# 从模函数到单值化定理 参考文献

Wikipedia   在互联网时代，它为每个人提供了成为半吊子专家的机会。

Ahlfors   Complex analysis : an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable

Shafarevich  Basic algebraic geometry Vol.2

Siegel  Topics in complex function theory

Serre  A course in arithmetic

Gunning   Lectures on modular forms

Montel正规性判则对亚纯函数的推广常被称为Marty正规性判则。

Doburovin, Fomenko, Novikov   Modern geometry: method and applications  Vol.2

Picard定理的微分几何证明可参考李忠的书，或龚昇  简明复分析

Poincaré举出的高维Riemann映射定理的反例也可以参见此书。

Hadamard  The psychology of invention in the mathematical field

http://mathworld.wolfram.com/JacobiThetaFunctions.html

Mumford   Tata lectures on Theta

2维拓扑流形有微分结构的证明见Hirsch  Differential topology。

2维微分流形有局部复结构的证明见Hicks  Note on differential geometry。

Serre的书短小精悍，致力于讨论模群。由于是法国二年级本科生的教材，所用的工具相对初等。

Gunning的书对同余子群有一般性的讨论，定义了基本域的复结构并用Riemann-Roch定理计算相应函数空间的维数是对Serre最重要的补充。

# 从模函数到单值化定理 Ⅶ

Prologue:

…Here was a man who could work out modular equations and theorems… to orders unheard of, whose mastery of continued fractions was… beyond that of any mathematician in the world, who had found for himself the functional

equation of the zeta function and the dominant terms of many of the most famous problems in the analytic theory of numbers; and yet he had never heard of a doubly periodic function or of Cauchy’s theorem, and had indeed but the vaguest idea of what a function of a complex variable was…

——G.H.Hardy

S.Ramanujan (1887-1920)

(Jacobi) $\Delta=(2\pi)^{12}q \prod (1-q^{n})^{24}$$q=e^{2\pi iz}$

$\Delta=\sum \tau(n)q^{n}$$\tau(n)$称为Ramanujan函数。

1916年，经过大量数值计算，Ramanujan猜想：

a）Dirichlet L函数$\sum\tau (n)n^{-s}$可写成Euler积$\prod (1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s})^{-1}$;

b）对素数p，$|\tau(p)|<2p^{\frac{11}{2}}$;

c）对素数p，$\tau(p) \equiv 1+p^{11}( mod 691)$;

Ramanujan猜想是历史上第一个用模形式定义Dirichlet L函数的例子。另一方面，借助代数几何中“位”的语言，可以对特定的代数簇定义L函数。对有理数域上的椭圆曲线，通过L函数建立“椭圆曲线-模形式”的对应（谷山-志村猜想）是成就Wiles对Fermat大定理证明的关键；

c）被Ramanujan本人证明。大量类似的同余关系出现在$l$进表示的理论中，不借助模形式通常是很难发现和证明的。

a）实际上是Ramanujan函数的函数方程的紧凑表达，在1917年被Mordell证明。为此Mordell定义了所谓的Mordell算子。这一想法在1925年被Hecke推广为Hecke算子，成为现代模形式理论的基本工具。

# 从模函数到单值化定理 Ⅵ

Prologue: …For fifteen days I strove to prove that there could not be any functions like those I have since called Fuchsian functions. I was then very ignorant; every day I seated myself at my work table, stayed an hour or two, tried a great number of combinations and reached no results. One evening, contrary to my custom, I drank black coffee and could not sleep. Ideas rose in crowds; I felt them collide until pairs interlocked, so to speak, making a stable combination. By the next morning I had established the existence of a class of Fuchsian functions, those which come from the hypergeometric series; I had only to write out the results, which took but a few hours….

