积(\alpha,\beta)=\int_{M}\alpha \wedge \star \overline{\beta}

A=\oplus_{p,q=0}^{n}A^{p,q}\oplus为正交直和,则A成为内积空间。\star可扩充为A上的酉算子:(\star \alpha,\star \beta)=(\alpha,\beta)

2.微分算子\overline{\partial}:A^{p,q} \to A^{p,q+1}\overline{\partial}=\pi_{p,q+1} \circ d\overline{\partial}^{2}=0

3.上微分算子\overline{\partial}^*:A^{p,q} \to A^{p,q-1}\overline{\partial}^*=-\star \overline{\partial} \star。不难验证(\overline{\partial}^*)^{2}=0(\overline{\partial}\alpha,\beta)=(\alpha,\overline{\partial}^*\beta),即\overline{\partial}^*\overline{\partial}互为伴随算子。

\overline{\partial}^*\overline{\partial}又称Dolbeault算子。

4.Laplace-Beltrami算子\triangle:A^{p,q} \to A^{p,q}\triangle=(\overline{\partial}+\overline{\partial}^*)^{2}=\overline{\partial}\overline{\partial}^*+\overline{\partial}^*\overline{\partial}\triangle\star\overline{\partial}\overline{\partial}^*交换,它是Hermite算子:(\triangle\alpha,\beta)=(\alpha,\triangle \beta)\triangle \alpha=0当且仅当\overline{\partial}\alpha=0\overline{\partial}^*\alpha=0

\mathcal{H}^{p,q}=\{\omega \in A^{p,q}: \triangle \omega=0\}\omega称为调和(p,q)形式。

(Hodge定理Ⅱ)存在如下正交分解式:

A^{p,q}=\triangle G(A^{p,q})\oplus \mathcal{H}^{p,q}=\overline{\partial}\overline{\partial}^{*}G(A^{p,q}) \oplus\overline{\partial}^*\overline{\partial} G(A^{p,q}) \oplus \mathcal{H}^{p,q},其中dim\mathcal{H}^{p,q}<\infty

此处Green算子G:A^{p,q} \to A^{p,q}是紧算子。Ker(G)=\mathcal{H}^{p,q}G限制在(\mathcal{H}^{p,q})^{\perp}上是\triangle的逆,从而与\star\overline{\partial}\overline{\partial}^*交换。

Hodge定理Ⅱ的证明与第2章中给出的Hodge定理Ⅰ的证明完全类似。我们直接转向其在层上同调理论中的应用。

由Dolbeault定理,全纯p形式层\Omega^{p}对于M的第q个层上同调群H^{q}(M,\Omega^{p})\cong \{\overline{\partial}闭的(p,q)形式\}/\{\overline{\partial}恰当的(p,q)形式\},从而有

(Hodge定理Ⅱ’)存在同构H^{q}(M,\Omega^{p}) \cong \mathcal{H}^{p,q}

类比de Rham上同调的情形,得到如下推论

有限性定理:对紧复流形Mdim H^{q}(M,\Omega^{p})<\infty

Serre对偶:\star\triangle=\triangle\star,故有同构\star:\mathcal{H}^{p,q} \to \mathcal{H}^{n-p,n-q}。非退化的Hermite内积(,)给出对偶H^{q}(M,\Omega^{p}) \cong (H^{n-q}(M,\Omega^{n-p}))^{*}

注记

Hodge定理可以无困难地从M的切丛推广到一般的全纯向量丛E上,得到Serre对偶:

H^{q}(M,\Omega^{p}(E)) \cong (H^{n-q}(M,\Omega^{n-p})(E))^{*}

Serre本人的证明基于解析层的消解,推广后可以应用于抽象代数几何。利用Hodge定理在复流形上证明Serre对偶则是小平邦彦的想法。

M为紧Riemann面的情形,可以用Serre对偶来证明Riemann-Roch定理。这里我们仅证明Riemann-Roch定理的一个特例:紧Riemann面M上的全纯微分构成g维复线性空间,gM的亏格。代数几何学家通常称这个结果为:算术亏格等于几何亏格。

