有理域上的代数曲线 参考文献

我们仍用参考文献来补充技术细节。

第1章

以下著作是Grothendieck工作的标准入门书

Hartshorne  Algebraic geometry

作为交换代数中的常用手段,局部化和完备化的性质可参考

Atiyah, MacDonald   Commutative algebra

代数数论与类域论方面的2部经典著作是

Weil  Basic number theory

Artin, Tate  Class field theory

第2章

Hurwitz亏格公式及Fermat曲线亏格的计算参见

Lang  Introduction to algebraic and Abelian functions

Faltings的工作可以参考1983年他发表在Inventiones Mathematicae上的论文

Faltings  Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern

第3章

本章基本上是对Serre  A course in arithmetic的摘录

第4章

本章的主要内容可以在下列著作中找到

Silverman The arithmetic of elliptic curves

Knapp Elliptic curves

Siegel定理参见

Lang  Fundamentals of Diophantine geometry

下面的讲稿阐述了Nevanlinna理论与Roth定理的关系

Vojta  Diophantine approximations and value distribution theory

第5章 第6章

以下是一本讨论Abel簇的名著

Mumford  Abelian varieties

Mordell-Weil定理的证明取自Serre  Lectures on the Mordell-Weil theorem

以及Mumford书后由Manin撰写的附录Ⅱ Mordell-Weil theorem

此外所需的基础结果都可以在Lang中找到。

Weil对“无穷递降法”的提炼可参见

黑川信重,栗原将人,斋藤毅  数论I:Fermat的梦想和类域论   印林生,胥铭伟 译

第7章

尖点和节点的示意图取自Silverman

局部域上的椭圆曲线同样可以参看该书的论述

关于谷山-志村猜想和Fermat大定理,我们参考了

黑川信重,栗原将人,斋藤毅  数论II:岩泽理论和自守形式   印林生,胥铭伟 译

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有理域上的代数曲线 Ⅶ

作为这个系列的谢幕,我们回到1维,介绍椭圆曲线研究中最激动人心的近代结果。

假定\mathfrak{E}\mathbb{Q}_p上的椭圆曲线。v: \mathbb{Q}_p \to \mathbb{Z}表示\mathbb{Q}_p上的离散赋值。赋值的离散性允许我们选取一类“极小”方程代表\mathfrak{E}。具体地说,通过适当的坐标变换可以让方程的系数\in \mathbb{Z}_p。此时v(\triangle) \geq 0,使v(\triangle)取到极小值的方程称为\mathfrak{E}的极小Weierstrass模型。

\mathbb{Z}_p \to \mathbb{Z}_p/p\mathbb{Z}_p=\mathbb{F}_p作用于\mathfrak{E}的极小Weierstrass模型,得到有限域\mathbb{F}_p上的曲线\mathfrak{E}_p,这称为椭圆曲线的约化。约化后的\mathfrak{E}_p可能带有奇点,但常点\mathfrak{E}_p^{*}仍构成Abel群。

v(\triangle)=0,则\mathfrak{E}_p是椭圆曲线,这时称约化为好的,否则为坏的。坏约化又可以根据奇点的性质分为:乘法约化,此时奇点是节点(右图);加法约化,此时奇点是尖点(左图)。

乘法约化在奇点处带来2条切线。若两条切线的斜率均属于\mathbb{F}_p,则此乘法约化称为分裂的,否则称为非分裂的。

\mathbb{F}_p上的曲线\mathfrak{E}_p,定义L_p(T)如下:对加法约化,L_p(T)=1;对分裂的乘法约化,L_p(T)=1-T;对非分裂的乘法约化,L_p(T)=1+T;对好约化,L_p(T)=1-a(p)T+pT^2,其中a(p)=p+1-|\mathfrak{E}_p(\mathbb{F}_p)|

以上定义是纯形式的。事实上L_p(T)反应了\mathfrak{E}_p的性质:L_p(1/p)=|\mathfrak{E}_p^{*}(\mathbb{F}_p)|/p。若\mathfrak{E}_p是椭圆曲线,这个等式对应Weil猜想