——H. Poincaré

a）椭圆型：若$tr^{2}(w)<4$，则$w$共轭于旋转变换，在上半平面和下半平面各有1个不动点；

b）抛物型：若$tr^{2}(w)=4$，则$w$共轭于平移变换，在实轴上有1个不动点；

c）双曲型：若$tr^{2}(w)>4$，则$w$共轭于相似变换，在实轴上有2个不动点；

$G$$PSL(2,\mathbb{R})$的离散子群，故只有可列个元素$g_{j}$。考察$z_{0} \in \mathbb{H}$的轨道$z_{0},z_{1},...,z_{n}=g_{n}(z_{0}),...$。“垂直平分”$z_{0}z_{n}$的Poincaré直线将上半平面划分为2个部分，取所有包含$z_{0}$的部分的交，得到一个双曲几何意义下的“凸多边形”。遵从Poincaré，我们称其为$G$关于点$z_{0}$的基本多边形$P_{o}$

a）限定$g_{0}=id$$P_{0}$不依赖于$G$中其他元素的排列顺序；

b）任意有界集至多与基本多边形的有限多条边相交：若轨道$z_{0},z_{1},...,z_{n},...$是闭的，则基本多边形本身仅有有限多条边。开轨道不能包含在某紧集中，也就是说，$\{d(z_{0},z_{n})\}$是无界的，由此也可推出结论成立；

c）由b）可推出基本多边形是上半平面中的开集；

d）我们知道$PSL(2,\mathbb{R})$是双曲几何的刚体群，故$g_{j}(P_{0})=P_{j}$。所有$P_{j}$彼此不交，且$\cap \bar{P_{j}}=\mathbb{H}$。特别的，基本多边形中的任意两点关于$G$不等价；

e）轨道必须闭合，故$\{d(z_{0},z_{n})\}$有界，推出$\bar{P_{0}}$是紧集。由b）知$P_{0}$仅有有限条边；

f）$P_{0}$的边与$G$中的非平凡元素一一对应，容易证明两条边关于$G$等价当且仅当对应的群元素互逆。因为$g_{j}$不能保持某条边不动，故$P_{0}$有偶数条边，两两配成一对关于$G$等价。a）说明$P_{0}$的边有天然顺序，我们选定逆时针方向遍历每一条边后回到出发点，更细致一些的分析指出，任意边的2条邻边都关于$G$等价。将等价的边粘合起来，我们得到：以$\mathbb{H}$为万有覆叠的紧Riemann面同胚于亏格为$g>1$的可定向闭曲面（球面装上$g$个环柄）；

$g=1$的情形类似，我们也希望能将所有亏格为$g>1$的紧Riemann面参数化。这一参数空间称为模空间。当$g>1$时，Riemann猜想模空间依赖于$3g-3$个复参数。证明这一猜想的决定性想法来自Teichmüller，此后发展成有关拟共形映射的一整套理论。直到今天，模空间仍然是代数几何学家感兴趣的对象。

$g$的Jacobi行列式为$J_{g}$，链式法则说明$J_{g}^{-k}$满足对$\gamma_{g}(z)$的要求，即可以取$\gamma_{g}(z)=(cz+d)^{2k}$。相应的$f$称为自守形式，因为$\mathbb{H}$上的k次微分形式$fdz^{k}$满足自守关系$f(gz)d(gz)^{k}=f(z)dz^{k}$。特别地，$k=0$定义了全纯的自守函数。

$\theta_{k,n}(z)=\sum^{*}J_{g}^{k}h(gz)$$h(z)=e^{2n\pi iz}$

G.Perelman (1966-    )

# 从模函数到单值化定理 Ⅴ

Prologue:

…It is true that Mr. Fourier had the opinion that the principal purpose of mathematics was the benefit of the society and the explanation of phenomena of nature; but a philosopher like he should know that the sole purpose of science is the honor of the human mind, and under this title, a question about numbers is as valuable as a question about the system of the world…

——C. G. Jacobi, Letter to Legendre

C. G. Jacobi (1804-1851)

$\mathbb{\bar{C}}$为万有覆叠的紧Riemann面$S$解析同构于$\mathbb{C}P^{1}$，有理函数是其上仅有的亚纯函数。拓扑上我们得到了一个亏格为0的闭曲面（球面）。这一情形是简单的。

