Cartan-Chern理论的简要总结 Ⅳ

我们将联络和曲率的概念推广到一般的纤维丛上。权威参考书是

Kobayashi, Nomizu  Foundations of differential geometry

纤维丛的拓扑参见Steenrod. 我们再强调一下主丛的万有性:给定G忠实左作用于其上的纤维F,可构造主丛P \to B伴随丛E=(P \times F)/G \to B

Steenrod  The topology of fiber bundles

V_x记纤维\pi^{-1}(x)的切空间。纤维丛的Ehresman联络\Gamma定义为P上的可微分布H,使T_x P分解为垂直子空间V_x与水平子空间H_x的直和,且H_{xa}=dR_a H_xa \in G。定义向量场的投影v:\Gamma(TP)\to \Gamma(V)h:\Gamma(TP)\to \Gamma(H)

记Lie代数\mathfrak{g}V_x的同构为A \mapsto (A^{*})_xA^{*}称为基本向量场。定义\Gamma联络形式\omega \in \Omega^1(P,\mathfrak{g})为满足\omega(X)^{*}=v(X)X \in \Gamma(TP)的唯一1-形式。

\Omega=D\omega称为\Gamma曲率形式,其中协变导数Dp-形式\alpha上的作用定义为D\alpha(X_1, \cdots, X_{p+1})=d\alpha(h(X_1), \cdots, h(X_{p+1}))

我们有Cartan结构方程\displaystyle \Omega(X,Y)=d\omega(X,Y)+[\omega(X),\omega(Y)]。结合Cartan公式d\omega(X,Y)=X \omega(Y)-Y\omega(X)-\omega([X,Y]),推得有用的:\omega[X,Y]=-\Omega(X,Y),若X,Y \in \ker(v)(水平向量场)。

和乐群\phi(x)及限制和乐群\phi^0(x)的定义是熟知的。理论上,和乐群包含了流形的全部结构信息。定义和乐丛P(x_o)x_0所在的道路联通分支,“道路”限定为水平曲线。不难证明P(x_o)是以\phi(x_0)为结构群的主丛。一个常用来“剔除冗余”的结果是

(联络约化定理)P(x_o)P的子丛,且\Gamma限制到P(x_o)上仍为联络。

和乐群对应的Lie代数\eta \in \mathfrak{g}称为和乐代数。其与曲率的关系为

(Ambrose-Singer和乐定理)\eta由形如\Omega_x(X,Y)的元素生成,其中x取遍P(x_o)X,Y取遍H_{x}

研究Riemann流形的和乐群是一个有趣的课题。下面是2份综述报告

伍鸿熙  和乐群   收录于《黎曼几何选讲》

Bryant  Classical, exceptional, and exotic holonomies: a status report

主丛上的联络可以拉回到伴随丛上。事实上,二者一一对应。一个重要的例子是GL(n,\mathbb{R})-主丛(即Cartan的标架丛)和伴随的n阶向量丛,Ehresman联络的拉回成为Koszul联络。这是联络理论的核心结论之一,希望深究的读者可以参考Kobayashi, Nomizu.

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Cartan-Chern理论的简要总结 Ⅲ

Cartan-Chern理论应用于低维拓扑时体现出新的特征。我们考察4维和3维时的2个例子。

现取M为某4维可定向紧Riemann流形,物理上这是某些时空流形的合适模型。此时自伴随算子*给出\Omega^{2}(M)的一个自同构,且**=1。对应特征值\pm 1有特征空间分解\Omega^{2}(M)=\Omega^{+} \oplus \Omega^{-}。我们称\Omega^{+}中的2-形式为自对偶的,\Omega^{-}中的则称为反自对偶的。根据对应曲率形式的性质,我们也将同样的术语套用于联络上。一个简单的观察是,(反)自对偶联络是Yang-Mills联络。因为对这些曲率形式来说,闭和上闭是等价的。

下面考虑M的“上层结构”。研究Yang-Mills理论的自然框架是M上的k阶Hermite向量丛E(或更一般的,主U(k)丛)。

Chern-Weil理论指出,Chern类c_j(E)的生成函数是\displaystyle \mathrm{det}(I+\frac{i}{2\pi}Ft)=\sum_j c_j(E)t^{j}。给定SU(k)联络DF \in \Omega^2(\mathrm{Ad}(E))是零迹的:\displaystyle c_1(E)=\frac{i}{2\pi}\mathrm{tr}F=0。从而\displaystyle c_2(E)=\frac{\mathrm{tr}(F \wedge F)}{8\pi^2}=\frac{|F^-|^2-|F^+|^2}{8\pi^2},其中F^+F的自对偶部分,F^-是反自对偶部分。