现在转回对整体域的讨论。\mathbb{Q}上的椭圆曲线\mathfrak{E}在每个p处均有相应的约化。若\mathfrak{E}没有加法约化,则称其为半稳定的。采用这个术语的原因是加法约化将在基域扩张下消失:

\mathbb{Q}上的椭圆曲线\mathfrak{E},存在数域K使得\mathfrak{E}K上的半稳定椭圆曲线(即在K的所有位上\mathfrak{E}的约化都是好的或乘法的)。

“局部-整体”原理在亏格大于0的代数曲线上不再成立。作为替代,可以将各个局部的信息集合成Hasse-Weil L函数L_{\mathfrak{E}}(s)=\prod_{p} L_{p}(p^{-s})^{-1}

v(\triangle) \neq 0等价于p|\triangle,故坏约化仅有有限个,上述Euler积收敛与否取决于a_p。通过估计|\mathfrak{E}_p(\mathbb{F}_p)|,Hasse证明了|a(p)| \leq 2\sqrt{p},从而L_{\mathfrak{E}}(s)Re(s)>\frac{3}{2}收敛。

收敛区域内的Euler积也可写为Dirichlet级数\sum a(n) n^{-s},此处a(n):\mathbb{N} \to \mathbb{Z}是由a(p)扩充而成的积性函数:对加法约化,定义a(p^m)=0;对分裂的乘法约化,定义a(p^m)=1;对非分裂的乘法约化,定义a(p^m)=(-1)^{m+1};对好约化,定义a(p^m)=a(p)a(p^{m-1})-pa(p^{m-2})

将上述讨论与Ramanujan猜想进行对比是有趣的。

类比Riemann \zeta函数,一个自然的猜想是L_{\mathfrak{E}}(s)可以解析延拓到整个复平面。截至上世纪90年代,仅对带有复乘的椭圆曲线(Deuring, Weil)和模椭圆曲线(Eichler, Shimura)证实了此猜想:这意味着Birch和Swinnerton-Dyer在提出他们的著名猜想时,甚至不知道是否所有的L_{\mathfrak{E}}(s)都在s=1处有定义!

突破来自于对Taniyama-Shimura猜想的研究。这一猜想可以粗略地叙述为:所有椭圆曲线都是模曲线。更精确地说,\sum a(n)e^{2n\pi iz}是对应于某个同余子群的权为2的自守形式。这一对应是Langlands纲领的特例。

1994年,Wiles对半稳定的椭圆曲线证明了Taniyama-Shimura猜想。由于86年Frey在假定Fermat大定理不成立的情况下构造出了违背Serre \epsilon猜想及Taniyama-Shimura猜想的半稳定椭圆曲线,而Serre \epsilon猜想已于89年被Ribet证明,Wiles的结果推出Fermat大定理

A.Wiles(1953-  )

2001年,基于Wiles方法,Breuil, Conrad, Diamond和Taylor完全证明了Taniyama-Shimura猜想(模定理)。与Eichler, Shimura的结果相结合,这也解决了L_{\mathfrak{E}}(s)的解析延拓问题(甚至证明了此情况下的Riemann猜想)。

有理域上的代数曲线 Ⅵ

考虑Abel簇X,本节的目标是证明Mordell-Weil定理:Abel群X(K)是有限生成的。为此所需的另一个“基本原件”是

(弱Mordell-Weil定理)\forall n>1X(K)/nX(K)是有限群。

事实上我们有如下结果:K(n^{-1}X(K))/K是有限扩张。由此不难推出弱Mordell-Weil定理:记此扩张的Galois群为G,考虑同态X(K) \to \mathrm{Hom}(G, X_n)x \mapsto f_xf_x(g)=(g-id)(n^{-1}x)。不妨假定X上所有n阶点生成的群X_n \subset X(K)(否则考查X_n \cup X(K)),从而上述同态的定义不依赖于n^{-1}x的具体选取。同态核为nX(K),从而诱导嵌入X(K)/nX(K) \to \mathrm{Hom}(G,X_n),由G的有限性推得X(K)/nX(K)的有限性。

