瞬子的几何 Ⅲ

我们转向问题的代数几何层面,即研究满足如下条件的2阶全纯向量丛E \to \Bbb CP^3

(1)c_1[E]=0(SU(2)丛的拉回),拓扑量子数k=c_2[E]>0

(2)\Bbb CP^3上有实结构j。我们要求E在每条实直线(\pi^{-1}(pt)=\Bbb CP^1)上的限制是平凡的(作为纤维化\pi的拉回),且j可提升为E上的辛结构\tilde j\tilde j^2=-1

先讨论属于全纯范畴的(1)。满足(1)的向量丛俯拾皆是,一个常用的化简是将c_2[E]>0替换为更强的H^0(E)=0,这样的E称为稳定向量丛(这一概念有诸多等价定义,例如,从几何不变量理论看,稳定向量丛到自身的满同态是平凡的,等等。我们仅取对当下讨论最方便的一种特殊情况)。(2)中的平凡性条件保证由瞬子解拉回得到的E是稳定的。丸山正树(Masaki Maruyama)证明了具有给定c_1c_2的稳定向量丛的参模空间是拟代数簇的并。这可以视为Atiyah等人的瞬子参模定理的特例。我们不再深入相关的结果,而是推荐一篇综述:

Hartshorne  Stable vector bundles and instantons

下面看属于实代数几何/微分几何范畴的(2)。此处我们有经典的Horrocks构造。具体地说,\pi:\Bbb CP^3 \to S^4可以理解为\Bbb R^8的2种射影约化:视为\Bbb C^4\Bbb H^2。考虑平凡丛W=\Bbb R^8 \times \Bbb C^kV=\Bbb R^8 \times \Bbb H^{k+1}及满秩丛同态A: W \to V。左乘j赋予V以辛结构,我们进一步要求(1)纤维U_x=A(W_x)迷向(U_x \subset (U_x)^0)且A对于x是线性的:此时(U_x)^0/U_x是一个2维辛空间,相应的2阶向量丛可投射为\Bbb CP^3上的SL(\Bbb C,2)丛。

E在实直线上的平凡性需要稍细致一点的分析。一个经典结果(例如,Grothendieck, 1957)指出\Bbb CP^1上的2阶全纯向量丛有形式L^{k_1} \oplus L^{k_2}L典范线丛。因而E由第一Chern数的组合(k_1,k_2)完全确定。此外,我们知道k_1+k_2=0。然而,(k_1,k_2)仅仅是x下半连续函数E在某条射影直线上的平凡性不能延拓到整个代数簇,而只能延拓到“一般位置”。(k_1,k_2) \neq (0,0)的例外射影直线称为跃变直线(jumping line),我们需要保证所有实直线都是非跃变的。这可以通过要求(2)j(A(x)w)=A(jx)\bar{w}来实现。

上述Horrocks构造在物理中的对应称为’t Hooft Ansatz. 它极其简单(只涉及线性代数)且优雅(规范变换由上述构造中VW的坐标变换给出)。Barth发现Horrocks构造依赖于8k-3个参数,与Atiyah等人的结果相比较,自然会猜想它是否已完备描述了模空间\mathcal{M}(S^4)。在仔细研究过上述构造后他证明了:所有满足(2)且进一步满足(3)H^1(\Bbb CP^3, E \otimes L^{-2})=0的2阶全纯向量丛E均由Horrocks构造给出。

Barth, Hulek  Monads and moduli of vector bundles

另一方面,Penrose利用Bochner技巧证明了上述消没条件(3)对于所有由瞬子解拉回而得的E成立:H^1(E(-2))对应S^4上Laplace方程(\triangle+R/6)f=0的解空间。

Penrose  Zero rest-mass fields including gravitation: asymptotic behaviour

结合上述两个方面,Atiyah, Drinfeld, Hitchin以及Manin得以证明Horrocks构造(代数几何范畴)在S^4上的对应:ADHM构造(微分几何范畴)的确给出了S^4上精确到规范等价类的所有瞬子。换言之,\mathcal{M}(S^4)有一个纯线性代数构造。

Atiyah, Drinfeld, Hitchin, Manin  Constructions of instantons

上述构造可以推广到SU(n)乃至一般的典型群。此处不赘。

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瞬子的几何 Ⅱ

关于本节的内容,一个初等而富有启发性(针对物理学家)的叙述见

Atiyah  Geometry of Yang-Mills Fields

\Bbb R^4上的BPST瞬子(G=SU(2)k=1)是瞬子的第一个例子:

Belavin, Polyakov, Schwartz, Tyupkin  Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations

由于星算子共形不变,可以将\Bbb R^4球极投影到紧致的S^4中研究。由Uhlenbeck的结果,能量有界的规范场总可以光滑延拓到S^4上。为了找到\Bbb R^4上的所有瞬子,只需完全分类S^4上的瞬子。这项工作由Atiyah, Hitchin和Drinfeld, Manin两组数学家独立完成。

以下将讨论S^4上的ASD瞬子。此时拓扑量子数k(第二Chern数)给出SU(2)丛(精确到同伦等价类的)分类。对于给定的k,所有ASD瞬子构成一个8k-3维模空间。

ADHM构造利用了从微分几何到代数几何的“迁移”。关键的部件是Penrose的扭量理论

直观性介绍:Penrose, Hadrovich  Twistor Theory

技术性介绍:Hadrovich  Twistor Primer

\Bbb H^2中的单位球在模去Sp(1)的作用后给出\Bbb HP^1=S^4,从而给出Hopf纤维化S^3 \hookrightarrow S^7 \twoheadrightarrow S^4(1)。基于另一个Hopf纤维化S^1 \hookrightarrow S^3 \twoheadrightarrow S^2(2),(1)可以进一步“分解”为S^1 \hookrightarrow S^7 \twoheadrightarrow \Bbb CP^3(3)和S^2\hookrightarrow\Bbb CP^3\twoheadrightarrow S^4(4)。

(4)是扭量理论的简单例子,它是紧化时空S^4上局部复结构的参数化。

上述构造可以一般化。在Lie代数的层面,\Omega^2作为斜共轭矩阵作用在\Omega^1上。在Lie群的层面,我们可以定义复旋子丛V=S(\Omega^1_\Bbb C)及其分次V=V_++V_-。通过Clifford乘法,\Omega^1 \subset \Omega^1_\Bbb C=\mathrm{Hom}(V_+,V_-)V_+上定义了一个殆复结构,局部殆复结构可以用射影空间(PV_+)_x来参数化。纤维化\pi:PV_+ \to M推广了\pi:\Bbb CP^3 \to S^4

回到S^4。我们有2个(局部)分解:\Omega^2=\Omega^{2,0}+\Omega^{1,1}+\Omega^{0,2}\Omega^2=\Omega^++\Omega^-。不难证明\Omega^- \subset \Omega^{1,1}。给定SU(2)E \to S^4,我们考虑其在\Bbb CP^3上的拉回\pi^{*}:(E,\omega) \to (\tilde E,\tilde \omega)。若\omega为ASD形式则\tilde \omega(1,1)形式,利用Newlander-Nirenberg定理可以在\tilde E上定义唯一的与曲率形式\tilde \omega相容的全纯向量丛结构。

Griffiths  The extension problem in complex analysis Ⅱ: embeddings with positive normal bundle

事实上由GAGA原理,可进一步取\tilde E为代数丛(即取拼接函数为有理函数)。

我们称复代数簇V上的反线性对合映射实结构,这是实代数几何中的标准术语。除了标准实结构(复共轭)外,P\Bbb C^3还有另一个实结构j:视\Bbb C^4=\Bbb H^2并考虑j的左作用。这个实结构与纤维化\pi相容:在\Bbb HP^1上平凡并保持纤维\Bbb CP^1。事实上j在每根纤维上的限制给出对跖映射。我们进而将j提升为\tilde E上的辛结构\tilde j\tilde{j}^2=-1

现在我们可以叙述最重要的结果:

(Penrose变换/Ward对应)带有ASD形式\omegaSU(2)E \to S^4一一对应于带有辛结构\tilde{j}的全纯向量丛\tilde E \to \Bbb CP^3。显然,这一对应保持量子数k=c_2

Atiyah, Ward  Instantons and algebraic geometry

如上所述,对ASD形式的研究现已转化为一个复代数几何问题。接下来我们讨论如何构造\Bbb CP^3上满足上述条件的全纯向量丛。

瞬子的几何 Ⅰ

瞬子(伪粒子)是一个来自量子场论的概念。在经典层面上,它对应Yang-Mills方程的一类特殊解。下面这篇论文为相应的数学理论奠定了基础,也是本文的主要参考材料:

Atiyah, Hitchin, Singer  Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry

考虑4维可定向紧Riemann流形M。给定紧半单Lie群G,以EM上的G向量丛。联络形式(规范势)A \in \Omega^1(M,\mathfrak{g}),曲率形式(规范场)F \in \Omega^2(M,\mathfrak{g})。4维的特殊之处在于作为2形式空间自同构的Hodge星算子满足**=1,从而给出特征子空间分解\Omega^2=\Omega^{+}+\Omega^{-}。这个基本分解也给出1)d_A^\pm:\Omega^1 \to \Omega^\pm;2)b_2=b_{+}+b_{-}

\Omega^2可视为作用在\Omega^1上的斜共轭变换。从表示论的观点看,基本分解\Omega^2=\Omega^{+}+\Omega^{-}的存在可以用\mathfrak{so}(n)中仅有\mathfrak{so}(4)不是单Lie代数来解释:\mathfrak{so}(4)=\mathfrak{so}(3)\oplus \mathfrak{so}(3)。在Lie群层面上,例外同构\mathrm{Spin}(3)=SU(2)给出\mathrm{Spin}(4)=SU(2) \times SU(2)SU(2)丛和SO(3)丛是我们的主要例子,在单连通的M上二者没有本质区别。

满足F=F^{+}F=F^{-}的曲率形式(瞬子)分别称为自对偶的(SD)和反自对偶的(ASD):它们将自动满足Yang-Mills方程d_A^* F=0。注意到反转定向后,SD解与ASD解互换,故只需集中精力研究其中一类。我们将视情况方便自由转换:通常,在实几何中考虑前者,在复几何中考虑后者,以保持下面提到的拓扑量子数k > 0

\mathfrak{g}值2形式空间上定义内积(A,B)=-\int_M \mathrm{tr}(A \wedge *B)。由Chern-Weil理论(F,*F)=\parallel F_+ \parallel^2-\parallel F_- \parallel^2=8\pi^2 k。量子数kM的拓扑不变量:G=SU(2)时,k=-c_2[E]G=SO(3)时,k=p_1[E]/4。另一方面,规范场的Yang-Mills泛函(能量)YM(A)=\parallel F \parallel^2/2=(\parallel F_+ \parallel^2+\parallel F_- \parallel^2)/2,当且仅当*F={\mathrm{sgn} (k)}F时取到最小值4\pi^2|k|,换言之,瞬子对应规范场的“基态”。

这也说明了离散量子数产生的一般机制:它们来自紧Lie群的表示。

M上的Yang-Mills联络构成一个无穷维仿射空间\mathcal{A},其上有规范群\mathcal{G}=\Gamma(\mathrm{Aut}(E))的作用。\mathcal{A}/\mathcal{G}通常是一个无穷维参模空间。然而,注意到在规范变换下F \mapsto s^{-1}Fs,作为Yang-Mills泛函极值点的瞬子是规范不变的。模去群作用后,瞬子的参模空间\mathcal{M}通常是有限维的,从中可以提取出重要的几何信息。

以下假定c_2[E] < 0/p_1[E] > 0并考虑SD瞬子。称瞬子为不可约的,若联络的结构群不可约化为G的子群。所有不可约联络\mathcal{M}_0构成参模空间\mathcal{M}的开子集。Atiyah等人考虑得更细致一些:记H_A^1=\ker d_A^{-}/\mathrm{Im} d_A。假定\mathcal{M}_0 \neq \emptyset,不可约SD瞬子的无穷小形变将由\dim H_A^1个参数给出。利用Banach空间上的反函数定理可以说明经由指数映射这些无穷小形变将生成局部坐标系,这赋予\mathcal{M}_0一个有限维Hausdorff流形结构。更精确的,利用指标定理可以决定\dim H_A^1=8k-3(1-b_1+b_+)

上述精彩讨论仍有2处“瑕疵”:

1)预先假定了不可约SD联络的存在性。一般地,我们自然希望知道何时存在G向量丛E使得\mathcal{M}_0 \neq \emptyset。一个直观上容易接受的充分条件是b_{-}=0

Taubes  Self-dual Yang-Mills connections on non-self-dual 4-manifolds

不妨假定M是单连通的(否则考虑其万有覆叠)。此时H_2(M)无挠,相交形式Q\Bbb Z上的幺模对称二次型。b_{-}=0意味着Q \otimes \Bbb R正定。号差\tau=b_{+}-b_{-}=b_2 \geq 0推出p_1[M] \geq 0。特别地,b_2(S^4)=0,故S^4上存在SD瞬子并构成一个8k-3维空间。此时甚至有一个给出所有瞬子的代数构造。这是我们接下来要讨论的内容。