另一方面,Yang-Mills泛函有如下显式:\displaystyle YM(D)=\int_M (|F^-|^2+|F^+|^2)dV

我们知道E的2阶Chern数C_2是不依赖于联络的拓扑不变量。取决于C_2的符号,(反)自对偶联络不仅是Yang-Mills联络,更使Yang-Mills泛函取到最小值8\pi^2 C_2C_2>0时反自对偶(ASD)联络在物理上称为瞬子

注记1:

我们简要介绍Donaldson在这方面的工作。对于给定的C_2E上的瞬子可以用模空间\mathfrak{M}参数化。Donaldson仔细研究了这些模空间。例如,当M单连通,k=2C_2=1时,Donaldson证明\mathfrak{M}是一个含奇点的5维流形,且所有奇性都是“典型”的。这使得他找到了流形的新的微分不变量,从而极大地丰富了对4维微分流形的认识。

Donaldson, Kronheimer  The geometry of 4-manifolds

下面假定M是3维紧流形。此时Yang-Mills泛函的类似物是Chern-Simons泛函。考虑带有度量的平凡丛EG-联络D=d+AG \subset SL(n,\mathbb{R})

Chern-Simons泛函定义为

\displaystyle CS(A)=\int_M \mathrm{tr}(A \wedge dA+\frac{2}{3}A \wedge A \wedge A)

上式中的积分项称为Chern-Simons形式。

注意这一定义不依赖于度量,因而相应的不变量自动成为拓扑不变量。

Chern, Simons    Characteristic forms and geometric invariants

计算指出Chern-Simons泛函的变分方程是F=0,即要求联络D是平坦的。这一要求显然是规范不变的。

一个有趣的现象是,M \times \mathbb{R}上(反)自对偶联络约化到M上给出一个平坦联络,即Yang-Mills泛函和Chern-Simons泛函的临界点之间存在某种“投影”关系。这提供了利用4维规范场论研究3维流形的某种途径。在物理上,这可以理解为引入时间的演化来研究空间结构。

注记2:

上述现象也暗示了4维流形的Donaldson理论与3维流形的Floer同调理论之间可能存在某种联系。这一点由Witten阐明,基本的想法仍是来自物理的。

Witten  Topological quantum field theory

Cartan-Chern理论的简要总结 Ⅱ

在理论物理研究中,出于“测量”的目的,赋予流形诸如度量之类的刚性结构几乎总是必要的。以下我们假定联络线性联络D与向量丛E上的度量相容:

d\langle X,Y\rangle=\langle DX,Y\rangle+\langle X,DY\rangle\forall X,Y \in \Gamma(E)

这一刚性条件要求矩阵A(X) \in \mathfrak{o}(k)\forall X \in TM。这一点可以简单地说明如下:对于E的局部正交基s_i

0=X\langle s_i,s_j \rangle=\langle A(X)s_i,s_j \rangle+\langle s_i,A(X)s_j \rangle=\langle s_i,(A+A^{*})(X)s_j \rangle

这允许我们将考虑的范围从\Omega^{*}(\mathrm{End}(E))缩小到\Omega^{*}(\mathrm{Ad}(E))(结构群的约化)。A \in \Omega^{1}(\mathrm{Ad}(E)),事实上可以证明F \in \Omega^{2}(\mathrm{Ad}(E))

外协变微分推广了外微分。现在我们着手建立de Rham-Hodge理论的某种(非线性)推广。

模仿Hodge理论,我们可以在\Omega^{*}(\mathrm{Ad}(E))上定义星算子*,并借此赋予其内积空间的结构。具体地说,定义Killing形式P \cdot Q=-tr(PQ)\forall P,Q \in \mathfrak{o}(k),不难验证这是\mathfrak{o}(k)上的内积,由此可将Hodge理论中对一般微分形式(乃至de Rham的流)定义的L^2内积以张量积进行扩充到以\mathfrak{o}(k)为系数的微分形式上。

完全类似的,我们定义D的伴随算子D^{*}:\Omega^{*}(\mathrm{Ad}(E)) \to \Omega^{*-1}(\mathrm{Ad}(E))(D\alpha, \beta)=(\alpha, D^{*}\beta)\alpha,\beta \in \Omega^{*}(\mathrm{Ad}(E))

联络D确定曲率形式F_D,这是我们特别感兴趣的对象。第二Bianchi恒等式告诉我们F_D总是闭形式。如问F_D何时是调和形式?则我们知道充要条件是F_D也是上闭的:D^{*}F_D=0