为证明上述结果,我们引用代数数论和代数几何中2条(远为一般的)有限性定理:

(Hermite)给定数域K的有限集S和正整数n,仅有有限多个Kn阶循环扩张使得所有分歧点都包含在S中。这是Dirichlet单位定理的推论。

(Chevalley-Weil)若VW是定义在K上的射影簇,\pi:W \to Vd平展态射,则存在位的有限集S满足:给定p \in V(K),存在扩张域K^{'}q \in W(K^{'})使得\pi(q)=p[K^{'}:K] \leq dK^{'}/K的所有分歧点都包含在S中。

现取态射\pi_n:X \to X, x \mapsto nx,由Hermite定理知仅有有限个K^{'}满足Chevalley-Weil定理,从而推出K(n^{-1}X(K))/K是有限扩张。

下面来“组装”2个原件。

X(K)/nX(K)的代表元系x_1,\cdots,x_s及充分大的C使得若\langle x,x \rangle \geq C\langle x-x_i,x-x_i \rangle < 2\langle x,x \ranglei=1,\cdots,s

M=\{x_1,\cdots,x_s\}\cup\{x\in X(K):\langle x,x \rangle < C\},我们证明有限集MX(K)的生成元。否则,在所有无法由M生成的元素中挑出使得\langle x,x \rangle最小的x。设x-x_k=ny,则y也无法由M生成。另一方面,

\displaystyle \langle y,y \rangle=\frac{1}{n^2}\langle x-x_k,x-x_k \rangle <\frac{2}{n^2}\langle x,x\rangle < \langle x,x \rangle,矛盾。

至此Mordell-Weil定理得证。

历史注记

利用椭圆曲线的弱Mordell定理(\mathfrak{E}(\mathbb{Q})/2\mathfrak{E}(\mathbb{Q})是有限群)来证明Mordell定理(在当时仍是“Poincaré猜想”)是Mordell本人采取的途径。这对后来的发展有决定性的影响。

在“组装”的过程中,我们用到了Fermat的“无穷递降法”。Weil指出,经典的无穷递降法之所以有力,原因在于存在这样的现象:椭圆曲线的2倍映射\pi_2将使Néron-Tate高度急剧增大4倍。一个经典的例子是Fermat曲线x^4+y^4=1上不存在有理点(由Fermat利用“无穷递降法”证明)对应椭圆曲线v^2=w^3-w上除(0,0)(\pm 1,0)之外不存在其它有理点(利用2倍映射结合高度的性质证明)。

有理域上的代数曲线 V

Mordell-Weil定理的历史重要性(部分)在于其证明首次引入了算术几何的核心概念:高度

(A)射影空间

|x|_vx \in K在素点v处的赋值。整体上,我们有互反律

\displaystyle \sum_v \lambda_v \log |x|_v=0,此处\lambda_v=[K_v:\mathbb{Q}_v]

x=(x_0,\cdots, x_n) \in K^{n+1},定义\displaystyle h(x)=\frac{1}{[K:\mathbb{Q}]}\sum_v \lambda_v\sup_i( \log|x_i|_v)

互反律说明h(\lambda x)=h(x)\forall \lambda \in K^{*},故h可视为定义在射影空间P^n(K)上的函数,h(x)称为x \in P^n(K)的(对数)高度。

在不同的坐标系中,(h_1-h_2)(x)=O(1)O(1)P^n(\overline{K})上的有界函数。这允许我们忽略有界函数而(内蕴地)在等价类集\mathcal{H}(P^n)中考虑高度。

(Northcott定理 Ⅰ)\{x \in P^n(\overline{K}):h(x)\leq C, \mathrm{deg}K(x)\leq d\}为有限集,C>0d>0为常数。

