从模函数到单值化定理 参考文献

我们举出一些参考文献,以补充叙述中忽略的技术细节。

 

最常用的信息源是

Wikipedia   在互联网时代,它为每个人提供了成为半吊子专家的机会。

关于复分析的经典理论,以下著作仍是难以超越的

Ahlfors   Complex analysis : an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable

关于复流形和单值化定理,我们的叙述沿用了Shafarevich的框架

Shafarevich  Basic algebraic geometry Vol.2

我们参考了讨论椭圆函数和自守函数的经典著作

Siegel  Topics in complex function theory

关于模形式,我们推荐

Serre  A course in arithmetic

Gunning   Lectures on modular forms

 

以下简要罗列各章的参考文献。

 

第1章  模函数\lambda的图像取自李忠  复分析导引

 

第2章   代数奇点的定义及其初步性质可以在Ahlfors的书中找到。

 

第3章   Montel正规性判则是Arzelà-Ascoli定理的推论,后者可以在任何一本泛函分析的教程中找到,例如Rudin  Functional analysis,也可参见Rudin“分析三部曲”中的另外两本或Ahlfors的书。

Montel正规性判则对亚纯函数的推广常被称为Marty正规性判则。

 

第4章  万有覆叠映射和Riemann面的单值群的性质可以参见任何一本拓扑学教程。我们推荐

Doburovin, Fomenko, Novikov   Modern geometry: method and applications  Vol.2

Picard定理的微分几何证明可参考李忠的书,或龚昇  简明复分析

Poincaré举出的高维Riemann映射定理的反例也可以参见此书。

本章和第6章中提到的Poincaré的“灵感”是数学史的重要题材,兼有心理学上的趣味。在这方面有名著

Hadamard  The psychology of invention in the mathematical field

 

第5章

我们只浮光掠影地提到theta函数最初步的性质。关于Jacobi theta函数,Wolfram math world上有详细的资料

http://mathworld.wolfram.com/JacobiThetaFunctions.html

对theta函数最完备的讨论是

Mumford   Tata lectures on Theta

 

第6章

我们对非欧几何晶体群的讨论既不完备也不一般。作为一个导引,Doburovin的书对这方面的事实有一个初步的总结。

关于Poincaré级数的进一步性质,尤其是,构成尖点形式空间的基,参见Gunning的书。

2维拓扑流形有微分结构的证明见Hirsch  Differential topology。

2维微分流形有局部复结构的证明见Hicks  Note on differential geometry。

 

第7章

基本域的示意图取自Serre的书。

Serre的书短小精悍,致力于讨论模群。由于是法国二年级本科生的教材,所用的工具相对初等。

Gunning的书对同余子群有一般性的讨论,定义了基本域的复结构并用Riemann-Roch定理计算相应函数空间的维数是对Serre最重要的补充。

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从模函数到单值化定理 Ⅶ

Prologue:

…Here was a man who could work out modular equations and theorems… to orders unheard of, whose mastery of continued fractions was… beyond that of any mathematician in the world, who had found for himself the functional

equation of the zeta function and the dominant terms of many of the most famous problems in the analytic theory of numbers; and yet he had never heard of a doubly periodic function or of Cauchy’s theorem, and had indeed but the vaguest idea of what a function of a complex variable was…

——G.H.Hardy

S.Ramanujan (1887-1920)

站在旅程的终点,我们还想眺望一下远处的风景。Fuchs群PSL(2,\mathbb{Z})称为模群,它有丰富的算术性质。利用与模群相联系的自守形式来研究数论是一个强有力的方法,在本系列中我们无意深入这一极为广阔的领域。就当前的兴趣而言,考察模形式出于如下2个目的:1)揭示之前介绍过的系列对象之间的联系,以期形成一个较完整的印象;2)为“代数几何-复几何”处在纯数学研究的中心位置再添一个例证。

今后我们用\Gamma表示模群。\Gamma并非无挠地作用在\mathbb{H}上。具体地说,\Gamma中包含椭圆型元素S=\left({\begin{array}{cc} 0&-1\\ 1&0\\ \end{array}}\right)T=\left({\begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1\\ \end{array}}\right),因而在上半平面带来3个椭圆型不动点i,\rho,\rho^{2}。事实上,\Gamma=<S,T;S^{2}=1,(ST)^{3}=1>,故它们也是仅有的不动点:i是2阶的,其余两个是3阶的。

我们可以定出\mathbb{H}/\Gamma的基本域(图中阴影部分)。由于\Gamma不是无挠的,在基本域上引入解析结构略显微妙,关键在于3个不动点处:对i用半个参数盘来覆盖,对\rho,\rho^{2}则分别用\frac{1}{3}个参数盘。加入i\infty\mathbb{H}/\Gamma进行紧化,由单值化定理,单连通的\overline{\mathbb{H}/\Gamma}解析同构于\mathbb{C}P^{1}