Poincaré引理给出层的短正合列:0 \to \mathbb{C} \to \Omega^{0} \to \Omega^{1} \to 0,从而诱导层上同调群的长正合列

0 \to H^{0}(\mathbb{C}) \to H^{0}(\Omega^{0}) \to H^{0}(\Omega^{1}) \to H^{1}(\mathbb{C}) \to

H^{1}(\Omega^{0}) \to H^{1}(\Omega^{1}) \to H^{2}(\mathbb{C}) \to H^{2}(\Omega^{0})=0

流形上同调理论给出dim H^{0}(\mathbb{C})=dim H^{2}(\mathbb{C})=1dim H^{1}(\mathbb{C})=2g。利用Serre对偶不难算得dim \mathcal{H}^{1,0}=dim H^{0}(\Omega^{1})=g

Hodge理论 Ⅱ

本章勾勒Hodge定理的证明,并说明Hodge定理实则是算子\triangle的谱定理。

本章的证明部分取自

伍鸿熙   黎曼几何选讲

椭圆算子正则性的证明参看

Narasimhan     Analysis on real and complex manifolds

de Rham的书中也有一个对Hodge定理的证明。特别是,他给出了积分算子G的显式表示。

de Rham   Variétés différentiables

C^{\infty}(M)上的内积(f,g)_{S}=\sum_{|\alpha| \leq S} \int_{M}D^{\alpha}fD^{\alpha}g诱导范数\parallel \centerdot \parallel_{S}。依相应的度量将C^{\infty}(M)完备化为Sobolev空间W_{S}(M)。我们有Sobolev链

\dots \subset W_{S}(M) \subset \dots \subset W_{1}(M) \subset W_{0}(M)=L^{2}(M)

\OmegaC^{\infty}(M)-模,记\Omega_{S}=W_{S}(M)\otimes \Omega\mathcal{H}_{S}^{p}\mathcal{H}^{p}\Omega_{S}中的闭包。第1章中的所有算子都可以扩张到\Omega_{S}上。同样我们有Sobolev链

\dots \subset \Omega_{S} \subset \dots \subset \Omega_{1} \subset \Omega_{0}

(Rellich引理)自然嵌入i:\Omega_{1} \to \Omega_{0}是紧算子。

此结论由\mathbb{R}^{n}中的Rellich引理“拼接”而成,其成立依赖于M的紧性。

\Omega上定义内积[f,g]=((d+d^*)f,(d+d^*)g)=(\triangle f, g),诱导半范数| \centerdot |。我们来厘清\Omega上4个(半)范数\parallel \centerdot \parallel\parallel \centerdot \parallel_{0}\parallel \centerdot \parallel_{1}| \centerdot |之间的关系。

不难发现\parallel \centerdot \parallel \sim \parallel \centerdot \parallel_{0}\parallel \centerdot \parallel_{0} \leq \parallel \centerdot \parallel_{1}

(Gårding不等式)\forall f \in \Omega| f|^{2} \geq C_{1}\parallel f \parallel^{2}_{1}-C_{2}\parallel f \parallel^{2}_{0}

| \centerdot |(\mathcal{H}^{p})^{\perp}上的范数。由Rellich引理和Gårding不等式,可推出在(\mathcal{H}^{p})^{\perp}| \centerdot | \sim \parallel \centerdot \parallel_{1}。我们将| \centerdot |扩充为(\mathcal{H}_{1}^{p})^{\perp}上的范数。

以下关于椭圆算子正则性方面的结果是证明的关键:

Weyl引理f \in \Omega_{1}g \in \Omega。若对\forall h \in \Omega(h,g)=(\triangle h,f),则f \in \Omega\triangle f=g