(B)射影簇

V\overline{K}上的射影簇。态射\phi:V \to P^n对应可逆层\phi^{*}(\mathcal{O}_{P^k}(1)),并诱导高度h_{\phi}:V \to \mathbb{R}。不难证明若\phi_1\phi_2对应同一个可逆层,则h_{\phi_1} \sim h_{\phi_2}

Weil的如下定理常被称为“高度理论基本定理”:

以上述方式定义的映射\mathrm{Pic}(V) \to \mathcal{H}(V)\mathcal{L} \to h_{\mathcal{L}}满足

(同态性)h_{\mathcal{L}_1 \otimes \mathcal{L}_2} \sim h_{\mathcal{L}_1}+h_{\mathcal{L}_2}

(函子性)对态射f:V \to WW上的可逆层\mathcal{L}h_{f^{*} \mathcal{L}} \sim h_{\mathcal{L}} \circ f

反之若要求对V=P^nh_{\mathcal{O}(1)}退化为射影空间上的高度(平凡性),则可以证明满足平凡性、同态性和函子性的映射(函子)\mathrm{Pic}(V) \to \mathcal{H}(V)是唯一的。

(Northcott定理 Ⅱ)\{x \in V(\overline{K}):h_{\mathcal{L}}(x)\leq C, \mathrm{deg}K(x)\leq d\}为有限集,\mathcal{L}为某丰富线丛

(C)Abel簇

Abel簇X的附加群结构允许我们挑选出一个“最佳高度”(Néron-Tate高度):

在等价类h_{\mathcal{L}}中可找到唯一的代表元\hat{h}_{\mathcal{L}}:X \to \mathbb{R}为二次型(\langle \ ,\ \rangle:X \times X \to \mathbb{R}\langle x,y \rangle=\hat{h}_{\mathcal{L}}(x+y)-\hat{h}_{\mathcal{L}}(x)-\hat{h}_{\mathcal{L}}(y)为双线性映射,或者等价地,满足平行四边形法则\hat{h}_{\mathcal{L}}(x+y)+\hat{h}_{\mathcal{L}}(x-y)=\hat{h}_{\mathcal{L}}(x)+\hat{h}_{\mathcal{L}}(y))。

特别的,取对称的丰富线丛\mathcal{L}\langle x,x \rangle \geq 0,等号成立当且仅当x是有限阶点。这赋予X(K)一个伪度量空间结构。

(Northcott定理 Ⅲ)\{x \in X(K):\langle x,x \rangle \leq C\}为有限集。

这是Mordell-Weil定理的2个“基本原件”之一。

有理域上的代数曲线 Ⅳ

对数域K上的代数曲线\mathfrak{C},以\mathfrak{C}(K)\mathfrak{C}上的所有K-有理点。第3章说明了若\mathfrak{C}是二次曲线,则|\mathfrak{C}(K)|=0|\mathfrak{C}(K)|=\aleph_1,并有具体判则(Minkowski-Hasse定理)。现在我们考察K上的椭圆曲线\mathfrak{E}

环面(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^2有自然的Abel群结构。作为亏格为1的紧Riemann面,可以用其将椭圆曲线\mathfrak{E}:y^2=ax^3+bx^2+cx+d参数化,从而诱导一个Abel群结构。

如果将\mathfrak{E}嵌入到射影平面PK^2,则这个Abel群结构得到优美的几何解释:

1)\mathfrak{E}与无穷远直线的交点O是Abel群的零元;

2)对R=(x,y)-R=(x,-y)

3)对P,Q,过P,Q的直线与\mathfrak{E}交于第3点R,则P+Q=-R

O \in \mathfrak{E}(K),由以上几何构造及Viete定理不难说明\mathfrak{E}(K)是Abel群,称为椭圆曲线\mathfrak{E}的Mordell-Weil群。