注意到\mathbb{H}/\Gamma正是椭圆曲线的模空间,故而对椭圆曲线定义的“数”成为\mathbb{H}/\Gamma上的“函数”:例如Eisenstein级数。更准确地说,在上半平面定义G_{k}(z)=\sum^{\prime}\frac{1}{(mz+n)^{2k}}。视其为特征为0的特殊Poincaré级数,有自守关系G_{k}(z)=J_{g}^{k}G_{k}(gz)g \in \Gamma。利用\Gamma的生成元可将自守关系改写为:G_{k}(z+1)=G_{k}(z)G_{k}(-1/z)=z^{2k}G_{k}(z)

引入几个一般的术语。满足上述自守关系的函数被称为权为k的弱模函数。如果其在i\infty处是亚纯的,则称为模函数。在上半平面处处全纯(包括无穷远点)的模函数称为模形式。在无穷远点取0值的模形式称为尖点形式。不难证明G_{k}(\infty)=2\zeta(2k)\zeta(z)为Riemann zeta函数,故Eisenstein级数为模形式。特别地,椭圆曲线的判别式函数\DeltaG_{2},G_{3}的多项式,计算表明\Delta(\infty)=0,故其为权为6的尖点形式。

以上例子是有典型意义的。事实上,Riemann-Roch定理给出:Riemann面上权为k的模形式构成一线性空间,其维数为(2k-1)(g-1)+kp+\sum[k(1-\frac{1}{e_{i}})],其中g为亏格,p为抛物型不动点的个数,e_{i}为每个抛物型不动点的阶数,[ x]表示对x取整。应用到当前的情况,知若k \equiv 1(mod 6),相应的函数空间为[k/6]维,否则为[k/6]+1维。特别的,在相差一个常数的意义下,G_{2}G_{3}是唯一的权为2的和权为3的模形式,继而用归纳法不难证明,所有模形式构成的分次代数同构于\mathbb{C}[G_{2},G_{3}]。这一结构性定理在模形式的研究中是很重要的。

所有权为0的模函数的结构也是清楚的:它们可以表为2个同权模形式的商。经典的例子是Klein考察过的j=G_{2}^{3}/\Delta。它定义了\overline{\mathbb{H}/\Gamma}\bar{\mathbb{C}}的双射。考察\bar{\mathbb{C}}的解析自同构群,容易证明任何一个权为0的模函数都是j的有理函数。

由于f(z+1)=f(z),故每一个模函数在原点附近都有一个亚纯的Fourier展开。研究系数的增长速率和系数间的代数关系在数论上有很重要的推论。我们将会对此略加说明。

对于尖点形式\Delta,其Fourier展开式有特别优美的形式:

(Jacobi) \Delta=(2\pi)^{12}q \prod (1-q^{n})^{24}q=e^{2\pi iz}

从椭圆函数论的角度可以给出一个想法很自然的证明。这也是Jacobi的原始证明。具体地说,Jacobi用以构造椭圆函数的theta函数,其Fourier展开有自然的周期性。我们需要做的,不过是用这些theta级数构造出\mathfrak{P}\mathfrak{P}^{\prime},由此即可得到\Delta的一个Fourier展开。

以上我们讨论了模函数在函数论方面的性质。对模函数数论性质的现代研究在多个方向上受到Ramanujan工作的启发。为了不偏离主题,我们仅勾勒历史发展的轮廓。

\Delta=\sum \tau(n)q^{n}\tau(n)称为Ramanujan函数。

1916年,经过大量数值计算,Ramanujan猜想:

a)Dirichlet L函数\sum\tau (n)n^{-s}可写成Euler积\prod (1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s})^{-1};

b)对素数p,|\tau(p)|<2p^{\frac{11}{2}};

c)对素数p,\tau(p) \equiv 1+p^{11}( mod 691);

Ramanujan猜想是历史上第一个用模形式定义Dirichlet L函数的例子。另一方面,借助代数几何中“位”的语言,可以对特定的代数簇定义L函数。对有理数域上的椭圆曲线,通过L函数建立“椭圆曲线-模形式”的对应(谷山-志村猜想)是成就Wiles对Fermat大定理证明的关键;

c)被Ramanujan本人证明。大量类似的同余关系出现在l进表示的理论中,不借助模形式通常是很难发现和证明的。

a)实际上是Ramanujan函数的函数方程的紧凑表达,在1917年被Mordell证明。为此Mordell定义了所谓的Mordell算子。这一想法在1925年被Hecke推广为Hecke算子,成为现代模形式理论的基本工具。

对于一般的权为k的尖点形式,b)的推广|c(p)|<2p^{\frac{2k-1}{2}}称为Ramanujan-Peterson猜想,它的重要性在于反应了相应L函数的解析性质。对有限域上的代数簇定义L函数,有类比Riemann猜想而提出的Weil猜想。1974年,Deligne证明了Weil猜想,作为副产品得到了Ramanujan-Peterson猜想的证明。他因此获得1978年的Fields奖章。

