Weierstrass定理:从局部到整体 Ⅱ

我们从研究局部环\mathcal{O}_n的代数性质开始。基本思路和研究多项式环时一致:对n归纳。

(1)\mathcal{O}_n是整环。从“全纯”的观点看,这是局部刚性的简单推论;从“解析”的观点看,这是简单的形式幂级数代数。

下面一律采用“解析”的观点。我们将利用Weierstrass定理把解析问题化归为代数问题。

(2)\mathcal{O}_n是唯一分解整环。由预备定理,只需分解Weierstrass多项式h,而由归纳假设和Gauss引理知\mathcal{O}_{n-1}[z_n]是唯一分解整环。

(3)\mathcal{O}_n是Noether环。由预备定理,不妨假设f \in \mathfrak{A}是Weierstrass多项式。由除法定理,\forall g \in \mathfrak{A}g=hf+rr \in \mathfrak{A}\cap\mathcal{O}_{n-1}[z_n]。由归纳假设和Hilbert基定理知\mathcal{O}_{n-1}[z_n]是Noether环,因而\mathfrak{A}\cap\mathcal{O}_{n-1}[z_n]是有限生成理想,进一步加入生成元f后即可有限生成\mathfrak{A}

这部分内容的代数类比:Drei Sätze von Hilbert Ⅰ

关于有限生成的\mathcal{O}_nM。由(3)知以下3个概念等价:自由模=射影模=平坦模。

解析Hilbert合系定理的如下局部版本成立:M允许一个长度至多为n+1的自由消解0 \to M \to M^{*}

这部分内容的代数类比(整体情形):Drei Sätze von Hilbert Ⅳ

考虑原点处解析子集的芽\mathfrak{V}_n。与代数子集的情况类似,我们仍可定义\mathcal{O}_n的理想与\mathfrak{V}_n间的映射VI。称X \in\mathfrak{V}_n属于某个解析簇,若X=V(\mathfrak{P})\mathfrak{P}是某个素理想。我们有解析Hilbert零点定理\mathfrak{P}=I(V(\mathfrak{P})),换言之,(4)\mathcal{O}_n是Jacobson环。

现在过渡到整体情形。称X\subset U \subset \mathbb{C}^n为解析集,若\forall z \in X,存在邻域U_z使得X \cap U_z \in \mathfrak{V}_{z,n}。 不可约解析集称为解析簇。显然,解析簇是仿射簇/仿射概型在解析范畴中的对应。同样的,X有一个伴随结构层\mathcal{O}_X,而范畴论方面的所有考虑都可以应用于赋环空间(X,\mathcal{O}_X)及其间的态射。

这部分内容的代数类比:Drei Sätze von Hilbert Ⅱ

解析簇的维数理论与代数簇完全类似。我们同样可以基于切空间的维数定义正则点和奇点。非奇异解析簇即熟知的解析流形(基域为\Bbb C时,复流形)。同样的,我们可以考虑奇点消解:在解析簇的双亚纯等价类中是否总能找到非奇异簇?这个问题的肯定回答由冈洁给出。

解析簇的整体化(同时也是概型在解析范畴中的对应)称为解析空间。值得注意的是,复射影空间的解析子簇并未给出“射影解析簇”之类的新对象:由周炜良定理,“射影解析簇”正是“射影代数簇”。这是所谓GAGA型定理的一个特出例子。

Serre  Géométrie algébrique et géométrie analytique (See also the English version here)

对解析空间的研究在很大程度上启发了对概型的研究。例如,可以对比Gunning, Rossi和

Grothendieck  Éléments de géométrie algébrique

这部分内容的代数类比:Drei Sätze von Hilbert Ⅲ

Weierstrass定理:从局部到整体 Ⅰ

这个系列是Drei Sätze von Hilbert的姊妹篇,我们从代数几何转向对多复变函数论与解析几何的讨论。基本的参考书是

Gunning, Rossi  Analytic Functions of Several Complex Variables

Griffiths, Harris  Principles of Algebraic Geometry

原始文献方面,冈洁的10篇文章奠定了整个领域的现代基础:

Oka  Collected Papers

多复变函数的局部理论在很大程度上平行于单复变函数。

给定开集U \subset \mathbb{C}^n上的复函数f \in C^\infty(U),(1)称f为全纯函数,若f满足Cauchy-Riemann方程组\bar{\partial} f=0; (2)称f为解析函数,若\forall w \in Ufw附近有级数展开f(z)=\sum a_{v_1 \cdots v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\cdots(z_n-w_n)^{v_n}

关于光滑性条件。由椭圆算子理论知(1)中f的光滑性条件可以大大放宽,例如,放宽到f \in L^2(U):这推广了经典的Goursat定理。与(2)相关的是Hartog定理:若f对每个变元z_i都是解析的,则f \in C(U)。进一步由Osgood引理知fU中解析。

(1)(2)等价:解析函数显然是全纯的;另一方面,单变元全纯函数是解析的,利用Hartog定理和Osgood引理不难过渡到多变元的情形。记U上的全纯/解析函数层为\mathcal{O}_U

“全纯”和“解析”是研究函数论的2种主要观点:代表人物分别是Cauchy和Weierstrass。“全纯”观点应用了许多强力的超越工具,因而与\mathbb{C}不可分离,而“解析”观点则基本上是代数的:同样的工具往往自动适用于形式幂级数f \in K[[z_1,\cdots,z_n]]

属于“全纯”范畴的工具包括(1)Cauchy积分公式:

\displaystyle \partial^{k_1,\cdots,k_n}f(z)=\frac{(k_1!)\cdots(k_n!)}{(2\pi i)^n}\int_{|w_j-\zeta_j|=r_j}\frac{f(\zeta)d\zeta_1\cdots d\zeta_n}{(\zeta_1-z_1)^{k_1+1}\cdots(\zeta_n-z_n)^{k_n+1}}

(2)调和函数:最大模原理,局部刚性以及Schwarz引理。

(3)泛函分析:在紧致开拓扑下,\mathcal{O}_U\mathcal{C}_U的闭子环;对于E \subset \mathbb{C}^n\bar{E}紧致,限制映射r_{ED}:\mathcal{O}_D \to \mathcal{O}_E是紧映射。

下面我们建立2个属于“解析”范畴的工具。以\mathcal{O}_nn变元解析函数层在原点处的芽层。称f \in \mathcal{O}_n对于z_nk阶正则,若视fz_n的单变元函数时其在原点处有k阶零点。我们称\mathcal{O}_{n-1}[z_n]中的首一多项式为Weierstrass多项式。

(Weierstrass预备定理)若f \in \mathcal{O}_n对于z_nk阶正则,则有且仅有一个k次Weierstrass多项式h \in \mathcal{O}_{n-1}[z_n]使得f=ghg\mathcal{O}_n中的单位元。

(Weierstrass除法定理)给定k次Weierstrass多项式h \in \mathcal{O}_{n-1}[z_n]f \in \mathcal{O}_n可唯一表示为f=gh+rg \in \mathcal{O}_nr \in \mathcal{O}_{n-1}[z_n]的次数小于k

变奏1:这2条定理在形式幂级数范畴下的类比当然成立。

变奏2:这2条定理在光滑函数范畴下的类比称为Malgrange预备定理和Mather除法定理。从解析范畴到光滑范畴的过渡是标准的:借助Fourier变换。

Hörmander  The analysis of linear partial differential operators I