现在着手证明Hodge定理Ⅰ。

f \in\mathcal{H}^{p}。由Gårding不等式,\parallel f \parallel_{1} ^{2}\leq C_{1}^{-1}C_{2}\parallel f \parallel_{0}^{2}。取极限过渡到\mathcal{H}_{0}^{p},由Rellich引理推出\mathcal{H}_{0}^{p}中单位球是紧的,故dim\mathcal{H}^{p}=dim \mathcal{H}_{o}^{p}<{\infty}

Hodge分解相当于说嵌入\triangle:(\mathcal{H}^{p})^{\perp} \to (\mathcal{H}^{p})^{\perp}是映满的。由Weyl引理,只需对每个g \in (\mathcal{H}^{p})^{\perp}找到f \in (\mathcal{H}_{1}^{p})^{\perp}使得对\forall h \in (\mathcal{H}^{p})^{\perp}(h,g)=(\triangle h,f)。定义泛函L: (\mathcal{H}^{p})^{\perp} \to \mathbb{R}Lh=(h,g)。我们有估计

|Lh|\leq \parallel g\parallel \parallel h \parallel \leq C_{3}\parallel g \parallel\parallel h \parallel_{1}\leq C_{4}\parallel g \parallel| h |

L|\centerdot|有界。用Hahn-Banach定理将L扩充到(\mathcal{H}_{1}^{p})^{\perp}上,再用Riesz表示定理即可找出我们需要的f。注意这依赖于(\mathcal{H}_{1}^{p})^{\perp}的完备性。

最后证明G\Omega_{0}^{p}上的紧算子。显然只需对(\mathcal{H}_{0}^{p})^{\perp}证明即可。对f \in (\mathcal{H}^{p})^{\perp},有\parallel Gf \parallel_{1}^{2}\leq C_{5}\parallel \triangle Gf \parallel \parallel Gf \parallel\leq C_{6}\parallel f \parallel \parallel Gf \parallel_{1}\parallel Gf \parallel_{1}\leq C_{6}\parallel f \parallel

注意到\parallel \centerdot \parallel \sim \parallel \centerdot \parallel_{0},取极限过渡到(\mathcal{H}_{0}^{p})^{\perp},用Rellich引理即可证明G的紧性。

Hodge定理描述了\triangle对应特征值0的谱分解。对积分算子G应用Hilbert空间上自伴随紧算子的谱定理,我们得以刻画\triangle的非0特征值:其均为正实数,唯一聚点在无穷远处,每一个特征值对应一个有限维的特征子空间,(\mathcal{H}_{0}^{p})^{\perp}是这些子空间在L^{2}意义下的正交直和。又由椭圆算子的正则性,所有特征向量均\in (\mathcal{H}^{p})^{\perp},进而得到(\mathcal{H}^{p})^{\perp}的正交分解。

至此我们已完整描述了\triangle的算子谱。将偏微分方程转化为积分方程,利用积分算子的紧性讨论微分算子的谱,这正是泛函分析的源头之一。

Hodge理论 Ⅰ

这个系列的目标是初步讨论Hodge定理及其在拓扑上的应用。

关于Hodge的生平和数学成就,可参看Atiyah为Hodge写的悼文

Atiyah     William Vallance Douglas Hodge    Bulletin London Math. Soc. 9 (1977)

对Hodge定理的高度评价,我们仅举出两个例子:Weyl称Hodge的Harmonic integrals是20世纪数学的里程碑,Whitehead则戏称他愿意用灵魂和恶魔交换这样一个定理。至于Hodge理论作为大范围分析的主流,影响及于整个数学,则是众所周知的事了。

Hodge实际上没有给出Hodge定理的严格证明。他证明中的漏洞由Weyl利用Weyl引理补足。这段历史可参见陈省身为下面这本书英文版所写的序言

de Rham   Variétés différentiables

Riemann流形上的Hodge定理及其在de Rham上同调理论中的推论参见

Warner    Foundations of differentiable manifolds and Lie groups

W.Hodge(1903-1975)

粗略地说,Hodge在紧Riemann流形的每一个上同调类中找到唯一的调和微分作为代表元,从而允许我们利用分析手段去研究流形的拓扑。另一方面,调和微分自然而然地出现在复几何中,Hodge定理又大大加深了我们对复流形的理解。这分别是本章和第3章的主题。