奇人Ramanujan对现代数论的影响不可谓不巨大。

为结束讨论,或许回到我们的出发点:模函数\lambda是合适的。模群的同余子群\Gamma_{N}由所有满足g \equiv id(mod N)g组成。类似的,我们可以定义对同余子群自守的模函数来考察同余子群的算术性质。我们不再展开讨论,而是给出一个熟悉的例子:\lambda是对\Gamma_{2}自守的模函数。

从模函数到单值化定理 Ⅵ

Prologue: …For fifteen days I strove to prove that there could not be any functions like those I have since called Fuchsian functions. I was then very ignorant; every day I seated myself at my work table, stayed an hour or two, tried a great number of combinations and reached no results. One evening, contrary to my custom, I drank black coffee and could not sleep. Ideas rose in crowds; I felt them collide until pairs interlocked, so to speak, making a stable combination. By the next morning I had established the existence of a class of Fuchsian functions, those which come from the hypergeometric series; I had only to write out the results, which took but a few hours….

——H. Poincaré

回忆曾证明过的:以\mathbb{H}为万有覆叠的Riemann面解析同构于\mathbb{H}/GG是某个无挠的Fuchs群。除球面和环面外的所有的紧Riemann面均属于这一类。这是我们当前感兴趣的情形,事实上也是唯一便于考察的情形。

我们从一般的特征开始。不难证明,3种典型的Mobius变换完全刻画了PSL(2,\mathbb{R})PSL(2,\mathbb{C})中的共轭类:

a)椭圆型:若tr^{2}(w)<4,则w共轭于旋转变换,在上半平面和下半平面各有1个不动点;

b)抛物型:若tr^{2}(w)=4,则w共轭于平移变换,在实轴上有1个不动点;

c)双曲型:若tr^{2}(w)>4,则w共轭于相似变换,在实轴上有2个不动点;

单值群中的非平凡元素是忠实作用的,因而不能是椭圆型的。抛物型元素共轭于z \mapsto z+1。考察曲线\gamma=\{x+iy:0 \leq x \leq 1\},其在S上的投影是一条非平凡的闭曲线。然而随着y \to +\infty,该曲线在Poincaré度量下的长度趋于0。紧Riemann流形上的非平凡闭曲线不能有任意小的长度,这说明:对紧的\mathbb{H}/GG中所有非平凡元素都是双曲型的。

GPSL(2,\mathbb{R})的离散子群,故只有可列个元素g_{j}。考察z_{0} \in \mathbb{H}的轨道z_{0},z_{1},...,z_{n}=g_{n}(z_{0}),...。“垂直平分”z_{0}z_{n}的Poincaré直线将上半平面划分为2个部分,取所有包含z_{0}的部分的交,得到一个双曲几何意义下的“凸多边形”。遵从Poincaré,我们称其为G关于点z_{0}的基本多边形P_{o}

我们将基本多边形的性质总结如下:

a)限定g_{0}=idP_{0}不依赖于G中其他元素的排列顺序;

b)任意有界集至多与基本多边形的有限多条边相交:若轨道z_{0},z_{1},...,z_{n},...是闭的,则基本多边形本身仅有有限多条边。开轨道不能包含在某紧集中,也就是说,\{d(z_{0},z_{n})\}是无界的,由此也可推出结论成立;

c)由b)可推出基本多边形是上半平面中的开集;

d)我们知道PSL(2,\mathbb{R})是双曲几何的刚体群,故g_{j}(P_{0})=P_{j}。所有P_{j}彼此不交,且\cap \bar{P_{j}}=\mathbb{H}。特别的,基本多边形中的任意两点关于G不等价;

下面限定\mathbb{H}/G是紧的:

e)轨道必须闭合,故\{d(z_{0},z_{n})\}有界,推出\bar{P_{0}}是紧集。由b)知P_{0}仅有有限条边;

f)P_{0}的边与G中的非平凡元素一一对应,容易证明两条边关于G等价当且仅当对应的群元素互逆。因为g_{j}不能保持某条边不动,故P_{0}有偶数条边,两两配成一对关于G等价。a)说明P_{0}的边有天然顺序,我们选定逆时针方向遍历每一条边后回到出发点,更细致一些的分析指出,任意边的2条邻边都关于G等价。将等价的边粘合起来,我们得到:以\mathbb{H}为万有覆叠的紧Riemann面同胚于亏格为g>1的可定向闭曲面(球面装上g个环柄);

g=1的情形类似,我们也希望能将所有亏格为g>1的紧Riemann面参数化。这一参数空间称为模空间。当g>1时,Riemann猜想模空间依赖于3g-3个复参数。证明这一猜想的决定性想法来自Teichmüller,此后发展成有关拟共形映射的一整套理论。直到今天,模空间仍然是代数几何学家感兴趣的对象。