2)避开了\mathcal{M}的奇点(可约联络)。第一个仔细分析这些奇性的是Donaldson,由此他发现微分结构对4维单连通紧流形的相交形式加上了很强的限制。另一方面,Freedman对换球术的改进显示4维拓扑流形对相交形式的要求是相当宽松的。这种尖锐对比使得他能够证明\Bbb R^4上存在不可数多个微分结构。这当然也是我们希望讨论的内容。

Uhlenbeck与4维流形的规范场论

我们介绍4维几何中的2个基本分析结果。除Uhlenbeck的原始论文外,我们还参考了

Donaldson, Kronheimer  The Geometry of Four-Manifolds

我们将讨论可定向Riemann流形M^4。取n阶向量丛E \to M,要求其结构群G \subset \mathrm{SO}(n)。约定以A记联络形式,F记曲率形式。在规范变换s:M \to G下,A\mapsto \tilde A=s^{-1}ds+s^{-1}AsF \mapsto s^{-1}Fs 。选取适当的规范经常可以简化计算:这类似于在Riemann几何中选取适当的局部坐标系。

在以下讨论中,我们要求A为Yang-Mills联络,即F满足Yang-Mills方程D^*F=0

\Bbb R^4外,S^4也是物理上重要的4维流形:\Bbb R^4上的速降函数将自然地延拓到S^4S^4的优点在于它是紧致的:通过球极投影\phi:S^4-\{\infty\} \to \Bbb R^4可将其视为\Bbb R^4单点紧化。更理想的是\phi是一个共形映射,因而保持一系列几何性质。对我们来说,最重要的是Hodge星算子(从而Yang-Mills方程)是共形不变的。这提供了共形场论的一个玩具模型

一个自然的问题是除了速降场之外,还有哪些\Bbb R^4上的Yang-Mills场可延拓至S^4

(Uhlenbeck)B^4-\{0\}上满足\parallel F\parallel_2<\infty的三元组(E,A,F)均可光滑地延拓到整个B^4上。注意到B^4是可缩的,E事实上是平凡的。

\phi^{-1}(B^4)是一个半球面,利用2个这样的半球面可以覆盖S^4。上述Uhlenbeck定理对应的物理陈述是:总能量有界的Yang-Mills场在无穷远处有可去奇点

Uhlenbeck  Removable singularities in Yang-Mills fields

在上述定理的证明中,Uhlenbeck利用了所谓的指数规范(exponential gauge)/径向规范(radial gauge),其在正则极坐标系下的径向分量A_r=0

另一种常用规范是Coulomb规范d^*A=0。它是Lorenz规范的Riemann几何对应。

Maxwell理论中,规范变换有形式A \mapsto A-id\chi。此时F=dA,Yang-Mills方程退化为线性椭圆方程d^*F=0。由Fredholm择一定理,这正是存在\chi使得\tilde A成为Coulomb规范的充分必要条件,换言之,无源电磁场总有一个伴随的Coulomb势。

对于高维非交换Lie群G,Yang-Mills方程的非线性、非椭圆性将带来本质困难。我们将暂时牺牲解的正则性,转而考虑Sobolev空间W^s=W^{s,2}并允许AF和规范变换s为de Rham意义下的。此时可以证明Coulomb规范的局部存在性:

(Uhlenbeck)存在常数C_1C_2使得对于平凡丛E \to B^4上满足\parallel F\parallel_2 <C_1的联络A,有且仅有一个规范等价的Coulomb联络\tilde A\parallel \tilde A\parallel_{1,2} \leq C_2\parallel F\parallel_2,且\tilde A在趋近边界时趋于0。

Uhlenbeck  Connections with L^p bounds on curvature

由于d^*\tilde A=0,我们知道上述\tilde A实际上是光滑的。

Coulomb联络的作用类似于Riemann几何中的调和坐标系

K. Uhlenbeck (1942- )

Karen Uhlenbeck无疑是一位特出的女数学家。在4维几何的几位主要研究者中,Donaldson继承了Atiyah的几何风格,Witten以惊人的物理直觉见长,而Taubes和Uhlenbek则以深厚的分析功力著称。