$\mathbb{C}$为万有覆叠的紧Riemann面$S$解析同构于$\mathbb{C}/\Lambda$$\Lambda$是某个格。从拓扑上看，这是一个亏格为1的闭曲面（环面）。

$f_{i}(z+1)=f_{i}(z)$$f_{i}(z+\tau)=e^{-2k\pi iz}f_{i}(z)$

$S$当然不能嵌入$\mathbb{C}P^{1}$。取k=3，利用上述的$f_{i}$可完成$S$$\mathbb{C}P^{2}$的嵌入。我们不再讨论技术性的细节，而是指出类似的想法可以推广到高维。高维复环面可以嵌入射影空间当且仅当其周期矩阵满足Frobenius关系。

Weierstrass提出了另一种构造椭圆函数的方法，即利用Weierstrass$\mathfrak{P}$函数。这方法简洁明了，被大多数现代课本采用。然而值得指出的是，theta函数处在数论、自守形式、函数论和数学物理的交叉点上，研究其性质有极高的附加价值。在第7章中有一个重要的例子：尖点形式$\Delta$

Jacobi noted, as mathematics’ most fascinating property, that in it one and the same function controls both the presentations of a whole number as a sum of four squares and the real movement of a pendulum.

These discoveries of connections between heterogeneous mathematical objects can be compared with the discovery of the connection between electricity and magnetism in physics or with the discovery of the similarity between the east coast of America and the west coast of Africa in geology.

The emotional significance of such discoveries for teaching is difficult to overestimate. It is they who teach us to search and find such wonderful phenomena of harmony of the Universe.

# 从模函数到单值化定理 Ⅳ

Prologue:

…At the moment when I put my foot on the step the idea came to me, without anything in my former thoughts seeming to have paved the way for it, that the transformations I had used to define the Fuchsian functions were identical with those of non-Euclidean geometry. I did not verify the idea; I should not have had time, as, upon taking my seat in the omnibus, I went on with a conversation already commenced, but I felt a perfect certainty…

——H. Poincaré

H. Poincaré (1854-1912)

$\mathbb{\bar{C}}$的解析自同构群为Möbius变换群，等价的说法是$\mathbb{C}P^{1}$的解析自同构群为$PSL(2,\mathbb{C})$$PSL(2,\mathbb{C})$中所有保持无穷远点不动的元素有形式$\left({\begin{array}{cc} a&b\\ 0&d\\ \end{array}}\right)$，此即$\mathbb{C}$上的线性函数，在迭代下构成$\mathbb{C}$的解析自同构群。最后，Schwarz引理的一个经典应用定出$\triangle$的解析自同构有形式$e^{i\theta}(z-z_{0})/(1-\bar{z_{0}}z)$$\theta \in \mathbb{R}$$z_{0} \in \triangle$

a) 以$\mathbb{\bar{C}}$为万有覆叠的Riemann面。由于$PSL(2,\mathbb{C})$中的元素作用在$\mathbb{C}P^{1}$上恒有不动点，推出$G$是平凡的。故唯一以$\mathbb{\bar{C}}$为万有覆叠的Riemann面是$\mathbb{\bar{C}}$本身。

b) 以$\mathbb{C}$为万有覆叠的Riemann面。忠实作用在$\mathbb{C}$上的线性变换有形式$z \mapsto z+b$。取平移函数作为$G$的生成元，并要求其在$\mathbb{Q}$上线性无关。离散群$G$至多有2个这样的生成元，分类讨论得到$S$解析同构于$\mathbb{C}$$\mathbb{C}\backslash\{0\}$（借助一个指数变换）或$\mathbb{C}/\Lambda$$\Lambda$是某个格。

c)除了以上讨论过的4种例外，其余 Riemann面均以$\triangle$$\mathbb{H}$）为万有覆叠。这是最为有趣的情形，因为我们缺少$PSL(2,\mathbb{R})$$\mathbb{H}$上忠实作用的离散子群的完备描述。Poincaré第一个研究了$PSL(2,\mathbb{R})$的离散子群，并将它们命名为Fuchs群。如果Fuchs群的所有元素都忠实地作用在$\mathbb{H}$上，则称其为无挠的。显然，以$\mathbb{H}$为万有覆叠的Riemann面同构于$\mathbb{H} /G$$G$是某个无挠的Fuchs群。

Many other proofs have been given which are more elementary in that they need less preparation, but none is as penetrating as the original proof.