代数几何方面,要实现紧Riemann面到复射影空间的嵌入;函数论方面,要构造S上的亚纯函数,或等价的,上半平面中的自守函数。类似于第5章,如果我们能构造定义在上半平面的全纯函数f,对g \in G满足f(gz)=\gamma_{g}(z)f(z)\gamma_{g}(z)是在上半平面全纯且处处不为0的解析函数,满足\gamma_{gh}(z)=\gamma_{g}(hz)\gamma_{h}(z),则这两方面的要求均得以满足。

g的Jacobi行列式为J_{g},链式法则说明J_{g}^{-k}满足对\gamma_{g}(z)的要求,即可以取\gamma_{g}(z)=(cz+d)^{2k}。相应的f称为自守形式,因为\mathbb{H}上的k次微分形式fdz^{k}满足自守关系f(gz)d(gz)^{k}=f(z)dz^{k}。特别地,k=0定义了全纯的自守函数。

正是在前面所提到的不眠之夜,Poincaré构造出了满足上述条件的“Fuchs theta函数”(后世称为Poincaré级数)。为第7章的讨论方便记,我们给出Poincaré原始构造的一个变体:

\theta_{k,n}(z)=\sum^{*}J_{g}^{k}h(gz)h(z)=e^{2n\pi iz}

整参数k称为Poincaré级数的权,整参数n称为Poincaré级数的特征。满足h(gz)=h(z)g构成子群G_{0}\sum^{*}指求和在陪集G/G_{0}上进行。可以证明这种求和方式是定义良好的,且在k >1n \geq 0时保证级数在上半平面的任意紧子集上绝对且一致收敛,从而不难验证级数的自守性。

利用Poincaré级数可以实现亏格大于1的紧Riemann面到复射影空间的嵌入。同样的想法应用到高维,就成为Siegel在高维自守形式方面所做的工作的一部分。另一方面,2个权为k的Poincaré级数的商是\mathbb{H}上的自守函数,因而我们证明了紧Riemann面上总存在非常数的亚纯函数。由于单值化定理的失效,这对高维紧复流形是不成立的。

最后我们指出,我们对紧Riemann面的分类打开了一扇通往Poincaré猜想的暗门。注意到一个拓扑曲面一定具有微分结构,而一个带有微分结构的可定向曲面又一定具有复结构,因而我们实际上已证明了亏格作为拓扑不变量给出2维可定向闭曲面的完备分类。单连通曲面总是可定向的,由此马上证得Poincaré猜想的2维版本:单连通的2维闭曲面同胚于球面。

受2维情形的启发,Thurston猜想可以将3维紧流形分解为若干子流形,每个子流形上容许8种几何结构中的一种,进而证明Poincaré猜想。利用Hamilton发展出的Ricci流技术,Perelman证明了Thurston的几何化猜想。凭借这一突破摘得2006年Fields奖的他却拒绝领奖,并放弃了Clay研究所为Poincaré猜想设立的百万奖金。这是大家都很熟悉的故事了。

G.Perelman (1966-    )

同样在2006年,田刚等人用Ricci流的手段重新证明了单值化定理。

在复几何和拓扑学这两个如此不同的领域所做的开创性工作,被后人如此深刻有力地结合在一起,这是Poincaré所想不到的吧。

从模函数到单值化定理 Ⅴ

Prologue:

…It is true that Mr. Fourier had the opinion that the principal purpose of mathematics was the benefit of the society and the explanation of phenomena of nature; but a philosopher like he should know that the sole purpose of science is the honor of the human mind, and under this title, a question about numbers is as valuable as a question about the system of the world…

——C. G. Jacobi, Letter to Legendre

C. G. Jacobi (1804-1851)

紧Riemann面是代数几何学家感兴趣的对象,因为可以将其视为复射影空间中的代数曲线。在接下来的两章中,我们利用单值化定理对紧Riemann面做一个初步的讨论。

\mathbb{\bar{C}}为万有覆叠的紧Riemann面S解析同构于\mathbb{C}P^{1},有理函数是其上仅有的亚纯函数。拓扑上我们得到了一个亏格为0的闭曲面(球面)。这一情形是简单的。

\mathbb{C}为万有覆叠的紧Riemann面S解析同构于\mathbb{C}/\Lambda\Lambda是某个格。从拓扑上看,这是一个亏格为1的闭曲面(环面)。

和亏格0的情形不同,并非所有亏格1的紧Riemann面都彼此解析同构。假定\Lambda的基按逆时针排列,即Im(\omega_{2}/\omega_{1})>0。对同一个格可以选取不同的基,彼此相差一个PSL(2,\mathbb{Z})中的线性变换。将相差伸缩和旋转变换的格视为等价的,则等价类可以用\mathbb{H}/ PSL(2,\mathbb{Z})进行参数化。通过覆叠映射定义S上的复结构,容易证明SS^{\prime}解析同构当且仅当\Lambda\Lambda^{\prime}等价。今后我们总是假定讨论的格带有标准基1,\tauIm(\tau)>0