1908年,Poincaré在论文中猜想\mathfrak{E}(\mathbb{Q})是有限生成的。Mordell证实了这一猜测。结合有限生成Abel群的结构定理,可以将结论叙述为:

(Mordell, 1922) \mathfrak{E}(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}^r \oplus GG为有限Abel群。

\mathfrak{E}(K)成立同样的结论。

L.Mordell (1888-1972)

通过将\Bbb Q嵌入\Bbb Q_p,可以证明\mathfrak{E}(\mathbb{Q})的挠元均为整点(Nagell-Lutz定理)。近代的重大进展是对\mathbb{Q}上的\mathfrak{E}决定了所有可能的G (Mazur, 1977):

(i)\mathbb{Z}/ n \mathbb{Z}1 \leq n \leq 10n=121

(ii)\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/ 2n \mathbb{Z}1 \leq n \leq 4

这个方向上已知的最佳结果是:存在仅取决于d的常数N,使得对任意d次数域KK上的任意\mathfrak{E}\mathfrak{E}上任意K-有理挠点的阶数均整除N2

r称为椭圆曲线的秩。我们对r的了解非常少。一个猜想是\mathbb{Q}上的\mathfrak{E}的秩可以任意大。这与Silverman猜想(以cs(k)记表k为立方和的方式数,Silverman猜想cs(k)可任意大)相关。在函数域\mathfrak{E}(\mathbb{F}_{q}(T))上的类比猜想已被Shafarevich和Tate证实。

此外,我们还有著名的Birch和Swinnerton-Dyer猜想:记L_{\mathfrak{E}}(s)K上椭圆曲线\mathfrak{E}的Hasse-Weil L函数,则r=\text{ord}_{s=1}L_{\mathfrak{E}}(s)。对r=0,1我们已有了肯定的结果(Kolyvagin, Wiles, Taylor etc.),r>1尚无进展。参见Wiles为这一Clay研究所千禧问题所作的官方介绍:

Wiles  The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

亏格g>1的曲线上没有群结构,因而需要引入新的想法考察\mathfrak{C}(\mathbb{Q})(Faltings, Vojta, etc.)。另一方面,作为椭圆曲线的高维类比,在Abel簇X上推广Mordell定理要相对容易一些。这是Weil博士论文的主题:

(Weil,1928) 对任意数域KX(K)是有限生成的Abel群。

我们将给出Mordell-Weil定理的一个现代证明。

最后我们简要地讨论一下和找寻有理点紧密相关的找寻整点问题。Pell方程理论提供了二次曲线上有无穷多个整点的例子。对亏格大于0的\mathfrak{C},应用Thue-Siegel-Roth定理于\mathfrak{C}的Jacobi簇,结合Mordell-Weil定理得到:

(Siegel, 1929) \mathfrak{C}上至多有有限多个点\in (O_K)^2O_KK的代数整数环3

特别地,\mathbb{Q}上亏格大于0的代数曲线上至多有有限个整点。椭圆曲线的情形是最重要的,因为在g>1时,已知更强的Mordell猜想成立。


  1. 反过来,由经典模曲线理论,定义在\Bbb {C}上的、有N阶挠元的椭圆曲线的模空间(moduli)为模曲线X_1(N)=\Gamma_1(N)\backslash \Bbb HX_1(N)有亏格0当且仅当1 \leq N \leq 10N=12,此时模曲线上有无穷多个有理点,也即,有无穷多条定义在\Bbb Q上的椭圆曲线拥有N阶挠元。 
  2. 当前研究的热点是此定理在Abel簇上的推广及其几何版本,参见
    Bakker, Tsimerman THE GEOMETRIC TORSION CONJECTURE FOR ABELIAN
    VARIETIES WITH REAL MULTIPLICATION 
  3. 算术几何的指导思想之一是考察Diophantine逼近与Nevanlinna理论的平行性。有趣的是,Siegel定理在Riemann面上的平行结果正是我们证明过的Picard定理:若\overline{S}是紧Riemann面,S \subset \overline{S}|\overline{S}/S|>2,则全纯的f:\mathbb{C} \to S必为常数。这一平行性的解释以及2个定理的高维推广,参见
    Levin  Generalizations of Siegel’s and Picard’s theorems 