# 从模函数到单值化定理 Ⅲ

Prologue:

…Finally the last Sections (§19-21) are devoted to the uniformization theory, which was sketched by Klein and Poincaré in an audacious breakthrough and was recently put on a firmer basis by Koebe. Thus we get into the temple where the divinity (if I am allowed to use this image) is restored to itself, from the earthy jail of its particular realization: through the two dimensional non-Euclidean crystal, the archetype of the Riemann surface may be contemplated, pure and liberated from any obscurity or contingency (as far as it is possible)…

——H.Weyl  The Concept of a Riemann Surface

Weyl的这本出版于1913年的书被广泛地认为是第一本用“现代”方法讨论Riemann面的著作。如今通行的对“流形”的定义最早出现在这本书中。附带一提，“线性空间”、“辛群”、“联络”等概念的现代定义也是由Weyl提出的。

（Weierstrass) 在$\Omega$上内闭一致收敛的解析函数列收敛于某解析函数。

（Bolzano-Weierstrass) 完备空间的有界序列有收敛子列。

(Montel正规性判则Ⅰ)在任一紧致集上一致有界的解析函数族$\mathscr{F}$是正规的。

Montel正规性判则Ⅰ将函数空间的“有界性”（“紧致性”）与函数的一致有界性联系起来。这提示我们可以把“转换原理”应用到Montel正规性判则Ⅰ上，得到更强的：

(Montel正规性判则Ⅱ)若亚纯函数族$\mathscr{F}$$\mathbb{\bar{C}}$上有3个空隙值，则$\mathscr{F}$是正规的。

(Klein-Poincaré-Koebe) 单连通的Riemann曲面解析同构于$\mathbb{\bar{C}}$$\mathbb{C}$$\triangle$

$S$上取一个单连通域序列$\{S_{n}\}$，满足$S_{n} \subset \bar{S_{n}} \subset S_{n+1}$，且$S=\bigcup^{\infty}_{n=1} S_{n}$。对每个$S_{n}$，我们定义一个“副本”$S_{n}^{\prime}$。将它们的边缘粘合在一起，得到紧曲面$S_{n}^{c}$。由于$S_{n}$具有圆盘的拓扑，$S_{n}^{c}$具有球面的拓扑，因而解析同构于$\mathbb{\bar{C}}$

$S_{1}$上选取$p_{0} \neq p_{1}$，则这两点包含于所有$S_{n}$$S_{n}^{c}$中。记$p_{0}$的“副本”为$p_{0}^{\prime}$。存在解析同构$f_{n}: S_{n}^{c} \to \mathbb{\bar{C}}$，使得$f_{n}(p_{0})=0$$f_{n}(p_{1})=1$$f_{n}(p_{0}^{\prime})=\infty$。将其限制到$S_{n}$上，得到单叶函数族$\{ f_{n}\}:S_{n} \to \mathbb{C}$。由Montel正规性判则Ⅱ，$\{f_{n}\}$$S_{n}\backslash\{p_{0},p_{1}\}$上正规，从而在$S_{n}$上正规。

F.Klein (1849-1925)

# 从模函数到单值化定理 Ⅱ

Prologue:

——华罗庚

“转换原理”可以粗略地叙述如下：如果对“有界”函数叙述的较弱命题成立，则对“在$\mathbb{C}$上有2个空隙值”的函数所叙述的较强命题也成立。

“转换原理”将其加强为著名的Picard小定理：

C.E.Picard (1856-1941）