我们希望实现代数曲线S\mathbb{C}P^{N}的嵌入。最直接的想法是在S上找不同时为0的N+1个全纯函数构作射影坐标系。然而紧Riemann面上不存在全纯函数。一个变通方案是在\hat{S}上寻找有特殊对称性的全纯函数f。具体地说,视单值群GAut(\mathbb{C})的子群,我们希望对g \in Gf_{i}(gz)=\gamma_{g}(z)f_{i}(z)\gamma_{g}(z)是仅依赖于g的整函数且处处不为0。这样利用等价关系仍可以同时消去所有的\gamma_{g}(z)

实际上我们拥有了一个单值群G到整函数环的乘法群的同态。如果我们取同态象的生成元为1e^{-2k\pi iz},就得到:

f_{i}(z+1)=f_{i}(z)f_{i}(z+\tau)=e^{-2k\pi iz}f_{i}(z)

这时满足条件的f_{i}可以用Fourier展开直接构造出来。计算指出其Fourier系数满足一个k阶递推关系,且对任意选取的初始值收敛,故这些函数构成一个k维函数空间。

S当然不能嵌入\mathbb{C}P^{1}。取k=3,利用上述的f_{i}可完成S\mathbb{C}P^{2}的嵌入。我们不再讨论技术性的细节,而是指出类似的想法可以推广到高维。高维复环面可以嵌入射影空间当且仅当其周期矩阵满足Frobenius关系。

按上述方式定义的f_{i}是一种特殊的theta函数。k称为theta函数的权。我们利用theta函数来研究S上的亚纯函数。亏格为1的紧Riemann面上的亚纯函数对应\mathbb{C}上的双周期函数,沿用历史上的叫法,也称为椭圆函数。现在很容易构造这样的函数:取两个权为k的theta函数的商即可。这个利用theta函数的商构作椭圆函数的想法是Jacobi的。椭圆函数论是一门不小的学问,和很多有趣的话题有关。这里我们想指出的是,椭圆函数是\mathbb{C}G-不变的亚纯函数。在\triangleG-不变的亚纯函数称为自守函数。在第6章中我们将会看到Jacobi的想法如何启发了Poincaré在自守函数方面的工作。

Weierstrass提出了另一种构造椭圆函数的方法,即利用Weierstrass\mathfrak{P}函数。这方法简洁明了,被大多数现代课本采用。然而值得指出的是,theta函数处在数论、自守形式、函数论和数学物理的交叉点上,研究其性质有极高的附加价值。在第7章中有一个重要的例子:尖点形式\Delta

在Jacobi看来,纯数学和应用数学是一体的(Bourbaki,尤其是Dieudonné鼓吹的“为了人类心智的荣耀”是对Jacobi可耻的断章取义)。在对theta函数的研究中他身体力行地实践了这一哲学。在现代,这一传统的有力继承者是Arnold,因而引用Arnold的话来结束是适当的:

Jacobi noted, as mathematics’ most fascinating property, that in it one and the same function controls both the presentations of a whole number as a sum of four squares and the real movement of a pendulum.

These discoveries of connections between heterogeneous mathematical objects can be compared with the discovery of the connection between electricity and magnetism in physics or with the discovery of the similarity between the east coast of America and the west coast of Africa in geology.

The emotional significance of such discoveries for teaching is difficult to overestimate. It is they who teach us to search and find such wonderful phenomena of harmony of the Universe.

从模函数到单值化定理 Ⅳ

Prologue:

…At the moment when I put my foot on the step the idea came to me, without anything in my former thoughts seeming to have paved the way for it, that the transformations I had used to define the Fuchsian functions were identical with those of non-Euclidean geometry. I did not verify the idea; I should not have had time, as, upon taking my seat in the omnibus, I went on with a conversation already commenced, but I felt a perfect certainty…

——H. Poincaré

H. Poincaré (1854-1912)

作为Riemann面仅有的万有覆叠,考察\mathbb{\bar{C}}\mathbb{C}\triangle的解析自同构群是重要的:万有覆叠映射\pi:\hat{S} \to S定义了单值群GAut(\hat{S})的单同态。单值群在\hat{S}上的作用是忠实的,因而通过考察覆叠映射研究Riemann面的性质可以从考察Aut(\hat{S})\hat{S}上忠实作用的离散子群开始。

\mathbb{\bar{C}}的解析自同构群为Möbius变换群,等价的说法是\mathbb{C}P^{1}的解析自同构群为PSL(2,\mathbb{C})PSL(2,\mathbb{C})中所有保持无穷远点不动的元素有形式\left({\begin{array}{cc} a&b\\ 0&d\\ \end{array}}\right),此即\mathbb{C}上的线性函数,在迭代下构成\mathbb{C}的解析自同构群。最后,Schwarz引理的一个经典应用定出\triangle的解析自同构有形式e^{i\theta}(z-z_{0})/(1-\bar{z_{0}}z)\theta \in \mathbb{R}z_{0} \in \triangle

将所有单连通的\Omega \subsetneq \mathbb{C}取作对象,将它们之间的解析同构取作态射,就得到范畴论中称为广群(groupoid)的结构。一个直接的推论是任意两个对象的解析自同构群同构。特别地,\triangle\mathbb{H}的解析自同构群同构,而Aut(\mathbb{H})=PSL(2,\mathbb{R})