有理域上的代数曲线 Ⅲ

我们将\mathbb{Q}_p\mathbb{R}=\mathbb{Q}_\infty通记为\mathbb{Q}_v

寻找二次曲线上的有理点是最古老的数论问题之一。具有整数边长的直角三角形对各大古文明来说都是神秘的对象。发现“勾三股四弦五”之后,一个自然的问题就是找出曲线x^2+y^2=1上的所有有理点。到Diophantus时代,这一问题已被希腊人完满地解决:所有有理点均有形式(\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2},\frac{2uv}{u^2+v^2})u,v \in \mathbb{Z}

一个有启发性的构造方法如下:考虑xy平面上的单位圆。(1,0)是圆上显然的有理点。取过(1,0)的割线u(x-1)+vy=0,由于斜率\in \mathbb{Q},与圆方程联立后我们得到一个有理系数的二次方程。由Viete定理,此直线与圆的另一个交点必然是有理点。反之,连接两有理点的直线,其斜率当然是有理数。因此用上述方法可以构造出所有有理点。

我们事实上已说明了如下事实:若\mathbb{Q}上的二次曲线上存在有理点,则存在无穷多个有理点,并可以显式构造出来。另一方面,例如曲线3x^2-y^2=1上就不存在有理点。故问题的关键在于对一般的二次曲线给出有理点存在的判则。

这一问题在18世纪由Legendre解决。我们用现代数论中“局部-整体”的语言叙述结果如下:ax^2+by^2=1\mathbb{Q}上有解当且仅当其在每个\mathbb{Q}_v上有解。

上述Legendre定理中的必要性是显然的:\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_{v}。回忆第1章中阐述过的与代数函数域的类比,这相当于说:每个代数函数从局部上看都是代数的。充分性则允许我们将局部的信息整合成整体的信息。这也为我们考虑数论问题提供了一个一般的思路:先在局部域中研究,再将局部域的结果整合到整体域中。

ax^2+by^2=1\mathbb{Q}_p上的求解归结于二次剩余的计算。一般地,若ax^2+by^2=1有解\in \mathbb{Q}_v^2,约定Hilbert符号(a,b)_v=1,否则(a,b)_v=-1。Hilbert符号是\mathbb{Q}_v^{*}/(\mathbb{Q}_v^{*})^{2}上的非退化双线性形式。整体上,Hilbert指出(a,b)_v=1几乎处处成立,且二次互反律等价于\prod_{v}(a,b)_v=1。这一类型的结果在形式上与Cauchy留数公式类似。

局部域之间也有不少类似的性质。利用这些相似性,我们可以把\mathbb{R}中的几何直观迁移到\mathbb{Q}_p的研究上。p-进分析往往比实分析更简单一些。例如,在\mathbb{R}的情形,Newton法是利用Taylor展开求方程近似解的有力工具。Hensel研究了Newton法的p-进类比,发现往往能够得到多项式方程的精确解。

在多变元的情形,我们有

(Minkowski)a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\dots+a_{n}x_{n}^{2}=1\mathbb{Q}上有解当且仅当其在每个\mathbb{Q}_v上有解。

我们进一步考虑两方面的推广。一方面,用数域代替\mathbb{Q},对其整数环的每个素理想考虑相应的局部域,Hasse证明了类似的“局部-整体”的结果仍然成立。这种“局部-整体”的思考方式也称为Hasse原理。

另一方面,对于高次曲线需要引入新的研究方法。例如,Selmer证明了3x^3+4y^3=-5在每个\mathbb{Q}_v上有解但在\mathbb{Q}上无解。下一章我们讨论高次曲线的一个重要特例:椭圆曲线。