所有联络组成一个仿射空间。规范场论的一个基本观察是,调和曲率形式同时也是联络空间上某个变分问题的解。具体地说,定义Yang-Mills泛函YM(D)=(F_D,F_D)(代表了联络的“能量”),则DYM(D)的临界点当且仅当F_D是上闭的。我们称这样的D为Yang-Mills联络。

Weyl最先提出规范场论的一个“玩具模型”来描述电磁学(回顾我们之前介绍过的Weyl的系列工作,不难发现“一以贯之”的线索)。多年之后Yang和Mills对这一理论的重大发展使得非Abel规范场论又以Yang-Mills理论见称于世。这个理论的一个基本特征是描述了物理系统的内在对称性,我们现在来严格定义所谓的“内在对称性”。

向量丛\mathrm{Aut}(E)MSO(k)的映射。我们称\Gamma(\mathrm{Aut}(E))为一个规范变换,所有规范变换构成规范群\mathfrak{G}。约定规范群以共轭的方式作用在联络上:g(D)=g^{-1} \circ D \circ g

注意到规范变换保持Yang-Mills泛函,进而保持Yang-Mills联络,\mathfrak{G}可视为“联络-Yang-Mills联络”的“Galois群”,此即“内在对称性”的数学描述。

对规范场论在各种物理理论中的应用感兴趣的读者可以参考

Wu, Yang   Concept of nonintegrable phhase factors and global formulation of gauge fields

Cartan-Chern理论的简要总结 Ⅰ

光滑函数的微分d:C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M) \otimes \Gamma(T^{*}M)允许2个方向上的推广:协变微分(线性联络)和外微分

k阶向量丛\pi:E \to M上的Koszul联络提供了“粘合”纤维的方法,这允许我们将平凡丛M \times \mathbb{R}的截面(C^{\infty}(M))的微分推广为一般向量丛截面的微分:

D:\Gamma(TM) \otimes \Gamma(E) \to \Gamma(E)(方向导数)

或者,D:\Gamma(E) \to \Gamma(E) \otimes \Gamma(T^{*}M)(全微分)

以下视D为全微分。在局部坐标系中,D=d+AA是以k \times k矩阵\in \mathrm{End}(E)为系数的1-形式,称为联络形式,在规范场论中又称为规范势。

(伪)Riemann几何提供了一个最常见的例子:切丛上与(伪)Riemann度量相容的Levi-Civita联络。

从物理上看,速度向量的协变微分中除了加速度项(微分)外还出现了由Christoffel符号给出的“引力项”A。时空结构是引力的来源,这一想法是广义相对论的滥觞。

一般地,给定M上的向量丛E_1E_2及相应的联络D_1D_2E=E_1 \otimes E_2上的诱导联络D有如下自然定义:

D(s_1 \otimes s_2)=D_1 s_1 \otimes s_2+s_1 \otimes D_2 s_2

外微分推广微分的方式是利用上述定义将d延拓为d:\Omega^{*}(M) \to \Omega^{*+1}(M),其中\Omega^{k}(M)定义为C^{\infty}(M) \otimes \Gamma(\bigwedge^{k}(T^{*}M))

引入外代数这一结构的初衷是便于建立流形上的积分理论,Stokes公式是这个方向上的核心结果。但更重要的或许是d \circ d=0,这使得(C^{\infty}(M) \otimes \Omega^{*}(M),d)成为de Rham复形。由de Rham定理,这一复形给出M的奇异上同调的信息。

E \otimes \Omega^{*}(M)\Omega^{*}(E)。综合上述2方面将D延拓为外协变微分:

D:\Omega^{*}(E) \to \Omega^{*+1}(E)

规范势的出现使得D \circ D不再恒等于0。为衡量与“平坦”时空的差距,定义曲率形式:

F=D \circ D: \Omega^{0}(E) \to \Omega^{2}(E)

不难验证F=dA+A \wedge AF(s)=R(\cdot,\cdot)s,即F是Riemann曲率张量在一般向量丛上的推广。这一观察将曲率统一进外微分形式的框架内。

微分算子F同时也是“闭形式”。更确切地说,微分算子F的作用相当于与某个k \times k矩阵\in \mathrm{End}(E)为系数的2-形式(也记为F)作外积。仍以DD\Omega^{*}(\mathrm{End}(E))上的延拓,我们有:

(第二Bianchi恒等式)DF=0

这是Riemann几何中第二Bianchi恒等式的一个推广。

以上讨论与其说是几何,不如说是简单的张量代数。但正如陈省身所言,很多时候做几何就是在挑选适当的代数结构。