同样的讨论可以用来建立拓扑学中的经典命题:在道路连通的拓扑空间中,对任意两个基点定义的基本群同构。

下面我们利用万有覆叠来考察一般的Riemann面。

a) 以\mathbb{\bar{C}}为万有覆叠的Riemann面。由于PSL(2,\mathbb{C})中的元素作用在\mathbb{C}P^{1}上恒有不动点,推出G是平凡的。故唯一以\mathbb{\bar{C}}为万有覆叠的Riemann面是\mathbb{\bar{C}}本身。

b) 以\mathbb{C}为万有覆叠的Riemann面。忠实作用在\mathbb{C}上的线性变换有形式z \mapsto z+b。取平移函数作为G的生成元,并要求其在\mathbb{Q}上线性无关。离散群G至多有2个这样的生成元,分类讨论得到S解析同构于\mathbb{C}\mathbb{C}\backslash\{0\}(借助一个指数变换)或\mathbb{C}/\Lambda\Lambda是某个格。

c)除了以上讨论过的4种例外,其余 Riemann面均以\triangle\mathbb{H})为万有覆叠。这是最为有趣的情形,因为我们缺少PSL(2,\mathbb{R})\mathbb{H}上忠实作用的离散子群的完备描述。Poincaré第一个研究了PSL(2,\mathbb{R})的离散子群,并将它们命名为Fuchs群。如果Fuchs群的所有元素都忠实地作用在\mathbb{H}上,则称其为无挠的。显然,以\mathbb{H}为万有覆叠的Riemann面同构于\mathbb{H} /GG是某个无挠的Fuchs群。

以上分类也给出模函数\lambda“存在性”的证明:只需取万有覆叠映射\pi:\triangle \to \mathbb{C}\backslash\{0,1\}。正如我们已看到的,\lambda和单值化定理之间有很微妙的互相依赖关系。

对紧Riemann面\overline{S}S \subset \overline{S}|\overline{S}/S|>2,万有覆叠映射\pi:\triangle \to S是模函数的类比。这允许我们将“转换原理”推广到Riemann面上:对广义“有界”函数f成立的命题对映射到Sf亦成立。例如Picard定理现在可以叙述为:全纯的f:\mathbb{C} \to S必为常数。

现在让我们重新回到开篇时Poincaré的自述。Poincaré的这一灵感开启了复几何的研究,有着极其深远的影响。这里的要点是,我们可以在\mathbb{\bar{C}}上引入球面度量,在\mathbb{C}上引入欧式度量,在\triangle上引入双曲度量(又称Poincaré度量)。Poincaré意识到这一双曲度量在解析自同构群的作用下是不变的,也就是说,Aut(\triangle)恰好对应双曲几何中的刚体变换(Escher的画是对这一数学事实的艺术再现:所有天使和恶魔都是同样“大小”的,而他们之间相差一个单位圆盘的解析自同构)。对\mathbb{\bar{C}}\mathbb{C}也有平行的命题成立。

进一步,通过覆叠映射,我们可以在任意Riemann面上引入上述3种度量中的一种。计算指出上述度量分别有常曲率1,0,-1,而共形映射保持曲率,故任意Riemann面均可以做为一个常曲率空间来考察。

以上讨论允许我们用微分几何的手段研究Riemann面。1938年Ahlfors注意到Schwarz引理来源于解析映射的“刚性”。他将“刚性”用度量的语言叙述,在此基础上推广了Schwarz引理。这项工作的一个副产品是Picard定理的微分几何证明。采用这个证明可以绕过对\lambda的考察。然而正如我们已看到的,在Riemann面上引入几何结构的想法源于单值化定理,而单值化定理的成立又在本质上依赖于\lambda的性质,因而可以说,Picard的原始证明仍有其不可替代的地方。在这一问题上,引用Ahlfors本人的意见最合适不过:

Many other proofs have been given which are more elementary in that they need less preparation, but none is as penetrating as the original proof.

最后我们简要地讨论一下单值化定理在高维的推广。

在拓扑方向上我们所知不多。事实上,单连通的高维复流形的分类非常复杂。出现这种情况的原因之一是在多复变函函数论中Riemann映射定理不再成立。Poincaré提供了一个著名的反例:对n \geq 2,不存在双全纯映射将\mathbb{C}^{n}中的单位球映为多圆柱。

在复几何方向上,一个部分的推广是Aubin和丘成桐各自独立证明的:第一陈类为负的紧Kähler流形上容许一个Kähler-Einstein度量。第一陈类为0时的命题可由Calabi猜想推出。然而,存在不容许Kähler-Einstein度量的第一陈类为正的紧Kähler流形,在这个方向上,丘和他的学生田刚取得了一系列后继成果。

从模函数到单值化定理 Ⅲ

Prologue:

…Finally the last Sections (§19-21) are devoted to the uniformization theory, which was sketched by Klein and Poincaré in an audacious breakthrough and was recently put on a firmer basis by Koebe. Thus we get into the temple where the divinity (if I am allowed to use this image) is restored to itself, from the earthy jail of its particular realization: through the two dimensional non-Euclidean crystal, the archetype of the Riemann surface may be contemplated, pure and liberated from any obscurity or contingency (as far as it is possible)…

——H.Weyl  The Concept of a Riemann Surface

Weyl的这本出版于1913年的书被广泛地认为是第一本用“现代”方法讨论Riemann面的著作。如今通行的对“流形”的定义最早出现在这本书中。附带一提,“线性空间”、“辛群”、“联络”等概念的现代定义也是由Weyl提出的。

我们用\Omega\mathbb{C}上的连通开集,H(\Omega)\Omega上所有解析函数构成的函数空间。内闭一致收敛性在H(\Omega)上定义了自然的拓扑。为方便起见我们也可以赋予H(\Omega)与此拓扑相容的度量。关键性的事实是在此度量下H(\Omega)是完备的:

(Weierstrass) 在\Omega上内闭一致收敛的解析函数列收敛于某解析函数。

在有限维分析的实践中,完备性的如下变体往往更加好用:

(Bolzano-Weierstrass) 完备空间的有界序列有收敛子列。

我们试图将其平行地移植到无穷维的情形。称解析函数族\mathscr{F}是正规的,如果其中任意函数序列有收敛子列。Montel给出了以他命名的正规性判则:

(Montel正规性判则Ⅰ)在任一紧致集上一致有界的解析函数族\mathscr{F}是正规的。

可以预料,Montel正规性判则Ⅰ的主要应用是保证特定函数的存在性。一个经典的例子是Riemann映射定理:

对单连通域D \subsetneq \mathbb{C},在D上单叶解析的函数\{ f: D \to \triangle, f(z_0)=0 \}存在。Schwarz引理的一个推论是,如使\left\vert f^{\prime}(z_0)\right\vert取到极大值的f存在,则其必须映满\triangle。另一方面,利用Montel正规性判则Ⅰ可知此函数族为正规族。同时它也是H(\Omega)中的闭集,故此函数族中确实存在使\left\vert f^{\prime}(z_0)\right\vert取到极大值的单叶函数f

Montel正规性判则Ⅰ将函数空间的“有界性”(“紧致性”)与函数的一致有界性联系起来。这提示我们可以把“转换原理”应用到Montel正规性判则Ⅰ上,得到更强的:

(Montel正规性判则Ⅱ)若亚纯函数族\mathscr{F}\mathbb{\bar{C}}上有3个空隙值,则\mathscr{F}是正规的。

需要补充说明的是,对于亚纯函数族,函数的内闭一致收敛性的定义基于\mathbb{\bar{C}}上的球面度量。

利用Montel正规性判则Ⅱ,我们来证明单复分析中最核心的定理之一:Klein-Poincaré-Koebe单值化定理。

(Klein-Poincaré-Koebe) 单连通的Riemann曲面解析同构于\mathbb{\bar{C}}\mathbb{C}\triangle

证明:首先注意到单连通的紧Riemann曲面有亏格0,故解析同构于\mathbb{\bar{C}}。因而只需证明单连通的开Riemann曲面S解析同构于\mathbb{C}\triangle

S上取一个单连通域序列\{S_{n}\},满足S_{n} \subset \bar{S_{n}} \subset S_{n+1},且S=\bigcup^{\infty}_{n=1} S_{n}。对每个S_{n},我们定义一个“副本”S_{n}^{\prime}。将它们的边缘粘合在一起,得到紧曲面S_{n}^{c}。由于S_{n}具有圆盘的拓扑,S_{n}^{c}具有球面的拓扑,因而解析同构于\mathbb{\bar{C}}

S_{1}上选取p_{0} \neq p_{1},则这两点包含于所有S_{n}S_{n}^{c}中。记p_{0}的“副本”为p_{0}^{\prime}。存在解析同构f_{n}: S_{n}^{c} \to \mathbb{\bar{C}},使得f_{n}(p_{0})=0f_{n}(p_{1})=1f_{n}(p_{0}^{\prime})=\infty。将其限制到S_{n}上,得到单叶函数族\{ f_{n}\}:S_{n} \to \mathbb{C}。由Montel正规性判则Ⅱ,\{f_{n}\}S_{n}\backslash\{p_{0},p_{1}\}上正规,从而在S_{n}上正规。

收敛子序列的极限函数fS上的单叶解析函数。f(p_{0})=0f(p_{1})=1,所以f不是常数,Im(f)\mathbb{C}中的单连通域。若Im(f)=\mathbb{C},则S解析同构于\mathbb{C}。若Im(f) \subsetneq \mathbb{C},则由Riemann映射定理,S解析同构于\triangle