有理域上的代数曲线 Ⅱ

本章是整个系列的纲领。此后提到数域K上的代数曲线\mathfrak{C}时,均假定\mathfrak{C}作为仿射曲线嵌入到仿射平面中。我们依据仿射坐标来谈论“整点”,“有理点”,等等。

我们已简要讨论过数域与复代数函数域的种种相似之处。由于我们主要采用代数描述,因而结论不仅对于复代数函数域成立,对于一般代数函数域也成立。我们特别关心的是\mathbb{Q}上的代数函数域及与之相伴的代数曲线上的有理点。这等价于研究Diophantine方程。

一个著名的例子是Fermat曲线x^{n}+y^{n}=1。数学家对其性质进行过大量考察,目标是证明当n>2时Fermat曲线上没有有理点。1994年,这一古老难题终于被Wiles解决,轰动一时。

我们将用亏格对代数曲线进行分类。紧Riemann面的亏格有很直观的解释:“洞”的个数。复代数曲线亏格的定义要抽象一点:记曲线上全纯微分构成的复线性空间为\mathfrak{H},则g=dim \mathfrak{H}。两种定义的一致性是Hodge定理的简单推论。另一种便于计算的定义方式是利用Hurwitz亏格公式,其将亏格与代数函数域域扩张的次数(对于Riemann面则是分歧覆叠的叶数)联系起来。不难算出Fermat曲线的亏格g=\frac{(n-1)(n-2)}{2}

根据万有覆叠空间的不同,我们将紧Riemann面分为g=0g=1g >13类来研究。类似的我们也将代数曲线分成3类:g=0g=1g >1

g=0的标准例子是2次曲线。对\mathbb{Q}上2次曲线\mathfrak{C}的有理点,我们有很完备的描述。首先,如果存在一个有理点p,所有经过p的斜率为有理数的直线与\mathfrak{C}的另一个交点必然仍是有理点,因而我们在\mathfrak{C}上找到了无穷多个有理点。有理点的存在性则是一个更加微妙的问题。中心结果是Minkowski-Hasse局部-整体定理。这涉及到\mathbb{Q}到p进域\mathbb{Q}_{p}的嵌入,我们将具体的讨论留到第3章。

g=1的标准例子是椭圆曲线\mathfrak{E}:y^2=ax^3+bx^2+cx+d,其中右端的3次方程没有重根。注意到g=1的紧Riemann面是环面,从而有自然的Abel群结构,通过参数化可以在\mathfrak{E}上引入Abel群结构。嵌入射影平面后,这一群结构有优美的几何解释。Poincaré在数论方面的工作不多,最重要的是他猜想\mathfrak{E}上的有理点是有限生成的Abel群。1922年,Mordell证明了这一事实,后世称之为Mordell定理。这一结果又被Weil进一步推广到对数域上的Abel簇成立。详细的讨论参见第4章。第5章和第6章将给出Mordell-Weil定理的证明。第7章讨论局部域上的椭圆曲线,及椭圆曲线的L函数。这是一个非常现代的课题,我们将遭遇Birch和Swinnerton-Dyer猜想以及Fermat大定理。

最后,对于g >1的曲线,Mordell猜想\mathfrak{C}上的有理点有限。这一猜想经久未决,成为这个领域的中心问题。1983年,时年仅29岁的Faltings利用Grothendieck发展的代数几何技术一举攻克了这一猜想,引起轰动。他也因此获得1986年度的Fields奖章。对这一成果我们无法深入讨论,而仅仅指出其在Fermat大定理方面的一个简单推论:对于n>3,Fermat曲线上至多有有限多个有理点。这是Fermat大定理研究中第一个对所有整数成立的结论(n=3的情形早在Euler时代已经了解)。Faltings的贡献由此可见一斑。

G.Faltings (1954- )

目前研究的热点是代数簇V上的有理点。例如,在Mordell猜想的基础上,Lang进一步猜想一般的双曲代数簇V上仅有有限个有理点。这方面的研究已发展成一个独立的领域,称为算术几何或Diophantine几何。