以下讨论Riemann流形上的Hodge定理。

对于n维可定向的紧Riemann流形M,通过切丛上的联络内蕴地定义微分运算。考虑微分形式的分次代数\Omega。除微分算子d之外,我们再在\Omega上定义3个算子:

1.星算子\star:\Omega^{p} \to \Omega^{n-p}。它将一个微分形式映为其对偶形式(Hodge对偶)。\star\star=(-1)^{p(n-p)}。特别地,\star允许我们在\Omega^{p}上定义内积

(\alpha,\beta)=\int_{M}\alpha \wedge \star \beta,诱导的范数记为\parallel \centerdot \parallel

\Omega=\oplus_{p=o}^{n}\Omega^{p}\oplus为正交直和,则\Omega成为内积空间。\star是其上的正交算子:(\star \alpha,\star \beta)=(\alpha,\beta)

2.上微分算子d^*:\Omega^{p}\to \Omega^{p-1}d^*=(-1)^{np+n+1}\star d \star。不难验证(d^*)^{2}=0(d\alpha,\beta)=(\alpha,d^* \beta),即d^*d互为伴随算子。

3.Laplace-Beltrami算子\triangle:\Omega^{p} \to \Omega^{p}\triangle=(d+d^*)^{2}=dd^*+d^* d\triangle\stardd^*交换,它是自伴随算子:(\triangle\alpha,\beta)=(\alpha,\triangle \beta)\triangle \alpha=0当且仅当d\alpha=0d^*\alpha=0

求出\triangle\Omega^0{M}中的局部坐标表示是有启发性的:此时其和经典Laplace算子仅相差一个符号。

\mathcal{H}^{p}=\{\omega \in \Omega^{p}: \triangle \omega=0\}\omega称为调和p次形式。

(Hodge定理Ⅰ)存在如下正交分解式:

\Omega^{p}=\triangle(\Omega^{p})\oplus\mathcal{H}^{p}=d(\Omega^{p-1})\oplus d^*(\Omega^{p+1})\oplus\mathcal{H}^{p},其中dim\mathcal{H}^{p}<\infty

注意到上述正交分解等价于说\triangle|_{(\mathcal{H}^{p})^{\perp}}是线性空间(\mathcal{H}^{p})^{\perp}的同构,故可在(\mathcal{H}^{p})^{\perp}上定义积分算子G作为\triangle的逆算子,并以G(\mathcal{H}^{p})=0G拓展到整个\Omega^{p}上。易见G是自伴随算子,与\stardd^*交换。G称为Green算子。下一章中,我们将证明和一般的积分算子一样,G是紧算子。

我们举出Hodge定理Ⅰ在de Rham上同调理论中的几个应用。

定义投影算子H:\Omega^{p} \to \mathcal{H}^{p}。任意\omega \in \Omega^{p}有分解\omega=dd^* G\omega+d^* d G \omega+H\omega。如果\omega是闭形式,\omega=dd^* G\omega+H\omega,于是调和微分H\omega落在\omega的上同调类中。不难证明H\omega不依赖于\omega的选取而只依赖于其上同调类,因而:

(Hodge定理Ⅰ’)存在同构H:H^{p}(M) \to \mathcal{H}^{p},其中H^{p}(M)M的第p个de Rham上同调群。

作为推论,我们得到

有限性定理:对可定向的紧微分流形Mdim H^{p}(M)<\infty

Poincare对偶:\star\triangle=\triangle\star,故有同构\star:\mathcal{H}^{p} \to \mathcal{H}^{n-p}。内积(,)的非退化性给出对偶H^{p}(M) \cong (H^{n-p}(M))^{*}

这2个结果是de Rham上同调理论的基础。同调代数中的标准证明有浓厚的组合风味:利用Mayer-Vietoris序列将局部的信息粘合起来。利用Hodge定理的证明本质上是一个分析证明,这在下一章会看得很清楚。