顾名思义,单值化定理与多值函数的“单值化”有关:给定Riemann面S,存在万有覆叠映射\pi:\hat{S} \to S。若f是定义在S上的多值解析函数,则\pi \circ f是定义在单连通的\hat{S}上的多值函数,从而是一个单值函数。单值化定理给出上述\hat{S}的完备分类。

单值化定理、双曲几何及自守函数紧密地联系在一起。我们将在以下几章中讨论这一联系。

最后谈一点数学史。如Weyl所说,这一理论上的突破首先是由Klein和Poincaré取得的。两人在这一课题上的竞争是数学史上饶有兴趣的话题。为此Klein付出了健康上的代价。此后他再也没能做出创造性的工作,而是致力于建设Göttingen学派和编纂数学百科。Poincaré逝世后,法国的数学研究逐渐和主流脱轨,而以Hilbert为核心的Göttingen学派则俨然成为数学界的“正宗”。就这个意义上来说,Klein完成了他的“复仇”。

F.Klein (1849-1925)

从模函数到单值化定理 Ⅱ

Prologue:

要善于“退”,足够地“退”,退到最原始而不失去重要性的地方。

——华罗庚

 

“转换原理”可以粗略地叙述如下:如果对“有界”函数叙述的较弱命题成立,则对“在\mathbb{C}上有2个空隙值”的函数所叙述的较强命题也成立。

 

我们用具体的例子来说明。首先是经典的Liouville定理:

任何一个在\mathbb{C}上有界的全纯函数f必为常值函数。

“转换原理”将其加强为著名的Picard小定理:

任何一个在\mathbb{C}上有2个空隙值的全纯函数F必为常值函数。

 

下面来证明Picard小定理,借以说明“转换原理”的运作机制:

首先注意到,我们可以把Liouville定理中的有界性要求替换为Im(f) \subset \triangle.

假设全纯函数F\mathbb{C}上有2个空隙值。考虑复合函数\mu=\lambda ^{-1} \circ F。任取z_0 \in \mathbb{C}F(z_0)=w_0。在w_0的邻域中\lambda^{-1}可取到某一单值分支。由于\lambda是覆叠映射,定义在单连通域\mathbb{C}上的\mu可延拓成一个单值函数,并满足Im(\mu) \subset \triangle。由Liouville定理,\mu为常值函数,从而F为常值函数。

此证明最早由Picard给出。

C.E.Picard (1856-1941)

 

和Picard小定理相比,Picard大定理更加微妙。我们需要更多的准备。

首先陈述经典的Weierstrass定理:

解析函数在本性奇点的每一邻域中都任意地逼近于任意复数值。

为应用“转换原理”,我们将其重新叙述为(较弱的):

命题1:若解析函数f在孤立奇点的某一邻域内“有界”,则此奇点不是本性奇点(从而是可去奇点或极点)。

此处的“有界”指的是:视\mathbb{\bar{C}}为球面,则此邻域的象包含在球面上的某大圆中。对于可去奇点,其邻域的象点“聚拢”到复平面上的某一常点;对于极点则“聚拢”到无穷远点。在这两种情况下,我们都得到广义的“有界性”。而对于本性奇点,任一邻域的象都“分散”在整个球面上。

通过一个Möbius变换,我们可以进一步将“广义有界”的要求替换为:存在某邻域的象落在\triangle中。

同时我们也对“转换原理”稍作推广:对\mathbb{\bar{C}}上的广义“有界”函数成立的命题对“在\mathbb{\bar{C}}上有3个空隙值”的函数亦成立。

不妨假定奇点为0。推广后的“转换原理”将命题1转换为Picard大定理:若解析函数F: \mathbb{\bar{C}}\backslash\{0\} \to \mathbb{\bar{C}}在奇点的某一邻域内有3个空隙值(计入\infty),则0不是本性奇点。

换言之,解析函数在本性奇点的任一邻域中至多有2个空隙值(计入\infty)。

证明:选取以0为圆心且半径充分小的穿孔圆盘\Omega\backslash\{0\}使其满足假设。将F 限制到\Omega\backslash\{0\}上。同样的,考虑复合函数\mu=\lambda ^{-1} \circ F。此处的困难是\Omega\backslash\{0\}并非单连通域,故证明Picard小定理时所用的解析延拓未必给出单值函数。这要求我们推广命题1为:

命题2:若多值解析函数f(更准确地说,给定的初始函数芽在穿孔圆盘上延拓而成的全局解析函数)在孤立奇点的某一邻域内“有界”,则此奇点是代数奇点(支点)。

一个简单的证明手法是利用单值化定理对f进行单值化,从而化归为命题1。

总而言之,就其本质而言,Picard大定理是一个应当在Riemann面上陈述的定理。

 

最后我们希望对“转换原理”做一个一般的讨论。复分析中隶属于值分布论的结果一般都是比较深刻的。“转换原理”允许我们“足够地退”,退到论证“有界性”。讨论后者时,常有更多分析的手段可以采用。例如Liouville定理和Weierstrass定理都可以通过初等估计来证明。在第3章中我们要将函数的有界性和函数空间的“紧致性”联系起来。